武汉理工大学-电磁场及电磁波总复习(1-9)

1、1第第1 1章章 矢量分析矢量分析1. 1. 标量、矢量标量、矢量3. 3. 通量与散度通量与散度8. 8. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 2. 2. 矢量的运算矢量的运算5. 5. 环量与旋度环量与旋度 6. 6. 斯托克斯定理斯托克斯定理4. 4. 高斯散度定理高斯散度定理7. 7. 方向导数与梯度方向导数与梯度2标量：只有大小、没有方向的量标量：只有大小、没有方向的量 ； 如：质量、时间、温度、功、电荷如：质量、时间、温度、功、电荷矢量：既有大小又有方向的量矢量：既有大小又有方向的量 ； 如：力、力矩、速度、加速度、电场如：力、力矩、速度、加速度、电场强度。强度。1.标量和矢量标量和矢量3

2、2.矢量的代数运算矢量的代数运算zzzyyyxxBABABAeeeBAxcosBABAzzyyxxBABABABA ABBA0BAsinBABAne ABBAnezyxzyxzyxBBBAAAeeeBA43.通量与散度通量与散度SSSAdcosdSASSSAdcosdSAzAyAxAzyxAdivAeeeeeeAxxzzyyxzyAAAzyxdiv5VSdVdASA4.4.高斯散度定理高斯散度定理 该公式表明了区域该公式表明了区域V V 中场中场A A与边界与边界S S上的场上的场A A之间的关系。之间的关系。 矢量函数的面积分与体积分的互换。矢量函数的面积分与体积分的互换。65.环量与旋度环

3、量与旋度称为矢量称为矢量A A的环量的环量旋度的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于旋度的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于0 0yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyzerArFldlAAArot zyxzyxzyxAAAeeeA7 矢量函数的线积分与面积分的互换矢量函数的线积分与面积分的互换 该公式表明了区域该公式表明了区域S S中场中场A A与边界与边界L L上的场上的场A A之间之间的关系的关系6.斯托克斯斯托克斯(Stockes)定理定理SdldSl)(AA8zyxzyxexyezxeyzxyzzxyyzxzyxeeeAArot)()()()()()( 例例 求矢量场 在

4、点M(1,0,1)处的旋度以及沿 方向的环量面密度。 解：解： 矢量场A的旋度 zyxexyzezxyeyzxA)()()(zyxeeen3629在点M(1，0，1)处的旋度 zyxMeeeA2n方向的单位矢量 zyxzyxeeeeeen737672)362(3621222在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 7177327672nAM10方向导数方向导数 方向导数表示函数方向导数表示函数(x,y,z)(x,y,z)在一给定点处沿某一方向在一给定点处沿某一方向的标量函数的变化率。的标量函数的变化率。 M0（x,y,z）M（x+ x,y+ y,z+ z）lMuMululM)()(lim00

5、07. 7. 方向导数与梯度方向导数与梯度梯度梯度llezeyexeGzyxcoscoscoslxyz11 0222222xyyxezxxzeyzzyezyxlrrF 梯度的重要性质：梯度的旋度恒等于梯度的重要性质：梯度的旋度恒等于0 322212cos322212cos312211cos222222222 例例: 求数量场求数量场 在点在点M(1, 1, 2)处沿处沿 方向的方向导数。方向的方向导数。 解：解：l方向的方向余弦为方向的方向余弦为 zyxu22zyxeeel2213已知 222)(,2,2zyxzuzyyuzxxu数量场在l方向的方向导数为 22232232231coscosc

6、oszyxzyzxzuyuxulu在点M (1, 1, 2)处沿l方向的方向导数 324232132131Mluzyxu22148. 8. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥姆霍亥姆霍兹兹定理：定理： 在有限区域内，矢量场由它的在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度散度、旋度及及边界条件边界条件唯一地确定。唯一地确定。 矢量场可以根据散度和旋度分为：无旋场、无源场和有矢量场可以根据散度和旋度分为：无旋场、无源场和有旋有源场。旋有源场。0F （1）无旋场）无旋场 （2）无源场）无源场 0 F （3）有旋有源场）有旋有源场 0F0 F15正交坐标系正交坐标系zyxeee,zreee,xO z PR ( R

7、, , )Reee16A0ACldF01.某一矢量，它总满足。2.某一矢量场F（r），若，则F（r）是无旋场；若在场中任意处divF=0，则F（r）是无散场。判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确。3.表达式rotE=0与E= grad是等效的。17第第2 2章章 电场、磁场与麦克斯韦方程电场、磁场与麦克斯韦方程1. 1. 电场力、磁场力、洛伦兹力电场力、磁场力、洛伦兹力 4. 4. 微分形式的麦克斯韦方程微分形式的麦克斯韦方程3. 3. 麦克斯韦方程的导出及意义麦克斯韦方程的导出及意义2. 2. 电磁场中的三种电流电磁场中的三种电流7. 7. 电磁场的能量与坡印廷矢量电磁场的能量与坡印廷

