第五章半导体导电性

1、4.3 迁移率与杂质浓度迁移率与杂质浓度4.4 电阻率与杂质浓度电阻率与杂质浓度4.5 玻耳兹曼方程玻耳兹曼方程4.6强电场下的效应强电场下的效应第五章第五章 半导体的导电性半导体的导电性 1. 欧姆定律欧姆定律 已知半导体的长为l,截面积为S，电阻率为，则电阻为 R = l / S 电导为：G = 1 / R = S / l 类似于：C = S / l, C:电容， 介电常数或电容率。 = 1 / , 为电导率，单位是西门子/米(S/m,或1/ m) 与外加电压的关系为： I = V / R - 欧姆定律 但上式的参量均为广延量，不便于了解材料的性质. 利用： = V / l . J = I

2、 / S，电流密度电流密度为流过单位面积的电流(沿垂直方向)。 对于均匀半导体来说，电流密度 J = I / S = ( V / R) / S = E l / (R S) = | / 利用电导率 = 1/ ， 结论结论1) J = | - 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 漂移运动：电子在电场力作用下的定向运动。 其速度称之为：漂移速度vd。 一般考虑平均漂移速度vd。 电子导电：J = - n q vd。(q 为正，结论结论2) ) n 是导带中的电子密度， vd与外加电场成正比。 其线性关系的比例系数定义为：Evd被称之为迁移率：电场作用下载流子的运动速度 由电子电导产生的电流密度为：

3、 J = n q |E| 由此得到结论结论3)： = n q (4-13) 由上述结论得到下面的结果： 在电场作用下，电子运动的速度越快(vd越大)，会导致电流强度越大(J)和迁移率()越大，最终导致电导率越大。 电子传导电流与电子迁移率成正比。 在电场不太大的情况下，电场与电流成正比。 半导体中会存在两种载流子：空穴和电子，且与温度 和ND有关，比单纯的金属导体(纯电子)复杂。 然而，在半导体中，电子和空穴产生电流的方向相同。 因此，在电场作用下，总的电流密度为：| )(EpqnqJJJpnpnpnpqnq总的电导率为：结论：n型 p型 本征)(pnipnqnpqnq 半导体内的载流子是运动

4、的，是无规则、杂乱无章的热运动。会从浓度高的地方扩散到浓度低的地方。 -即扩散的热运动：温度越高，热运动速度越快。 热运动受到的影响因素： 1) 晶格热振动；2)杂质；3)缺陷 先引入一个新的概念 平均自由程：连续两次散射间自由运动的平均路程。 该路程为统计平均的结果。 电场的作用：在两次碰撞间对电子沿电场方向加速。 实际的运动：热运动与漂移运动的叠加。1.载流子散射的概念 如果没有碰撞或散射，载流子在电场的作用下，将沿电场方向做加速运动，速度越来越快，电流越来越大。 F = Eq = ma, 半导体的电流一定，原因何在？ 存在阻力! 分析产生阻力的原因，为本章内容 。 如果存在碰撞或散射，在

5、两次碰撞之间，载流子从漂移速度为零到达最大值，然后再从零开始，往复。 将加速运动用平均速度近似、路程用平均自由程近似、时间用平均自由时间近似。得到的结论是：在恒定电场作用下，电流密度是恒定的。 上述的分析解释了电流产生的原因是电场对载流子的加速和散射对载流子运动的阻碍共同造成的。 因此，散射是半导体中电阻率产生的主要原因。 (1)电离杂质的散射 硅中掺杂的磷电离后形成施主中心，带正电荷，在周围产生了一个附加电场，对周围电荷有库仑力的影响。当电子运动到它附近后，会由此而改变运动方向，施主离子成为了散射中心。电离施主散射； 电离受主散射 在低温时，若杂质没有完全电离，随温度的升高，(施主)杂质浓度

