【精品推荐】热力学统计物理近独立粒子的最概然分布分享资料

1、12研究对象研究对象: : 大量微观粒子组成的宏观物质系统。大量微观粒子组成的宏观物质系统。 ( (微观粒子：如分子、原子、自由电子、光子等微观粒子：如分子、原子、自由电子、光子等) )统计物理认为统计物理认为: : 宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现。宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现。 宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。经典统计经典统计: : 粒子满足经典力学规律粒子满足经典力学规律 ( (运动状态的经典描述运动状态的经典描述) )量子统计量子统计: : 粒子满足量子力学规律粒子满足量子力学规律 ( (运动状态的量子描述运动状态的量子描述)

2、 )在一定条件下，经典统计是一个极好的近似。在一定条件下，经典统计是一个极好的近似。 本章内容本章内容: : 经典描述经典描述; ; 量子描述量子描述; ; 三种分布函数及相三种分布函数及相应的微观状态数。应的微观状态数。3 遵守遵守经典力学经典力学运动规律的粒子，称为运动规律的粒子，称为经典粒子经典粒子。 1. 具有具有“颗粒性颗粒性”：有一定的质量、电荷等性质。：有一定的质量、电荷等性质。 2. 轨道运动轨道运动：满足牛顿定律：满足牛顿定律. 给定初时刻的给定初时刻的 、 ，可，可确定其运动轨迹确定其运动轨迹 (确定性描述确定性描述)。经典粒子可以被。经典粒子可以被“跟踪跟踪”。 3. 可

3、以分辨可以分辨：经典全同粒子可以分辨。：经典全同粒子可以分辨。 具有完全相同属性（质量、电荷、自旋等）的同类粒子具有完全相同属性（质量、电荷、自旋等）的同类粒子称为称为全同粒子全同粒子。 4. 能量是连续的能量是连续的：按照经典力学的观点，在允许的能：按照经典力学的观点，在允许的能量范围内，粒子的能量可取任何值。量范围内，粒子的能量可取任何值。rp4一一 空间（相空间）空间（相空间） ：粒子位置和动量构成的空间粒子位置和动量构成的空间 经典力学经典力学: 确定一个粒子的运动状态用确定一个粒子的运动状态用 和和 。 自由度自由度 r =1（曲线上运动（曲线上运动) : x 和和 px 描述其状态

4、；描述其状态； r = 3（3D空间中运动空间中运动): x, y, z 和和 px , py , pz 描述状态。描述状态。 若粒子有内部运动若粒子有内部运动, 则则 r 更大。如双原子分子更大。如双原子分子 , , p , p 一般地，一般地，设粒子的自由度为设粒子的自由度为 r ， 其力学运动状态由粒子其力学运动状态由粒子的的 r 个广义坐标个广义坐标 q1、q2、qr 和相应的和相应的 r 个广义动量个广义动量 p1、p2、 pr 共共 2r 个量的值确定。粒子能量个量的值确定。粒子能量： =( q1、q2、qr ，p1、p2、pr ) 。rp 总之，微观粒子运动状态的经典描述是采用粒

5、子的坐总之，微观粒子运动状态的经典描述是采用粒子的坐标和动量共同描述的方法。标和动量共同描述的方法。5 用单粒子的广义坐标和广义动量用单粒子的广义坐标和广义动量 q1, q2 , qr, p1, p2 , pr 为直角坐标构成为直角坐标构成2r 维空间维空间, , 称为称为粒子相空间粒子相空间 ( (即即 空间空间). ). 例如：单原子分子例如：单原子分子 r =3 ，空间是空间是6维。维。 刚性双原子分子刚性双原子分子 r = 5，空间是空间是10维的。维的。 粒子在某时刻的力学运动状态粒子在某时刻的力学运动状态(q1、pr )可用可用空间中的空间中的一个点表示，称为粒子运动状态的代表点。