8、矢量 5. 5. 积分形式的麦克斯韦方程积分形式的麦克斯韦方程6. 6. 时谐形式的麦克斯韦方程时谐形式的麦克斯韦方程181 1 电场力、磁场力与洛伦兹力电场力、磁场力与洛伦兹力 1. 1. 电场力电场力 库仑定律库仑定律 212021214RqqeF N( 牛顿)41)(021RRRqE192. 2. 磁场力磁场力 当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷即电流之间的作用力，我们称其为磁场力即电流之间的作用力，我们称其为磁场力 。 假定一个电荷假定一

9、个电荷q以速度以速度 在磁场中运动，则它所受在磁场中运动，则它所受到磁场力为到磁场力为 v这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以用一个磁感应强度用一个磁感应强度 来描述。来描述。 BBvqFB203.3.洛伦兹力洛伦兹力 当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用时，我们称这样的合力为洛伦兹力。时，我们称这样的合力为洛伦兹力。BvqEqF212.2.电磁场中的三种电流及电流连续性原理电磁场中的三种电流及电流连续性原理 1. 1. 传导电流、运流电流和位移电流传导电流、运流电流和位移电流 自由电荷

10、在导电媒质中作有规则运动而形成自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成 传导电流传导电流运流电流运流电流电荷在无阻力空间作有规则运动而形成电荷在无阻力空间作有规则运动而形成 电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成 位移电流位移电流tEtDJd0vdSdiJVVEJC223. 3. 麦克斯韦方程的微分形式麦克斯韦方程的微分形式tDJHBtBED/0tEJBcBtBEE/0/020234. 4. 积分形式的麦克斯韦方程积分形式的麦克斯韦方程SCtSDJlHddSCtSBlEdd0dSSBqSSDd 245. 5. 时谐形式的麦克斯韦方程时谐形式的麦克斯韦方程

11、微分形式的时谐表示微分形式的时谐表示 积分形式的时谐表示积分形式的时谐表示 SCjSDJlHddSCjSBlEdd0dSSBqSSD d 时谐场即激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的时谐场即激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的随时间按照正弦变化的场。随时间按照正弦变化的场。EiJHBBiED00256. 6. 电磁场的能量与坡印廷矢量电磁场的能量与坡印廷矢量 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律转化定律坡印亭定理，坡印亭定理，坡印亭矢量是描述电磁场坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。能量流动的物理量。 称其为坡印廷矢量

12、称其为坡印廷矢量 HEBEcS2026 对于正弦电磁场，计算一个周期内的时间平均值更有实对于正弦电磁场，计算一个周期内的时间平均值更有实际意义，坡印廷矢量的时间平均值即平均坡印廷矢量定义为际意义，坡印廷矢量的时间平均值即平均坡印廷矢量定义为 dtHETdtSTSTTav0011在时谐形式下在时谐形式下 Re21HESav27例.已知 ， yetBBcos0并且已知 只有x方向的分量，求ExEzxyxxzyxeyEezEEzyxeeeE00yetBtsin0BEyyxetBezEsin0tzBExsin028 例例 将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时

13、值，或作相反的变换。或作相反的变换。 29(3)cos(3)sin()(00kztEekztEetEyx解: 化为相同的函数表示:)cos(3)90cos()(000kztEekztEetEyx)(0)90(030kzjykzjxeEeeEeE(4) jkzyxee jeH)()90cos()cos()(kztekztetHyx30证明：在无源的自由空间中随时间变化的场，如满足麦克斯韦方程组)(sin)(0cztEetEx解)(sin)(0cztEetEx)(cos/0/000cztEetEtDJHx001c由题)(cos00)(sin00cztEeccztEzyxeeetBEyzyx31)(

14、cos00cztEectHy)(sin100cztEecHy)(cos)(cos0)(sin100002000cztEecztEeccztEczyxeeeHxxzyx与前面计算的磁场强度的旋度相同与前面计算的磁场强度的旋度相同)(cos00)(sin00cztEeccztEzyxeeetBEyzyx32)(sin100cztEecHy)(sin)(0cztEetEx0B0/0E此外，还需验证两个散度方程000zyyxeyHeeH000zyxxeexEeE所以，电场和磁场满足所以，电场和磁场满足4个麦克斯韦方程组个麦克斯韦方程组33第第3 3章章 介质中的麦克斯韦方程介质中的麦克斯韦方程 1.

15、1. 介质特性：电偶极矩介质特性：电偶极矩 、分子极化率、分子极化率 、极化矢量、极化矢量 4. 4. 一般媒质中的麦克斯韦方程一般媒质中的麦克斯韦方程3. 3. 磁偶极矩、磁化强度矢量磁偶极矩、磁化强度矢量 2. 2. 介质的折射率、相对介电系数介质的折射率、相对介电系数 5. 5. 介质中的三个物态方程介质中的三个物态方程6. 6. 场量的边界条件场量的边界条件 34定义：其内部存在的带电粒子，受到原子内在力、分子定义：其内部存在的带电粒子，受到原子内在力、分子内在力或分子之间的作用力不能自由运动，这样的物质内在力或分子之间的作用力不能自由运动，这样的物质称为电介质（简称介质）。称为电介质