6、不断增大，则电离散射将随温度的升高而增加。 假设施主杂质已经全部电离，即温度的变化在此不影响施主浓度。 温度越高，载流子的运动速度越快，当它接近电离施主时，运动方向的改变会越小，载流子受到的散射也越小。如图用散射几率P描述散射的强弱。温度越高，施主杂质对载流子的散射越小可表达为：2/3TNPii 晶格中原子偏离平衡位置会产生附加电场，对载流子也具有散射作用。偏离平衡位置的运动产生了格波，在晶体中传播，阻碍了载流子的运动。特别是在高温下，纵向光学波成为电阻的主要来源。为什么？ 对于硅、锗及III-V族化合物，其原胞结构均由两套面心立方原子套构而成，基元有2个原子，三维结构每个波矢q共有6支格波：

7、3支声学波和3支光学波。 3支声学波为2纵1横。声学波是 q = 0时，=0。 长声学波代表质心的振动。在长波范围内，波数q越大，波长越短，能量越大，声子数越少。 同时，其能量 为量子化的： (n+1/2)h 。声学波和光学波的差别是在倒空间的原点(0,0,0)，声学波的频率为零，光学波的频率为极大。声学波的两个原子振动方向相同，代表质心的振动。光学波的两个原子振动方向相反，质心保持不动。若两个原子为不同符号的离子，则会产生波动的电磁场。右图给出的横光学波不会引起密度的变化，而纵光学波则会引起两种原子密度的变化。 将具有量子化能量的晶格振动当作准粒子-声子。载流子与声子的作用为吸收或释放声子。

8、当格波减少一个h 而载流子增加同样能量时，称为吸收一个声子。 声子生动地描述了格波能量的量子化，并且将电子在晶体中被格波的散射看做是电子与声子的碰撞。 声子是玻色子。按照玻色-爱因斯坦统计，平均粒子数的温度关系为1)exp(10Tkhnq长声学波，声子数最多，作用最大。 声子的能量为：hTkhhhnE1)exp(121)21(0 电子与声子的碰撞过程：hEEhqhkhk 碰撞前，电子的波矢为k，能量为E，准动量为hk；散射后变为k；E；hk。公式中的正号表示电子吸收了一个声子，负号释放声子。 散射前后电子运动方向发生了变化，设其夹角为。由矢量法则得到)cos1 ( 2)(cos22222kkk

9、kkkkkq 设散射前后电子的波矢大小 变化不大，k = k。则有2sin2kq 考虑电子的速度v，声子的速度u。电子和声子的动量关系2sin22sin22sin2:,*vumhquhEEEvmhkhqhquhvmhknnn 在室温下，按照经典的统计，平均每个谐振子一个自由度的能量为kT(动能+势能)，为0.026eV。声子的能量低于此值，为meV数量级。光学声子的能量略高于此值，为几十个meV，与电子能量相差不大 对于声学波，尤其是长声学波，声子的速度u很小，与电子的速度相比(u/v)更小。与电子能量相比，碰撞的能量太小，可以忽略。因此认为声学波声子与电子碰撞，电子的能量基本不变。 -弹性散

10、射。 光学波声子与电子碰撞，电子的能量变化较大。 -非弹性散射。能够发生散射的条件是？动量(波数)相关不大! 声学波散射 室温下，电子热运动的速度为105m/s，对应的电子波长为m10/8*vmhn晶体中原子间距为10-10m，长声学波长达几十个原子间距。即长声学波长可以达到10-8m电子波长的数量级，发生散射。因而，对电子起主要散射作用的是长波，其波长须在几十个原子间距以上。长声学波的波速为常数，实际上是弹性波，即声波。对于长声学波， 0， k 0。 纵声学波与横波相比，由于它会引起原子密度的疏密变化，产生体积变化，导致能带的改变，对电子的运动会产生较大的影响。 在一个波长范围内，一半压缩，

11、一半膨胀。 由第一章的结论可以知道： 原子距离越远，相互作用越小，能级分裂越小，禁带宽度越小。因而膨胀的疏处禁带宽度减小，压缩的密处禁带宽度增大。能带的变化又如同产生了一个附加势场，使电子散射。 具有单一极值、球形等能面的半导体，对导带电子散射的几率是vuhmTkPncs242*022)(16由形变引起导带底的变化0VvEcc最后，因电子热运动速度与T1/2成正比，声学波散射几率2/3TPs对于硅、锗具有旋转椭球等能面的半导体，切变也会引起能带极值的变化，即横声学波也参与对电子的散射。总的散射几率依然如上式，为T3/2关系。 光学波散射 1)对硅、锗等同种原子构成的半导体，作用同声学波，只有弹