6、一个点表示，称为粒子运动状态的代表点。 空间中的代表点与粒子的运动状态一一对应。空间中的代表点与粒子的运动状态一一对应。 这样：这样： （1）空间中的一个代表点表示粒子的一个状态，空间中的一个代表点表示粒子的一个状态， （2）当粒子运动状态随时间改变时，相应地代表点在）当粒子运动状态随时间改变时，相应地代表点在 空间中移动，描绘出一条轨迹称为空间中移动，描绘出一条轨迹称为相轨道相轨道（相迹）。（相迹）。 （3）N 粒子系统粒子系统, 需需N个代表点描述系统的一个微观状态个代表点描述系统的一个微观状态. （4）空间中的体积元：各轴上截取空间中的体积元：各轴上截取dq1 , dq2 , , dqr

7、 , dp1 , dp2 , , dpr , 则围成则围成空间中的体积元：空间中的体积元： d = dq1 dq2 dqr dp1 dp2 dpr6二二 经典描述方法例子经典描述方法例子 1 自由粒子自由粒子 不受外力作用的粒子（如理想气体不受外力作用的粒子（如理想气体分子、金属自由电子等），其能量分子、金属自由电子等），其能量 1D自由粒子自由粒子: 限制在长限制在长L范围内范围内 (线状材料等线状材料等)； 互相正交的互相正交的 x、px 轴构成轴构成2D的的空间。空间。 相轨道相轨道“”等能面等能面是一条直线是一条直线. 3D自由粒子：自由粒子：r = 3 , 设粒子处于体积设粒子处于体

8、积 V 中。状态由中。状态由 x、 y、z、px、py、pz 确定，确定，空间是空间是 6 维的。维的。 mp22 粒子能量粒子能量 = ( px2 + py2 + pz2 ) / / 2m动量动量子空间子空间的半径的半径 mppppzyx2222 xxpLO7等能面等能面（在动量子空间中）是半径为的（在动量子空间中）是半径为的 球面。球面。 相空间的体积（动量小于相空间的体积（动量小于p时）时）2/3)2(34 mVdpdpdpdxdydzzyx m2 自由度为自由度为 1, 某时刻粒子状态为（某时刻粒子状态为（x, px）。）。空间为二空间为二维。若给定振子的能量维。若给定振子的能量, 运

9、动轨迹由如下方程确定：运动轨迹由如下方程确定：222212xmmpx 2 线性谐振子线性谐振子 质量为质量为 m 的粒子在力的粒子在力 f = - -kx 作用下的一维简谐振动作用下的一维简谐振动（如双原子分子（如双原子分子; 晶体中格点上的原子、离子等）。晶体中格点上的原子、离子等）。 xxp2222222122xxppmxxmab两个半轴长度两个半轴长度22 mb ma2 8即相空间中的即相空间中的等能面等能面为椭圆。其面积为为椭圆。其面积为2Sabpxo123 92221()2m xyz( , , )r 描述质点的位置描述质点的位置sincos,sinsin,cos .xryrzr222

10、2221(sin)2m rrrr 不变：不变：222221(sin)2m rr与与 共轭的动量共轭的动量, 质量为质量为 m 的质点绕的质点绕O点转动点转动 (设半径不变设半径不变),3 3 转子转子转动能量转动能量 222sin21ppI其中转动惯量其中转动惯量 2mrI rr mp v 22sinmrm 2mrrrm vsinrmp 10两体或多体绕质心的转动也可看成一个转子两体或多体绕质心的转动也可看成一个转子平面转子：平面转子： 2/ , 0 ppp22rpI多体多体能量为能量为22211(p)2sinrpIzxy11一粒子微观运动状态的量子描述一粒子微观运动状态的量子描述 波粒二象性

11、波粒二象性 德布罗意于德布罗意于1924年提出，一切微观粒子都具有波粒年提出，一切微观粒子都具有波粒 二象性二象性(中子衍射中子衍射)。 、p 与与 、k 存在德布罗意关系存在德布罗意关系 h普朗克常数，它的量纲是普朗克常数，它的量纲是 时间时间 能量能量=长度长度 动量动量=角动量角动量 常称为作用量子常称为作用量子经典描述或量子描述的判据经典描述或量子描述的判据. 不确定关系不确定关系( (测不准原理测不准原理) ) 微观粒子的坐标和动量不可能同时具有确定的值。微观粒子的坐标和动量不可能同时具有确定的值。用用q 表示粒子坐标的不确定值表示粒子坐标的不确定值, p 表示动量不确定值表示动量不