16、（简称介质）。电介质电介质 1. 1. 介质特性介质特性电介质的极化电介质的极化 在外电场作用下，电介质中出现有序排列电在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及表面上出现束缚电荷的现象偶极子以及表面上出现束缚电荷的现象 。352. 2. 介质的折射率、相对介电系数介质的折射率、相对介电系数 介质的折射率介质的折射率(refractive index) n定义为定义为 /nc v其中其中c是电磁波在真空中的速度，是电磁波在真空中的速度，v则是电磁波在折射率为则是电磁波在折射率为n的介质中的速度。的介质中的速度。 反映介质特性的量反映介质特性的量相对介电常数相对介电常数 0/rEPE2rn

17、363. 3. 磁偶极矩、磁化强度矢量磁偶极矩、磁化强度矢量 在外磁场的作用下，物质中的原子磁矩将受到一个力在外磁场的作用下，物质中的原子磁矩将受到一个力矩的作用，所有原子磁矩都趋于与外磁场方向一致的排列，矩的作用，所有原子磁矩都趋于与外磁场方向一致的排列，彼此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这彼此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这种现象称为物质的磁化。种现象称为物质的磁化。 磁介质，是在外加磁场的作用下，产生磁化现象，影响外磁介质，是在外加磁场的作用下，产生磁化现象，影响外磁场分布的物质。除了真空外，其它任何物质都是可磁化的磁磁场分布的物质。除了真空外，其它任何物质都

18、是可磁化的磁介质。根据物质的磁效应的不同，磁介质通常可分为：抗磁质、介质。根据物质的磁效应的不同，磁介质通常可分为：抗磁质、顺磁质、铁磁质、亚铁磁质等。顺磁质、铁磁质、亚铁磁质等。 37tfDJHt BE0BfD电介质中的麦克斯韦方程的一般形式为电介质中的麦克斯韦方程的一般形式为: : 4. 4. 一般媒质中的麦克斯韦方程一般媒质中的麦克斯韦方程EDHBEJc385. 5. 介质中的三个物态方程介质中的三个物态方程6. 6. 场量的边界条件场量的边界条件 12nnsDD12nnBB12sJJnnt12ttEE12HHJsttEDHBEJc39（1 1） 的边界条件的边界条件 如图为两种一般媒质

19、的交界面，第一种媒质的介电常数、如图为两种一般媒质的交界面，第一种媒质的介电常数、磁导率、电导率分别为磁导率、电导率分别为 ， ， ；第二种媒；第二种媒质的分别为质的分别为 , , , , 1 1、一般媒质界面的边界条件、一般媒质界面的边界条件 111222媒质媒质1 媒质媒质2 如图所示，在分界面上取如图所示，在分界面上取一个小的柱形闭合面，其上下一个小的柱形闭合面，其上下底面与分界面平行底面与分界面平行. .D40在柱形闭合面上应用高斯定律：在柱形闭合面上应用高斯定律： 12nnsDD则则 如图，应用高斯定律得：如图，应用高斯定律得： 12nnDDSSDSDSdDSnns21021SBSB

20、SdBnns此式即为此式即为 的法向边界条件，它表明：的法向边界条件，它表明： 的法向分量在分界面处产生了突变的法向分量在分界面处产生了突变 DD当当 0s时，时， 的法向分量变为连续的法向分量变为连续 D（2 2） 的边界条件的边界条件 B4112nnBB即即 如图，由电流连续性原理如图，由电流连续性原理 vscdVtSdJvscdVtDSd)(J此式即为此式即为 的法向边界条件，它表明：的法向边界条件，它表明： 的法向分量在分界面处总是连续的。的法向分量在分界面处总是连续的。 BJ（3 3） 的边界条件的边界条件 4212sJJnnt可得可得 说明：当分界面处电荷面密度发生变化时，其电流密

21、度说明：当分界面处电荷面密度发生变化时，其电流密度的法向分量产生突变，突变量为电荷面密度的变化率。的法向分量产生突变，突变量为电荷面密度的变化率。 vscdVtDSdJvscdVtDSd)(JtqSdtDSdsscJ43（4 4） 的边界条件的边界条件 如图，电场强度的边界条如图，电场强度的边界条件通常用电场的切向分量件通常用电场的切向分量来表示。来表示。 12ttEE可得可得 说明：电场强度的切向分量是连续的。说明：电场强度的切向分量是连续的。 由麦克斯韦第二个方程：由麦克斯韦第二个方程： SCtSBlEddE44（5 5） 的边界条件的边界条件 12HHJstt可得可得 说明：说明：当分界

22、面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将当分界面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向方向是连续的。方向是连续的。 与上图类似，由安培环路定律与上图类似，由安培环路定律 综上所述，五个场量综上所述，五个场量的边界条件是：的边界条件是： IClH dH12nnsDD12nnBB12sJJnnt12ttEE12HHJstt45 例例 已知半径为已知半径为r1 的导体球携带的正电量为的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径，该导体球被内半径为为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介