12、性散射，没有电场的作用。而对离子性晶体、光学波所产生的离子的疏密变化相当于半导体内产生了正电荷和负电荷的区域-产生了内部的附加势场。)(11)exp(1)()(002/102/30TkhfTkhTkhPlll其中，起主要作用的是中间的指数函数：1001)exp(TkhPl光声子能量较大，若电子能量低于h ，则将吸收声子。 温度低，则P0将很小，光声子数少，作用小； 温度高，则P0将增大，光声子数多，作用大。 结论：光声子主要作用于高温时的离子晶体。 (半导体在高温时的电阻主要由LO作用导致)。 例：n型砷化镓，q0时光学声子的max=8.7*1012hz，问对应的温度是多少？ 解：根据能量关系

13、 k0T = h ，T声子 = h L /k0 = 417 K。 T声子是L对应的温度。 当T100 K时，可以认为T T声子。 在研究半导体红外光探测器时，常将材料置于液氮之中(以防光学声子的干扰-声子噪声)。目前军事上使用的是其他红外探测器。其他因素引起的散射 1)等同能谷间散射 能带有多个能谷时，(如硅的导带具有极值能量相同的六个旋转椭球等能面)载流子在这些能谷中均匀分布。这些能谷为：“等同能谷等同能谷”。一个电子可以在一个能谷的极值低部散射到另一个能谷的极值附近，些等散射：“谷间散射谷间散射”。散射条件：e仅与长声子散射， 0， k 0。散射类型：g散射100方向的能谷100的能谷。

14、f 散射100方向的能谷010的能谷。散射几率P 计算公式：) 1Re() 1(hEnPqe 当 h 时，散射几率为 “0” 。 即不发生散射。 原因分析：当温度很低时，电子的能量太小，经典理论的结论是 E = (3/2) k0T，此能量小于声子的能量。 结论：低温时，谷间散射很小。 2)中性杂质散射：低温下杂质完全电离，这些中性杂质因电负性不同于正常原子而对电子有一定的散射作用。 因这种散射作用很弱，只作为微扰处理。且只在低温下，当其他主要的散射都很弱时，才会起主要作用。 3)位错散射： 刃位错会出现共价键不饱和的位错中心，即负电中心，引起附加电场，导致载流子散射。对于位错密度大的材料，位错

15、散射不能忽略。5.3 迁移率与杂质浓度和温度的关系迁移率与杂质浓度和温度的关系 本节将采用简单的模型讨论 1)电导率、迁移率和散射几率的关系， 2)杂质浓度和温度的关系。 散射几率P如何影响电子的运动，可用迁移率、电导率表示。 迁移率是微观量、电导率是宏观量。1.平均自由时间和散射几率的关系 前面已讨论过平均自由程l，取电子平均速度，可得到平均自由时间：连续两次散射之间的时间。 N个电子，以速度v运动。在时刻t未散射的电子数设为N(t)，在t到t+t内被散射的电子数为 P越大，t越长，被散射的电子越多，未被散射的电子数为N(t+t),，在t时间内被散射的电子数为tPtN)()()()()(tt

16、NtNtPtNtN解为)exp()(0PtNtN N0：t = 0时未散射的电子数。t = 0 dt 内被 散射电子是 PdtPtN)exp(0函数对时间的积分相当于对其求平均 0001)exp(PPdtPtNNt 结论：结论： 与与P为倒数关系，为倒数关系，P 越大，越大， 越小越小。从概念上理解：从概念上理解：P是单位时间内散射的次数；是单位时间内散射的次数； 是平均散是平均散射一次所需要的时间，两者成反比。射一次所需要的时间，两者成反比。)/exp()exp()(00tNPtNtN被散射电子数的变化为：2.电导率、迁移率与平均自由时间的关系 设外加电场|在x方向，电子 漂移沿x方向。 一