12、确定值, 6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述 kp 2 k 2h 12微观粒子的微观粒子的 和和 不能同时具有确定值不能同时具有确定值不是轨道运动。用不是轨道运动。用波函数描述状态：波函数描述状态： 表示表示 t 时刻时刻 处粒子出现的概率密度。处粒子出现的概率密度。则则 2qp2),(tr r电子轨道电子轨道电子出现概率最大的地方。电子出现概率最大的地方。 状态的分立性状态的分立性 量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态量子态。它由一。它由一组组量子数量子数来表征，其来表征，其数目数目等于粒子的等于粒子的自由度数自由度数。 状态所

13、对应的力学量状态所对应的力学量(如能量如能量 等等)不连续不连续状态量子化。状态量子化。5 全同性原理全同性原理 全同粒子全同粒子不可分辨不可分辨，任意交换一对粒子不改变系统状态，任意交换一对粒子不改变系统状态. 波函数描写态波函数描写态rp2Et 或或 13二量子描述例子二量子描述例子 外场中的电子自旋外场中的电子自旋 电子自旋产生磁矩电子自旋产生磁矩 Sme zzSme 2 zSmez2 2see BBBmmm 而而 所以所以 （自旋方向取向量子化）（自旋方向取向量子化） sm21 即外场中的电子自旋状态只需要一个量子数即外场中的电子自旋状态只需要一个量子数即可描写其状态，它取两个分立值即

14、可描写其状态，它取两个分立值 SBZ沿磁场方向沿磁场方向 为自旋角动量为自旋角动量 S142 自由粒子自由粒子 （1）一维自由粒子：）一维自由粒子：自由运动的粒子被限制在边长为自由运动的粒子被限制在边长为L的一维容器中。波函数的一维容器中。波函数要满足一定的边界条件，采用周期性条件，即要满足一定的边界条件，采用周期性条件，即 xnL , 2, 1, 0 nx xxnLk 22 由由 xxxnLkp 2 所以所以 即动量只能取分立的值。即动量只能取分立的值。 负号表示反向传播负号表示反向传播 , 2, 1, 0 nx量子数量子数正号表示正向传播正号表示正向传播152222222xxnmLmp 能

15、量能量 能量也是分立的。能量也是分立的。 表明：表明： 用一个量子数就可以确定粒子的动量、能量。用一个量子数就可以确定粒子的动量、能量。 粒子状态是分立的粒子状态是分立的能级。能级。 各能级的简并性：各能级的简并性：nx=1是不同状态是不同状态 简并。简并。 能级间隔大小与能级间隔大小与L、m成反比，成反比，) 12(2221 nmL nnn 显然显然, 若若L时，时， 0，即能量此时是连续的。故，即能量此时是连续的。故粒子在宏观尺度上量子效应不显著，可用经典方法描述。粒子在宏观尺度上量子效应不显著，可用经典方法描述。13616（2）三维自由粒子：）三维自由粒子： 设自由粒子在边长为设自由粒子

16、在边长为L的方盒子中运动。粒子的运动满的方盒子中运动。粒子的运动满足薛定谔方程。由周期性边界条件得足薛定谔方程。由周期性边界条件得xxxnLkp 2 zznLp 2 yynLp 2 22221zyxpppm 2222222zyxnnnmL 量子态即由三个量子数来确定。状态是量子化的。量子态即由三个量子数来确定。状态是量子化的。对于一定的能量对于一定的能量 ，可包含多个量子态，可包含多个量子态能级简并。能级简并。 简并性讨论简并性讨论 ： 2222222zyxnnnmL 17 经典粒子的动量和能量是连续的经典粒子的动量和能量是连续的, 而在量子描述中而在量子描述中, 动量动量和能量是分立的和能量

17、是分立的, 这是局域在有限空间范围粒子的特性。这是局域在有限空间范围粒子的特性。0 yxnn1 zn0 zxnn1 yn0 zynn1 xn六状态能量同为六状态能量同为 2222mL 2222222zyxnnnmL 3 线性谐振子线性谐振子 21n, 2, 1, 0 n l 用一个量子数用一个量子数 n 描述状态；描述状态；l 各能级都是非简并的，即每个能级只有一个量子态；各能级都是非简并的，即每个能级只有一个量子态；l 能级间隔相同：能级间隔相同： ；l 存在零点能，即存在零点能，即n=0时能量非零。时能量非零。 18三、粒子的状态与三、粒子的状态与 空间体积元的对应关系空间体积元的对应关系