23、电常数为的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1 ，球壳的外半径为球壳的外半径为 r3 ，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为为r4 ，介电常数为，介电常数为2 ，外部区域为真空，如左下图示。，外部区域为真空，如左下图示。试求：各区域中的电场强度；试求：各区域中的电场强度； r1r2r3r4 0 2 1解解 由于结构为球对称，场也是球对称的，由于结构为球对称，场也是球对称的，应用应用高斯定理高斯定理求解十分方便。取球面作为求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于

24、高斯面。因而也垂直于高斯面。 46 在在 r r1及及 r2r r3 区域中，因区域中，因导体中不可能存静电场，所以导体中不可能存静电场，所以 在在 r1r r2 区域中，区域中，由由 ，得得 Sq dSDr1r2r3r4 0 2 1rrqe2114Errqe2224E同理，在同理，在 r3r r4 区域中，求得区域中，求得0E47球形电容器内导体半径为球形电容器内导体半径为a a，外球壳半径为外球壳半径为b b。其间充满介电常数为其间充满介电常数为 和和 的两种均匀媒的两种均匀媒质。设内导体带电荷为质。设内导体带电荷为q q，外球壳接地，求外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。球壳间的电场和

25、电位分布。12 a12b分析：电场平行于介质分界面，分析：电场平行于介质分界面， 由边界条件可知，介质两由边界条件可知，介质两 边边 相等相等。【例例】E482122()rDDq2122()rEEq解：令电场强度为解：令电场强度为 ，由高斯定律，由高斯定律ESq dSDrerqE221)(2)11()(2)(21brqrdErbr49第第4 4章章 矢量位与标量位矢量位与标量位 1. 1. 矢量位与标量位的导出矢量位与标量位的导出4. 4. 动态位（滞后位）的概念动态位（滞后位）的概念 3. 3. 矢量位与标量位满足的波动方程矢量位与标量位满足的波动方程 2. 2. 洛伦兹规范洛伦兹规范 ，库

26、仑规范，库仑规范50矢量位矢量位 根据麦克斯韦第三方程根据麦克斯韦第三方程任意矢量的旋度的任意矢量的旋度的散度恒等于零散度恒等于零 以及以及令令 于是我们就得到了一个关于磁场于是我们就得到了一个关于磁场 的位函数的位函数 ，但在这里，但在这里， 是一个无约束的任意矢量。是一个无约束的任意矢量。 A0BAB0)(AB则有ABA51标量位标量位 根据麦克斯韦第二方程根据麦克斯韦第二方程令令 则有则有所以所以 更一般地，如果 是一个矢量函数，并且 ，则有tBEABtAEtAE0tAE52保证保证 的唯一方法是的唯一方法是 令令 其中其中 是一个标量位函数是一个标量位函数 即即这里这里 也是无约束的任

27、意标量位函数也是无约束的任意标量位函数 在非时变（静态）情况下在非时变（静态）情况下, ,上式变为上式变为 0tAEE532. 2. 洛伦兹规范洛伦兹规范 ，库仑规范，库仑规范称为洛伦兹条件或称为洛伦兹规范称为洛伦兹条件或称为洛伦兹规范. .ttcA0021这个规定被称为库仑规范这个规定被称为库仑规范 0A54 分析说明，在时刻分析说明，在时刻t t，空间某点所观察到的矢量位，空间某点所观察到的矢量位 和标量位和标量位 是由是由 时刻的电流或电荷产生的，时刻的电流或电荷产生的，也就是说，在空间某点并不会立刻感受到波源的影响，而也就是说，在空间某点并不会立刻感受到波源的影响，而是要滞后一段时间是

28、要滞后一段时间 ，这个滞后效应是由于电磁，这个滞后效应是由于电磁波的速度为有限值而引起的，于是我们又可将随时间变化波的速度为有限值而引起的，于是我们又可将随时间变化的位函数的位函数 和和 称为称为动态位动态位或或滞后位滞后位。 Jcrrtp/crrp/A55第第5 5章章 静态场的解静态场的解 1. 1. 静电场、恒定电场静电场、恒定电场 、恒定磁场的基本方程、恒定磁场的基本方程 4. 4. 镜像法镜像法3. 3. 对偶原理、叠加原理、唯一性定理对偶原理、叠加原理、唯一性定理 2. 2. 静态场的位函数方程静态场的位函数方程 561. 1. 静电场、恒定电场静电场、恒定电场 、恒定磁场、恒定磁

29、场的基本方程的基本方程 1 1、静电场的基本方程、静电场的基本方程 上式表明：静电场中的旋度为上式表明：静电场中的旋度为0 0，即静电场中的电场不可，即静电场中的电场不可能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。 静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，即述，即 0EDEED57 2 2、恒定电场的基本方程、恒定电场的基本方程 载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，即为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在，即为恒定电场。当导体

30、中有电流时，由于导体电阻的存在，要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，其电源内部的电场也是恒定的。其电源内部的电场也是恒定的。若闭合路径不经过电源，则：若闭合路径不经过电源，则： 这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为 0ldEl0SdJl00JE58 3 3、恒定磁场的基本方程、恒定磁场的基本方程 这是恒定磁场的基本方程。这是恒定磁场的基本方程。 从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋涡场的源，电流线是闭合的