17、次散射后，速度为vx0，之后加速起到下次散射。 速度的变化：tEmqvvnxx|*0 取各个方向的统计平均，则vx0= 0，nnxEmqv|*ppxpnnxnmqEvmqEv*电子：空穴：结论1： 与 成正比电导率 n型 p型 混合型pnppppnnnnpqnqmpqpqmnqnq*2*2结论2： 与 成正比。原因：电子的平均自由时间(寿命)越长，加速的时间越长，平均速度越快，电导率越大。电子在导带时，用导带的有效质量、导带寿命和 迁移率。*cncmq硅的等能面为旋转椭球，电子有效质量mC: ml和mt分别为平行和垂直于电场方向的有效质量。)21(311tlcmmm硅导带电子对电流的贡献 设外

18、加电场沿x方向，等能面的旋转椭球长轴沿方向。 不同极值能谷中的电子，沿x,y,z方向的迁移率不同。 例：在1 0 0方向的能谷，电子沿x方向，为径向方向，迁移率为 l = q l / ml。在 01 0或001方向的能谷，电子沿x方向运动，为横向方向，迁移率为 3 = 2 = q 2 / m2。总电流：)(31,)(31321321cxEnqJcnCmq)21(311tlcmmm3. 迁移率与杂质和温度的关系 由前面的讨论可以导出： 电离杂质散射： 声学波散射： 光学波散射：1)exp(02/32/31TkhTTNosii得到 T关系：1)exp(02/32/31TkhTTNosii散射几率、

19、弛豫时间、迁移率的数学关系散射几率、弛豫时间、迁移率的数学关系 当几种散射机构同时存在时， 总的散射几率为各项总和。jjPP 弛豫时间：(平均自由时间 )jjjjjjPPPP11,11 考虑到迁移率和自由时间的正比关系，可以得到类似的关系式：jj11 结论：结论：散射几率P总是取最大值，时间和迁移率分别小于各自的最小值。 图图4-13为为n、p型硅的迁移率与杂质浓度和温度的关系。型硅的迁移率与杂质浓度和温度的关系。 高纯高纯1013时，杂质散射弱，主要是声学波。温度越高，时，杂质散射弱，主要是声学波。温度越高，声子数越多，散射越大，迁移率越小：声子数越多，散射越大，迁移率越小：2/3*1ATm

20、qs如图如图4-13(a)所示，迁移率与温度的单对数关系呈直线下所示，迁移率与温度的单对数关系呈直线下降，斜率为降，斜率为-2/3。引起迁移率变化的主要原因是声子的。引起迁移率变化的主要原因是声子的散射。在较高温度下，杂质的散射已不重要，主要依赖散射。在较高温度下，杂质的散射已不重要，主要依赖于温度，故在一定掺杂范围内的迁移率趋向相同数值。于温度，故在一定掺杂范围内的迁移率趋向相同数值。杂质浓度增加为杂质浓度增加为1017cm-3时，迁移率的变化逐渐降低，时，迁移率的变化逐渐降低，下降的趋势减弱，表明杂质的散射作用在加强。下降的趋势减弱，表明杂质的散射作用在加强。 当杂质浓度达到较高的当杂质浓

21、度达到较高的1019cm-3时，迁移率的变化呈现时，迁移率的变化呈现出先增加再下降的较为平坦的变化方式。出先增加再下降的较为平坦的变化方式。 在低温起作用的公式是：在低温起作用的公式是：在高温起作用的公式是：在高温起作用的公式是：2/3*1ATmqs在更高温度起作用的公式是：在更高温度起作用的公式是：1)exp(0Tkho2/31TNii 从图中可以看到，当杂质浓度从从图中可以看到，当杂质浓度从1017cm-3变化到变化到1019cm-3时，杂质在低温下对迁移率的影响极大。时，杂质在低温下对迁移率的影响极大。杂质浓度对迁移率的影响杂质浓度对迁移率的影响 在非常高的温度下，起主导作用的是晶格散射