18、 空间中的体积元为空间中的体积元为: d = dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr 如：如：1D：相体积：相体积 xdxdp若对坐标不加限制，则成为若对坐标不加限制，则成为 xLdp3D：相体积：相体积 zyxdpdpdxdydzdp若对坐标不加限制，则成为若对坐标不加限制，则成为 zyxdpdpVdpxxpLOxxpLOxdpxdpdx19xxnLp 2 zznLp 2 yynLp 2 由由 xxdpLdn 2 有有 zzdpLdn 2 yydpLdn 2 故在故在 V 中，粒子的动量在间隔中，粒子的动量在间隔 ， xxxdppp yyydppp zzzdppp 范围内的量子态数为范围

19、内的量子态数为 zyxzyxdpdpdphVdndndn3 在宏观大小的容器内，粒子的动量、能量已变得准连在宏观大小的容器内，粒子的动量、能量已变得准连续。但原则上仍有量子数的概念。这时如何考虑自由粒子续。但原则上仍有量子数的概念。这时如何考虑自由粒子的量子态数？的量子态数？20利用不确定关系解释利用不确定关系解释hpqii rrrhpppqqq 2121叫做叫做相格相格：表示粒子的一个状态在：表示粒子的一个状态在 空间中占有的体积。空间中占有的体积。则上式可理解为：相体积则上式可理解为：相体积Vdpxdpydpz内具有的量子态数内具有的量子态数为相体积为相体积Vdpxdpydpz比上相格。比

20、上相格。在在 空间体积元空间体积元 d d 内内粒子可能的状态数为粒子可能的状态数为rrrrhdpdpdpdqdqdqhd2121 zyxzyxdpdpdphVdndndn3 21由由 ，量子化轨道把，量子化轨道把 空间分成许多体积元，空间分成许多体积元，例例1 一维自由粒子一维自由粒子 空间是二维的，空间是二维的， 一定时，相轨道是一条线段。一定时，相轨道是一条线段。 验证了上面结论。验证了上面结论。 hLnnLLppxxnnxx )1(2)(1 xxnL p 2 xxpLO其体积为其体积为 例例2 线性谐振子线性谐振子 空间的空间的等能面是椭圆，面积为等能面是椭圆，面积为 xxp 2能级为

21、能级为 ， 21n, 2, 1, 0 n 相邻两个状态之间所夹的面积为相邻两个状态之间所夹的面积为 22 hnnnn )21()211(221rh推广之：粒子的一个状态在推广之：粒子的一个状态在 空间中占有的体积为相格空间中占有的体积为相格四四. . 三维自由粒子的态密度三维自由粒子的态密度1D：相体积：相体积 dxdpx , 若对坐标不限制，相体积若对坐标不限制，相体积 Ldpx 其中状态数其中状态数 hLdpx/ 3D： 空间为空间为6维维, 相格大小为相格大小为 h3, 下面分几种情况讨论下面分几种情况讨论.1 直角坐标直角坐标组成的体积元组成的体积元 内内zyxdpdpdxdydzdp

22、3/xyzdxdydzdp dp dph粒子的状态数为粒子的状态数为dxxx xxxdppp zzzdppp yyydppp dzzz dyyy 23zyxdpdpdphV33 若动量空间中采用球坐标，若动量空间中采用球坐标，2sinsin Vpdpddppdp dd 在体积在体积V 内，动量大小在内，动量大小在 p 到到 p + dp, 动量方向在动量方向在 到到 + d ， 到到 + d内，自由粒子可能的状态数为：内，自由粒子可能的状态数为： 32sinhd d dp p V 2 若对坐标不加限制若对坐标不加限制, ， dpppxxx zzzdppp ， dpppyyy 内的状态数为内的状