31、。个旋涡场的源，电流线是闭合的。 JHB0HB 恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体中的传导电流为中的传导电流为I I，电流密度为，电流密度为 , ,则有则有 J592. 2. 静态场的位函数方程静态场的位函数方程 静电场静电场的位函数的位函数 满足满足的方程的方程, ,称为称为泊松方程。泊松方程。 2 如果场中某处有如果场中某处有=0=0，即在无源区域，则上式变为，即在无源区域，则上式变为 将这种形式的方程称为拉普拉斯方程。将这种形式的方

32、程称为拉普拉斯方程。20 1 1、静电场的位函数分布、静电场的位函数分布 603.3.对偶原理、叠加原理、唯一性定理对偶原理、叠加原理、唯一性定理 如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶性方程，在对偶性方程中，处学形式的两个方程称为对偶性方程，在对偶性方程中，处于同等地位的量称为对偶量。于同等地位的量称为对偶量。 对偶原

33、理对偶原理61叠加原理叠加原理 若若 和和 分别满足拉普拉斯方程，即分别满足拉普拉斯方程，即 和和 , ,则则 和和 的线性组合：的线性组合：必然也满足拉普拉斯方程必然也满足拉普拉斯方程. .式中式中a a、b b均为常系数。均为常系数。122102201212ab212()0ab唯一性定理唯一性定理 对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的。的。 62镜像法镜像法 镜镜像像法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来法是利用一个与源电荷相似的

34、点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷称为镜称为镜像像电荷，然后通过计算由源电荷和镜电荷，然后通过计算由源电荷和镜像像电荷共同产电荷共同产生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场，这种方法称为镜合成电场，这种方法称为镜像像法。法。 镜镜像像电荷与源电荷共同产生的电位函数，既能满足给电荷与源电荷共同产生的电位函数，既能满足给定的边界条件，又在一定区域内满足拉普拉斯方程。根据定的边界条件，又在一定区域内满足拉普拉斯方程。根据唯一性定理，所假设的位函数就是

35、该区域上的唯一的电位唯一性定理，所假设的位函数就是该区域上的唯一的电位函数。函数。632/=偶数64 接地导体球外的电场计算接地导体球外的电场计算qdRqdRb2201044rqrq0)(4)(400bRqRdqA0)(4)(400bRqRdqBBA 65q qd dp pr rr r1 1r r2 2+ + q q - - q q R Ro ob bqdRqdRb2qq qq 即：即： 0qq球面电位为：球面电位为： 导体球外各点的电位由导体球外各点的电位由q , , 和和 共同产生：共同产生： qqRq0 4球面20 100444rqrqrqqq66第第6 6章章 自由空间中的电磁波自由空

36、间中的电磁波 1. 1. 电波电波 4. 4. 波的极化波的极化3. 3. 自由空间中的平面电磁波自由空间中的平面电磁波2.2. 磁波磁波 5. 5. 电磁波谱电磁波谱67自由空间是一个没有电荷因而也就不存在电流的空间。自由空间是一个没有电荷因而也就不存在电流的空间。 这并不是说在整个空间中没有源存在，而只是指在我们这并不是说在整个空间中没有源存在，而只是指在我们所感兴趣的区域不存在源，这个区域应有所感兴趣的区域不存在源，这个区域应有 =0和和 =0。 J 平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空间传播过程中，平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空间传播过程中，对应于任意时刻对应于任意时

37、刻t t，在其传播空间具有相同相位的点所构成的等相位面，在其传播空间具有相同相位的点所构成的等相位面（也称为波阵面）为平面，于是就称其为平面波。（也称为波阵面）为平面，于是就称其为平面波。 tEBcBtBEE/002681.1.电波电波 麦克斯韦方程组说明：在自由空间存在着电波，对麦克斯韦方程组说明：在自由空间存在着电波，对其所作的唯一的限制是它在自由空间必须以光速传播。其所作的唯一的限制是它在自由空间必须以光速传播。 此式称为亥姆霍兹方程。此式称为亥姆霍兹方程。2.2. 磁波磁波 亥姆霍兹磁场方程亥姆霍兹磁场方程22221tEcE22002tEE022002tBB693. 3. 自由空间中的

38、平面电磁波自由空间中的平面电磁波ccBE 电场和磁场相对于传播方向来说都是横向波，这电场和磁场相对于传播方向来说都是横向波，这种波称为横向电磁波种波称为横向电磁波, ,简称为简称为TEMTEM波。波。 和和 相互垂直的，都垂直于波的传播方向相互垂直的，都垂直于波的传播方向。 BE1201036110497000704. 4. 波的极化波的极化1. 如果矢量的尖端在一条直线上运动，称之为如果矢量的尖端在一条直线上运动，称之为线极化波。线极化波。 2. 如果矢量的尖端的运动轨迹是一个圆，则称之为如果矢量的尖端的运动轨迹是一个圆，则称之为圆极化波。圆极化波。 极化（极化（polarizationpo