22、，为在非常高的温度下，起主导作用的是晶格散射，为AT3/2项，迁移率下降。项，迁移率下降。在图在图4-14中，给出了中，给出了300K时，杂质浓度与迁移率的关系。时，杂质浓度与迁移率的关系。在固定温度下，晶格振动不变，杂质浓度的增加将导致在固定温度下，晶格振动不变，杂质浓度的增加将导致散射的增大，迁移率的下降。散射的增大，迁移率的下降。其中，电子的迁移率要大于空穴的迁移率。其中，电子的迁移率要大于空穴的迁移率。300K时，硅、锗、砷化镓的迁移率见表时，硅、锗、砷化镓的迁移率见表4-1。需要注意的是：虽然载流子浓度为两种杂质浓度之差需要注意的是：虽然载流子浓度为两种杂质浓度之差(补偿作用补偿作用

23、)；但是：上两个图中的杂质浓度为；但是：上两个图中的杂质浓度为“两种浓两种浓度之和度之和”。用公式表示为。用公式表示为n = ND -NA，Ni(杂质杂质) = ND+NA5.4 电阻率及其杂质浓度和电阻率及其杂质浓度和温度的关系温度的关系 已经讨论了迁移率的情况，但因迁移率仅表达了已经讨论了迁移率的情况，但因迁移率仅表达了微观特性，实际上常用电阻率表示。微观特性，实际上常用电阻率表示。 在以后的专业实验中，将会用四探针法测量电阻在以后的专业实验中，将会用四探针法测量电阻率，下面给出基本的迁移率与电阻率的关系式：率，下面给出基本的迁移率与电阻率的关系式：)(/1:)/(1:/1:/1:pnii

24、pnpqnnqnqnqpnqn本征型混合型型型300K：硅，硅， 为为2.3*105 cm 锗，锗， 为为47 cm1.电阻率和杂质浓度的关系电阻率和杂质浓度的关系 从图从图4-15可以看出，横坐标的杂质浓度越高，纵坐标可以看出，横坐标的杂质浓度越高，纵坐标的电阻率越小。的电阻率越小。 杂质浓度的作用可以分为两个方面：杂质浓度的作用可以分为两个方面： 提供导带电子，使传导电流增加，减小电阻率。提供导带电子，使传导电流增加，减小电阻率。 形成电离中心，阻碍电子运动，增大形成电离中心，阻碍电子运动，增大 电阻率。电阻率。 如果杂质浓度增加，迁移率会下降，电阻率增大。而如果杂质浓度增加，迁移率会下降

25、，电阻率增大。而上述的讨论显示电阻率减小。原因？上述的讨论显示电阻率减小。原因？ 若迁移率不大时，对于若迁移率不大时，对于n型半导体，型半导体，n ND，使得，使得)/(1nDnqN此时，此时， 的作用大于的作用大于的作用，使的作用，使电阻率减小。电阻率减小。杂质浓度增高达到杂质浓度增高达到1018以上时，电阻率的曲线偏离直线，其原因分以上时，电阻率的曲线偏离直线，其原因分别是别是 杂质在室温下未全部电离，尤其是重掺杂情况下的简杂质在室温下未全部电离，尤其是重掺杂情况下的简并半导体，杂质阻碍了电子的运动并半导体，杂质阻碍了电子的运动； 迁移率随杂质浓度的增加将显著下降。迁移率随杂质浓度的增加将

26、显著下降。 图图4-15的作用：的作用：“通过杂质浓度计算电阻率通过杂质浓度计算电阻率”。 例：硅中掺百万分之一的砷。例：硅中掺百万分之一的砷。 硅的浓度为：硅的浓度为：5*1022 cm -3(附表附表2-1)； 砷的浓度为：砷的浓度为：5* 1016 cm -3 。 对于对于n-Si，电阻率约为，电阻率约为0.165 cm，本征，本征Si:2.3*105 cm 。 反之，测出电阻率可以检验材料的纯度。反之，测出电阻率可以检验材料的纯度。 但，高杂质浓度的补偿材料：电阻率高，看似高纯。但，高杂质浓度的补偿材料：电阻率高，看似高纯。 “高纯的材料杂质多，不宜制作器件高纯的材料杂质多，不宜制作器