23、态数为 则在则在 V 中中, 动量范围动量范围 ( , , )p 描述质点的动量描述质点的动量sincos,sinsin,cos .xyzpppppp则动量空间的体积元：则动量空间的体积元：zxyp244 若对动量的方向不加限制，若对动量的方向不加限制，则在体积则在体积 V 内，动量绝对值内，动量绝对值在在 p 到到 p+dp 的范围内，自由粒子可能的状态数为：的范围内，自由粒子可能的状态数为：2223300 sin 4V pdpVddp dphh 5 以能量形式表示以能量形式表示mp22 3/221 233422VVp dpmdhh/ mp2 d mdp2 25 dmhVdD2123322)

24、(/ D( ) 表示表示 附近单位能量间隔内的状态数附近单位能量间隔内的状态数, 称为称为态密度态密度。 以上的计算没有考虑粒子的自旋，如果粒子的自旋不以上的计算没有考虑粒子的自旋，如果粒子的自旋不等于零，还要考虑自旋的贡献。等于零，还要考虑自旋的贡献。表示：在表示：在 V 内，在内，在 到到 + d 的范围内自由粒的范围内自由粒子可能的状态数。子可能的状态数。定义：定义：266.3 6.3 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述 全同粒子系统全同粒子系统 就是由具有完全相同属性（相同的质量、自旋、就是由具有完全相同属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统。如自由电子气体。

25、电荷等）的同类粒子所组成的系统。如自由电子气体。 近独立粒子系统：近独立粒子系统：粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和。相互作用。将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和。( 如如理想气体：近独立的粒子组成的系统理想气体：近独立的粒子组成的系统 ) iiE 一一 基本概念基本概念27任一粒子的状态发生变化任一粒子的状态发生变化, 则整个系统的微观状态发生变化则整个系统的微观状态发生变化 经典描述单粒子的

26、状态要经典描述单粒子的状态要 r 个广义坐标和个广义坐标和 r 个广义动量，个广义动量，N个个粒子粒子系统的微观运动状态需要系统的微观运动状态需要( i = 1, 2, , N ) 共共 2N 个变量来确定。在个变量来确定。在 空间中要用空间中要用N个点表示个点表示系统某时刻的一个微观运动状态。系统某时刻的一个微观运动状态。qi1、qi 2、qir； pi1、pi 2、pirijij二二 系统微观运动状态的经典描述系统微观运动状态的经典描述 全同粒子是可以分辨的。全同粒子是可以分辨的。在全同粒子系统中在全同粒子系统中, 将两个粒将两个粒子的运动状态加以交换子的运动状态加以交换, 则系统的力学运

27、动状态是不同的。则系统的力学运动状态是不同的。28 B) 粒子状态是分立的。粒子状态是分立的。 粒子所处的状态叫量子态粒子所处的状态叫量子态 (单粒子态单粒子态)。 量子态量子态 用一组量子数表征（如自由粒子用一组量子数表征（如自由粒子nx, ny, nz）. 不同量子态的量子数取值不同。不同量子态的量子数取值不同。 量子描述单粒子的状态是确定单粒子的量子态，对于量子描述单粒子的状态是确定单粒子的量子态，对于 N个粒子的系统，就是确定各个量子态上的粒子数。个粒子的系统，就是确定各个量子态上的粒子数。三三 系统微观运动状态的量子描述系统微观运动状态的量子描述A) 全同粒子是不可分辨的。交换任何一

28、对粒子不改变全同粒子是不可分辨的。交换任何一对粒子不改变整个系统的微观状态。整个系统的微观状态。 但定域系粒子可辨（定域系但定域系粒子可辨（定域系粒子位置被限定）粒子位置被限定）291 1 玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统 粒子可以分辨粒子可以分辨, 每个个体量子态上的粒子数不受限制每个个体量子态上的粒子数不受限制.确定系统的微观状态要求确定每个粒子所处的个体量子态。确定系统的微观状态要求确定每个粒子所处的个体量子态。确定了每个粒子所处的量子态就确定了系统的一个微观状态确定了每个粒子所处的量子态就确定了系统的一个微观状态(如定域系如定域系)。例：例：设系统由设系统由A、B两个粒子组成（定域子）。粒子的