39、larization）通常是用电场矢量）通常是用电场矢量 的尖端在的尖端在空间随时间变化的轨迹来描述的。空间随时间变化的轨迹来描述的。 E3. 椭圆极化波：椭圆极化波：电场电场 的尖端的运动将描绘出一个椭圆。的尖端的运动将描绘出一个椭圆。 3.1 如果用右手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场如果用右手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场 矢量运动的方向相同，这个波就是矢量运动的方向相同，这个波就是右旋极化波右旋极化波。 3.2 如果用左手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场如果用左手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场 矢量运动

40、的方向相同，这个波就是矢量运动的方向相同，这个波就是左旋极化波左旋极化波。E4. 无一定极化的波，如光波，通常称为无一定极化的波，如光波，通常称为随机极化波随机极化波。 71ddt 当当 ，并且，并且 时，时， 电磁波电磁波是圆极化波是圆极化波 ()/ 2xy 12EE当当 时，时， ，电磁波为左旋椭圆极化波，电磁波为左旋椭圆极化波 ()0 xy0ddt当当 时，时， ，电磁波是线极化波，电磁波是线极化波 ()xyn 0ddt当当 时，时， ，电磁波为右旋椭圆极化波，电磁波为右旋椭圆极化波 0ddtyx072 为了对各种电磁波有个全面的了解，人们按照波长或频为了对各种电磁波有个全面的了解，人们

41、按照波长或频率的顺序把这些电磁波排列起来，这就是电磁波谱率的顺序把这些电磁波排列起来，这就是电磁波谱 .5. 5. 电磁波谱电磁波谱无线电波无线电波微波微波红外线红外线可见光可见光紫外线紫外线X X射线射线伽马射线伽马射线可见光可见光: 红红 | 橙橙 | 黄黄 | 绿绿 | 蓝蓝 | 靛靛 | 紫紫电电磁磁波波谱谱73例例解：解： （1 1） 波沿波沿+Z+Z轴方向传播轴方向传播; ;87900161041010236k （rad/mrad/m） 21km823 10fHz 8/3 10/vkm s 试求试求（1 1） 及传播方向；（及传播方向；（2 2）E 的表达式；的表达式；（3 3）S

42、 的表达式；的表达式；, , ,f vk巳知自由空间中巳知自由空间中)2106cos(1086zteByck/74)2106cos(1086zteBy （2 2）xzjzyZjzeeeeeHE22060030010e60yemAzteHy/)2106cos(10806zjyeeBH206010mVzteEx/)2106cos(3008)2106(cos104103008276zteHESz75 (1) 说明下列各式表示的均匀平面波说明下列各式表示的均匀平面波的极化形式和传播方向。的极化形式和传播方向。例题例题传播方向为沿传播方向为沿 方向的线极化波方向的线极化波。当当 时，时， ，电磁波是线极

43、化波，电磁波是线极化波 nyx)(0dtdikzyikzxeiEeeiEeE11)2(1)2(1kziykzixeEeeEeE0yxze76 (2)传播方向为沿传播方向为沿 方向的左旋圆极化波方向的左旋圆极化波。电磁波是圆极化波电磁波是圆极化波 . ./ 2,y x当ddt 2,EE1并且)cos()sin(kztEekztEeEmymx)cos()2cos(kztEekztEeEmymx2yxmEEE21ze77第第7 7章章 非导电介质中的电磁波非导电介质中的电磁波1. 1. 非导电介质中的电磁波方程非导电介质中的电磁波方程 4. 4. 复数折射率的相关结论复数折射率的相关结论 3. 3.

44、 平面电磁波在有损耗介质中的传播平面电磁波在有损耗介质中的传播 2. 2. 平面电磁波在无损耗介质中的传播平面电磁波在无损耗介质中的传播 5. 5. 相速度、色散、群速度相速度、色散、群速度781. 1. 非导电介质中的电磁波方程非导电介质中的电磁波方程 与波动方程的一般形式比较可知在一般介质中，与波动方程的一般形式比较可知在一般介质中，电磁波的传播速度电磁波的传播速度 1v无界、线性、均匀和各向同无界、线性、均匀和各向同性的一般媒质中的磁波方程性的一般媒质中的磁波方程 无界、线性、均匀和各向同无界、线性、均匀和各向同性的一般媒质中的电波方程性的一般媒质中的电波方程 222tHH222tEE7

45、92. 2. 平面电磁波在无损耗介质中的传播平面电磁波在无损耗介质中的传播 波速为波速为 /1/vk/kv 这里的这里的 k k 称为传播常数或波数称为传播常数或波数 )/(exp)(exp00kztiEekztiEeEeExxxx803. 3. 平面电磁波在有损耗介质中的传播平面电磁波在有损耗介质中的传播 复介电系数，复介电系数，式中式中 称为损耗角称为损耗角 ctan/c实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在非理想实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在非理想介质中的传播具有实际意义。非理想介质是有损耗介质中的传播具有实际意义。非理想介质是有损耗介质也称为耗散介质，在这里是指电导率介质也称为