27、件”。2.电阻率随温度的变化电阻率随温度的变化 纯纯半导体材料，本征载流子浓度决定了电阻率。半导体材料，本征载流子浓度决定了电阻率。 硅：室温时，温度增加硅：室温时，温度增加8K，电导率增加一倍。其特征，电导率增加一倍。其特征被认为是被认为是“半导体区别于金属的一个重要特征半导体区别于金属的一个重要特征”。 杂质杂质半导体材料，杂质电离和本征激发共存，半导体材料，杂质电离和本征激发共存，电离杂电离杂质质散射和散射和晶格散射晶格散射的存在决定了电阻率。的存在决定了电阻率。AB段：低温杂质电离导致段：低温杂质电离导致 载流子增加，电阻率降低；载流子增加，电阻率降低；BC段：晶格散射随温度上升段：晶

28、格散射随温度上升而增大，导致电阻率增加；而增大，导致电阻率增加；CD段：本征激发导致本征载段：本征激发导致本征载流子大量增加，电阻率下降。流子大量增加，电阻率下降。5.5 玻耳兹曼方程玻耳兹曼方程电导率的统计理论电导率的统计理论 上述的数学关系已经导出了：上述的数学关系已经导出了： 平均漂移速度平均漂移速度 电导率电导率 迁移率迁移率散射几率散射几率自由时间自由时间 本节的目的：根据载流子速度的统计分布，本节的目的：根据载流子速度的统计分布，“精确计精确计算半导体的电导率算半导体的电导率”。 利用了两个假设：利用了两个假设： 自由时间自由时间 是一个常数，与平均速度是一个常数，与平均速度v无关

29、；无关； 散射后的速度完全无规则，各方向几率相同，散射后的速度完全无规则，各方向几率相同， 即可以认为：散射后沿电场方向的初速度为零，即可以认为：散射后沿电场方向的初速度为零，电场的加速作用导致了平均漂移速度。电场的加速作用导致了平均漂移速度。1.玻耳兹曼方程玻耳兹曼方程 无外电场作用，温度均匀时，半导体处无外电场作用，温度均匀时，半导体处于热平衡。用费米分布于热平衡。用费米分布“f”描述电子占描述电子占据能级的几率。外加电场或温度梯度时，据能级的几率。外加电场或温度梯度时，用用“f(k,r,t)”表示非平衡态的分布函数。表示非平衡态的分布函数。温度变化与电场变化温度变化与电场变化 温度的不均

30、匀指系统各个部位温度的不同，将温度的不均匀指系统各个部位温度的不同，将引起引起f(r)的不同，由扩散运动恢复其平衡。的不同，由扩散运动恢复其平衡。 电场的作用是加速载流子的漂移运动速度，即电场的作用是加速载流子的漂移运动速度，即改变量是波矢改变量是波矢k,及其相应的能量。这种加速运及其相应的能量。这种加速运动由动由f(k)描述。描述。 载流子在运动过程中受到的阻力主要是载流子在运动过程中受到的阻力主要是“散散射射”。 因此，从整体来看，由温度和电场引起的不平因此，从整体来看，由温度和电场引起的不平衡在扩散和散射的作用下，趋向平衡。衡在扩散和散射的作用下，趋向平衡。 相体积元的相体积元的电子数为

31、：电子数为：dkdrtrkftrkdN),(2),(相体积元中电子数的增长率为：相体积元中电子数的增长率为：dkdrtf2(1)考虑在电场和温度作用下的漂移变化考虑在电场和温度作用下的漂移变化)()()(fvfktrrftkkftfrkddd电子数密度：电子数密度：dktkftkdn),(2),(n(k,t): 单位体积中，单位体积中，k k+dk内的电子数。内的电子数。(2)散射作用散射作用dkdrtfs)(2总的作用：总的作用：srksdtffvfktftftf)()()()(在稳定情况下：在稳定情况下：0)()(srktffvfktf无温度梯度时：无温度梯度时：fktfks)(0 fr此式为分布函数的玻耳兹曼方程此式为分布函数的玻耳兹曼方程2 弛豫时间近似 主要讨论电场消失后，半导体趋向平衡的过程。 过程：对半导体施加电场，在 t = 0 时，取消电场，电子占据能级的几率将从初态的分布函数f (0 )变化到终态平衡时的分布函数 f 0(t)。 电子由