29、个体两个粒子组成（定域子）。粒子的个体量子态有量子态有3个个, 讨论系统有那些可能的微观状态？讨论系统有那些可能的微观状态？ 因此，对于定域系统可有因此，对于定域系统可有9种不同的微观状态，即种不同的微观状态，即 32。一般地为一般地为 .a A B123302 2 不可分辨的全同粒子系统不可分辨的全同粒子系统 对于不可分辨的全同粒子，必须考虑全同性原理。对于不可分辨的全同粒子，必须考虑全同性原理。 确定由全同近独立粒子组成的确定由全同近独立粒子组成的系统的系统的微观状态归结为确微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。定每一个体量子态上的粒子数。或：或： 确定了每个量子态上的粒子数就确定了

30、系统的微观状态确定了每个量子态上的粒子数就确定了系统的微观状态（1）玻色系统：）玻色系统：即自旋量子数为整数的粒子组成的系统即自旋量子数为整数的粒子组成的系统. 如光子自旋为如光子自旋为1、 介子自旋为介子自旋为0。由玻色子构成的复合粒。由玻色子构成的复合粒子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子也是玻色子子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子也是玻色子 粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不限粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不限（即不受泡（即不受泡利原理限制）利原理限制） 31（2）费米系统：）费米系统：即自旋量子数为半整数的粒子组成的系统即自旋量子数为半整数的粒子组成的系统 如电子、质子

31、、中子等都是自旋为如电子、质子、中子等都是自旋为1/2的费米子。由奇的费米子。由奇数个费米子构成的复合粒子也是费米子。数个费米子构成的复合粒子也是费米子。 粒子不可分辨，每个个体量子态上最多能容纳一个粒粒子不可分辨，每个个体量子态上最多能容纳一个粒子（费米子遵从泡利原理）。子（费米子遵从泡利原理）。 上例变为上例变为 (A=B)两个玻色子占据两个玻色子占据3个量子态有个量子态有6种种方式方式 32仍为仍为A=B 两个费米子占据两个费米子占据3个量个量子态有子态有3种占据方式种占据方式 对于不同统计性质的系统，即使它们有相同的粒子数、对于不同统计性质的系统，即使它们有相同的粒子数、相同的量子态，

32、系统包含的微观状态数也是不同的。相同的量子态，系统包含的微观状态数也是不同的。 上例仅为两个粒子组成的系统、三个量子态。对于大上例仅为两个粒子组成的系统、三个量子态。对于大量微观粒子组成的实际系统，其微观状态数目是大量的。量微观粒子组成的实际系统，其微观状态数目是大量的。336.4 6.4 等概率原理等概率原理 宏观态：宏观态：系统的热力学状态。系统的热力学状态。 用少数几个宏观参量即可确定系统的宏观态。用少数几个宏观参量即可确定系统的宏观态。微观态：微观态：系统的力学状态。系统的力学状态。 确定方法：确定方法：可分辨的全同粒子系统可分辨的全同粒子系统(玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统)； 不可分辨的

33、全同粒子系统不可分辨的全同粒子系统(玻色、费米系玻色、费米系) 确定各微观状态出现的概率就能用统计的方法求确定各微观状态出现的概率就能用统计的方法求出微观量的统计平均值，从而求出相应宏观物理量，出微观量的统计平均值，从而求出相应宏观物理量，因此因此确定各微观状态出现的概率确定各微观状态出现的概率是统计物理学的基本是统计物理学的基本问题。问题。 宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现；宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现；宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。34 对于孤立系统对于孤立系统, 会出现大量的微观状态。这些微观状态会出现大量的微观状态。这些微观

34、状态都满足具有确定的都满足具有确定的N、E、V 的宏观条件。从能量上讲这些的宏观条件。从能量上讲这些微观状态应是平权的。微观状态应是平权的。 等概率原理是统计物理学中的一个基本假设，是平衡态等概率原理是统计物理学中的一个基本假设，是平衡态统计物理学理论的基础。统计物理学理论的基础。不能直接从实验上验证。它的正确不能直接从实验上验证。它的正确性在于从它推出的各种结论上的正确性。性在于从它推出的各种结论上的正确性。 例例 静止容器中平衡态气体静止容器中平衡态气体平动动能为零；平动动能为零； 重力场中平衡态气体重力场中平衡态气体压强按高度分布。压强按高度分布。 等概率原理：等概率原理：对于处在平衡状