46、耗散介质，在这里是指电导率 , ,但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。0i81引入另外一个变量引入另外一个变量 有耗介质的本征阻抗是一个复数，其结果使均匀平有耗介质的本征阻抗是一个复数，其结果使均匀平面波中电场强度矢量与磁场强度矢量之间存在相位差。面波中电场强度矢量与磁场强度矢量之间存在相位差。 irrrre000传播系数传播系数 称为复波数。称为复波数。 k令令 也可称之为传播系数也可称之为传播系数 ki82可以发现，可以发现， 的存在会引起场量的存在会引起场量 和和 呈指数型衰减，因此，呈指数型衰减，因此，我们将我们将 称为衰减常数称为衰减常数(at

47、tenuation constant)(attenuation constant)，单位为奈贝，单位为奈贝/ /米米（Np/mNp/m）；）；xEyH而而 的存在则会引起场量的存在则会引起场量 和和 的相位发生变化，因此，我的相位发生变化，因此，我们将们将 称为相位常数，单位为弧度称为相位常数，单位为弧度/ /米（米（rad/mrad/m） xEyHiki834. 4. 复数折射率的相关结论复数折射率的相关结论 irinnn1. 1. 复数折射率的实部决定了波的速度，而且很容易得出折射率复数折射率的实部决定了波的速度，而且很容易得出折射率实部的定义为两个速度之比，即实部的定义为两个速度之比，即

48、 。/rnc v2. 2. 当波在介质中传播时，复数折射率的虚部使波的幅值按指数当波在介质中传播时，复数折射率的虚部使波的幅值按指数规律衰减，虚部值越大，波的衰减就越快。规律衰减，虚部值越大，波的衰减就越快。845. 5. 相速度、色散、群速度相速度、色散、群速度 相速，即正弦波的最大速度。一般情况下，速度相速，即正弦波的最大速度。一般情况下，速度 v v 是恒定相位面在是恒定相位面在波中向前推进的速度，波中向前推进的速度，相速相速群速是波包络上某一恒定相位点推进的速度。群速是波包络上某一恒定相位点推进的速度。群群速速是指其折射率的虚部为非零值的媒质是指其折射率的虚部为非零值的媒质, ,这时波

49、在传播的过程这时波在传播的过程中会逐渐衰减。中会逐渐衰减。 色散介质色散介质指波的传播速度即相速取决于介质折射率的实部指波的传播速度即相速取决于介质折射率的实部, ,因而随频因而随频率而变，不同频率的波将以不同的速率在其中传播。率而变，不同频率的波将以不同的速率在其中传播。耗散介质耗散介质85损耗正切的取值不同将会影响到介质的性质发生变化，通损耗正切的取值不同将会影响到介质的性质发生变化，通常，我们有如下一些对应的分类：常，我们有如下一些对应的分类： 0,01 1、理想介质：、理想介质： 这时这时 0, 1105 5、半导体、半导体 ： 可与可与 相比拟，相比拟， 的表的表示为一般形式。示为一

50、般形式。,27.4 7.4 空气中某一均匀平面波的波长为空气中某一均匀平面波的波长为12cm12cm，当该平面波进，当该平面波进入某无损耗媒质中传播时，其波长减小为入某无损耗媒质中传播时，其波长减小为8cm8cm，且已知在，且已知在媒质中的媒质中的 和和 的振幅分别为的振幅分别为50V/m和和0.1A/m。求该。求该平面波的频率和无损耗媒质的平面波的频率和无损耗媒质的 与与 .rr880203 1025 1012 10vf505000.1EH812 105001.99,1.13rr解：电磁波的频率为解：电磁波的频率为 （Hz）而无损耗媒质的本征阻抗为而无损耗媒质的本征阻抗为 EH1102102

51、5108882fv88若将电磁波的振幅衰减到若将电磁波的振幅衰减到 时它在介质中的趋肤深度或穿透深度时它在介质中的趋肤深度或穿透深度定义为定义为 ，根据，根据 就可以测量出电磁波在开始明显衰减之前的就可以测量出电磁波在开始明显衰减之前的传播距离。传播距离。 1e第第8 8章章 导体中的电磁波导体中的电磁波1当电磁波的振幅衰减到当电磁波的振幅衰减到 时，有时，有1e即即 11.穿透深度穿透深度2.2.等离子体等离子体 是除气体、液体和固体以外的第四种物态，它是由电子、负离子、正是除气体、液体和固体以外的第四种物态，它是由电子、负离子、正离子和未电离的中性分子组成的混合体。离子和未电离的中性分子组

52、成的混合体。89 导电介质通常是作为导体来使用的，但是，导电介质通常是作为导体来使用的，但是，当交变电流通过导体时，电流密度在导体横截面当交变电流通过导体时，电流密度在导体横截面上的分布将是不均匀的，并且随着电流变化频率上的分布将是不均匀的，并且随着电流变化频率的升高，导体上所流过的电流将越来越集中于导的升高，导体上所流过的电流将越来越集中于导体的表面附近，导体内部的电流却越来越小，这体的表面附近，导体内部的电流却越来越小，这种现象称为趋肤效应。种现象称为趋肤效应。 趋肤效应使得导体在传输高频（微波）信号时效率趋肤效应使得导体在传输高频（微波）信号时效率很低，因为信号沿它传送时衰减很大。很低，

53、因为信号沿它传送时衰减很大。 90 导电介质中的平面电磁波具有如下特点：导电介质中的平面电磁波具有如下特点： （1 1）导电媒质内的平面电磁波在电场方向、磁场方向与）导电媒质内的平面电磁波在电场方向、磁场方向与传播方向上的对应关系与理想电介质中的电磁波相同，仍然传播方向上的对应关系与理想电介质中的电磁波相同，仍然是平面电磁波。是平面电磁波。 （2 2）沿着电磁波的传播方向，例如）沿着电磁波的传播方向，例如z z方向，电场和磁场的方向，电场和磁场的幅值随幅值随z z的增加按指数的增加按指数 衰减。衰减。ze（3 3）磁场在相位上比对应的电场有一个滞后角）磁场在相位上比对应的电场有一个滞后角随着媒

54、质电导率的增大而增大，最大可达随着媒质电导率的增大而增大，最大可达 /4)1 (2111jffiiiiii912121 ()1v（5 5）从上面式子可知，导电媒质中电场能量密度和磁场）从上面式子可知，导电媒质中电场能量密度和磁场能量密度是不等的。能量密度是不等的。 导电媒质中电磁波的相速由相位系数和角频率共同决定，如导电媒质中电磁波的相速由相位系数和角频率共同决定，如 表明：电磁波传播的相速与频率有关，故导电媒质是色散媒质。表明：电磁波传播的相速与频率有关，故导电媒质是色散媒质。 1)(12292低损耗媒质中的平面波具有如下性质低损耗媒质中的平面波具有如下性质 ： （1 1）电导率）电导率 对

55、相位常数的影响可以忽略，对相位常数的影响可以忽略， 的表达的表达式与理想电介质的相同。式与理想电介质的相同。 （2 2）衰减常数）衰减常数 比较小，因为电磁波幅度的衰减缓慢。比较小，因为电磁波幅度的衰减缓慢。（3 3）电场与磁场几乎同相位，与理想介质中的情况近似。）电场与磁场几乎同相位，与理想介质中的情况近似。良介质中的均匀平面电磁波良介质中的均匀平面电磁波93良导体中电磁波具有如下特点良导体中电磁波具有如下特点: : （1 1）很小的）很小的 值使良导体内电磁波的传播速度值使良导体内电磁波的传播速度 远小于远小于真空中的电磁波速度真空中的电磁波速度 ，并且速度与速率有关。，并且速度与速率有关

56、。 vc（2 2）很大的很大的衰减常数衰减常数 值使得电场和磁场的幅度衰减很值使得电场和磁场的幅度衰减很快。由幅度衰减因子快。由幅度衰减因子 可知，电磁波每前进一个趋肤深可知，电磁波每前进一个趋肤深度的距离，场幅度就要减小度的距离，场幅度就要减小63%63%左右；若前进左右；若前进 的距离，的距离，场幅度大约下降到原来的场幅度大约下降到原来的1/5001/500。由于良导体的。由于良导体的趋肤深度趋肤深度只只有毫米甚至微米数量级，因此当电磁波进入良导体后，将有毫米甚至微米数量级，因此当电磁波进入良导体后，将主要趋附于导体的表层上。主要趋附于导体的表层上。 ze6 （3 3）由于波阻抗）由于波阻

57、抗 的相角的相角 ，表明磁场比，表明磁场比对应电场的相位滞后约对应电场的相位滞后约 。因此，在同一场点上，电。因此，在同一场点上，电场达到最大值的场达到最大值的1/81/8周期后，磁场才达到最大值。周期后，磁场才达到最大值。 / 4/ 494 （5 5）尽管良导体中的电场相对较小，但由于导体的电导率）尽管良导体中的电场相对较小，但由于导体的电导率很大，所以也会产生很大的传导电流，其传导电流密度的复很大，所以也会产生很大的传导电流，其传导电流密度的复振幅为振幅为 （4 4）由于波阻抗）由于波阻抗 很小，因此，在良导体中，磁场占有很小，因此，在良导体中，磁场占有主要地位，磁场能量远大于电场能量。主

58、要地位，磁场能量远大于电场能量。 0( )( )zi zxxJzEzE ee表明：导体内的传导电流也像电场和磁场一样，幅度很快衰减，表明：导体内的传导电流也像电场和磁场一样，幅度很快衰减，从而形成主要集中在导体表层内侧一个很薄的区域内的趋肤现从而形成主要集中在导体表层内侧一个很薄的区域内的趋肤现象，并且频率越高，区域越薄，趋肤效应越强烈。象，并且频率越高，区域越薄，趋肤效应越强烈。 958.4 8.4 等离子体对波的反射等离子体对波的反射等离子体等离子体 是除气体、液体和固体以外的第四种物态，它是由电子、是除气体、液体和固体以外的第四种物态，它是由电子、负离子、正离子和未电离的中性分子组成的混合体。负离子、正离子和未电离的中性分子组成的混合体。等离子体的电特性等离子体的电特性 1