35、态的孤立系统，系统各个对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的！可能的微观状态出现的概率是相等的！356.5 6.5 分布和微观状态分布和微观状态 系统具有确定的系统具有确定的N,E,V(孤立系孤立系)。这时系统有大量微观态。这时系统有大量微观态.一、分布一、分布若确定了各能级上的粒子数，则确定了系统的一个分布。若确定了各能级上的粒子数，则确定了系统的一个分布。 l,21 l,21 ， a a al,21，简并度简并度 粒子数粒子数N 粒子系统的粒子系统的 能能 级级 即：能级即：能级 1上有上有a1个粒子，个粒子， 能级能级 2上有上有a2个粒子，个粒子，。这就给

36、出一个分布，即数列这就给出一个分布，即数列 al 1 1a2ala2 l 满足约束条件满足约束条件 Nall, Ealll 36 分布只表示每一个能级上有多少个粒子。一种分布包分布只表示每一个能级上有多少个粒子。一种分布包含大量的微观状态。含大量的微观状态。 每一种不同的占据方式都是不同的微观运动状态。每一种不同的占据方式都是不同的微观运动状态。 对一个确定的分布，它相应的微观状态数是确定的。对一个确定的分布，它相应的微观状态数是确定的。二、分布二、分布 al 包含的微观状态数（量子描述）包含的微观状态数（量子描述）1 玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统 ( (定域系统定域系统) )：粒子可以分辨粒子可

37、以分辨(可编号可编号)，每个量子态上的粒子数不限。，每个量子态上的粒子数不限。 (1) al 个粒子占据个粒子占据 l 上的上的l个量子态的占据方式数个量子态的占据方式数: (2) 各个能级都考虑在内，系统总的占据方式数各个能级都考虑在内，系统总的占据方式数: (3) 由于粒子可分辨，能级之间粒子的交换是新的占据由于粒子可分辨，能级之间粒子的交换是新的占据方式），能级之间粒子的交换有方式），能级之间粒子的交换有 种不同的交换种不同的交换方式。（未改变分布）方式。（未改变分布）lal lall llaN!/ /37例：系统有例：系统有6个可分辨粒子，共两个能级，个可分辨粒子，共两个能级， 1=3

38、， 2=4给定分布：给定分布：a1= 4, a2=21 1a2a2 1 1a2a2 2443 (4) 系统分布系统分布 al 包含的总微观状态数为包含的总微观状态数为 !laM BllllNa llalaNl! 2443 能级之间粒子交能级之间粒子交换的方式数目为换的方式数目为llaN!382 玻色系统分布玻色系统分布 al 包含的微观状态数包含的微观状态数 粒子不可分辨，交换任意一对粒子不改变系统的微观态。粒子不可分辨，交换任意一对粒子不改变系统的微观态。每个量子态上的粒子数不受限制。每个量子态上的粒子数不受限制。CDEA B1234 (1) al个粒子占据能级个粒子占据能级 l 上的上的

39、l个量子态的占据方式数：个量子态的占据方式数：用用 表示量子态，表示量子态， 表示粒子。表示粒子。例如：例如：规定：粒子占据左边的量子态。规定：粒子占据左边的量子态。12345 这样就确定了每个量子态上的粒子数，即确定了一种占这样就确定了每个量子态上的粒子数，即确定了一种占据方式（一个微观态）。据方式（一个微观态）。 改变排列，可得到新的占据方式。改变排列，可得到新的占据方式。39123451234513452 粒子和量子态之间的交换粒子和量子态之间的交换 会产生新的占据方式：会产生新的占据方式： 量子态和量子态之间的交换量子态和量子态之间的交换 不产生新的占据方式：不产生新的占据方式： 显然

40、，粒子和粒子之间的交换显然，粒子和粒子之间的交换 不会产生新的占据方式。不会产生新的占据方式。 其中粒子与粒子的交换、量子态与量子态的交换不产其中粒子与粒子的交换、量子态与量子态的交换不产生新的微观态。只有量子态与粒子交换导致不同微观态。生新的微观态。只有量子态与粒子交换导致不同微观态。量子态、粒子各种交换量子态、粒子各种交换(排列排列)总数总数)!1( lla 40量子态交换数量子态交换数)!1( l 粒子交换数粒子交换数!la各种交换共有各种交换共有 种可能的方式。种可能的方式。 )!1( !)!1( llllaa （2）将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布）将各种能级的结果相乘，就

41、得到玻色系统与分布 al 相应的微观状态数为：相应的微观状态数为：(1)! (1)!llBElllaa41 粒子不可分辨，每一个量子态最多能容纳一个粒子。粒子不可分辨，每一个量子态最多能容纳一个粒子。 al 个粒子占据能级个粒子占据能级 l 上的上的 l个个 量子态，占据方式数为：从量子态，占据方式数为：从 l个个 量子态中选取量子态中选取al 个量子态让个量子态让al 个粒子占据，即个粒子占据，即3 费米系统分布费米系统分布 al 包含的微观状态数：包含的微观状态数：!()!llallllCaa 将各能级的结果相乘，得到费米系统与分布将各能级的结果相乘，得到费米系统与分布 al 相应的相应的

42、微观状态数为：微观状态数为： .!()!lF Dllllaa42三、经典极限条件下三种分布微观状态数的关系三、经典极限条件下三种分布微观状态数的关系1lla 若满足若满足, 称为称为经典极限条件经典极限条件(或或非简并性条件非简并性条件)此时有此时有 !NMB lllllllll aaa)!1(!) 1()2)(1( ！ lllllEBaa)!1( !)!1(. llal al! lllllFDaa)!( ! lllllllllla aaa)!(!)!)(1() 1( !NMB llal al! !NMBFDBE 即在即在经典极限条件下经典极限条件下 llalMBaNl! 43四四 经典系统中

43、的分布和微观状态数经典系统中的分布和微观状态数 经典粒子状态由经典粒子状态由 q1qr ，p1pr 的值确定。的值确定。N 粒子系粒子系统对应统对应空间中的空间中的N个点。个点。坐标和动量取值连续，微观状态不可数。处理如下坐标和动量取值连续，微观状态不可数。处理如下 第一步：第一步： 空间各轴上取间隔空间各轴上取间隔 dq1dqr , dp1dpr 围成体积元围成体积元 d = dq1 dq2 dqr dp1 dp2 dpr h0r 若体积元很小若体积元很小, 其内各点的状态都看作相同其内各点的状态都看作相同 相格相格. 即：处于同一相格内的各代表点状态都相同。不同相即：处于同一相格内的各代表

44、点状态都相同。不同相格内代表点的状态不同。每个相格就是一个状态。格内代表点的状态不同。每个相格就是一个状态。 在一定的相体积内包含多少相格，则此体积中就有多在一定的相体积内包含多少相格，则此体积中就有多少个力学运动状态（微观态）。少个力学运动状态（微观态）。 经典力学中经典力学中 h0可以任意小；量子力学中可以任意小；量子力学中 h0 最小为最小为 h 。rh044第二步：第二步： 再把再把空间按能量大小划分成许多能量层，每层体积分空间按能量大小划分成许多能量层，每层体积分别为别为 1、 2 、 l、，每层内包含许多相格。，每层内包含许多相格。 同一能层内各状态同一能层内各状态 (代表点代表点

45、) 的能量相同的能量相同.（能层很薄）（能层很薄） l,21 ，不同能层中各点的能量则不同。不同能层中各点的能量则不同。某能量层的体积为某能量层的体积为 l ，则此层内包含的相格数为，则此层内包含的相格数为 rlh0 这些相格的状态不同，但具有相同的能量，故相当于这些相格的状态不同，但具有相同的能量，故相当于量子描述中的简并度。于是有分布量子描述中的简并度。于是有分布 l,21 ，rh01 ， hr02 hr，01 a a al,21，“简并度简并度” 粒子数粒子数 能能 级级 给定了一种分布给定了一种分布 al 450!lalclrlllNah!laM BllllNa得到得到 所以经典系统分

46、布所以经典系统分布 al 对应的微观状态数为可参照对应的微观状态数为可参照 玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统466.6 6.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布一、玻尔兹曼分布的推导（一、玻尔兹曼分布的推导（M.B.系统）系统）1 1 写出分布及对应的微观状态数写出分布及对应的微观状态数 lalllMBlaN ! l,21 ，1 ， 2 l， a a al,21， 微观状态数微观状态数是分布是分布 al 的函数的函数，可能存在这样一个分布，可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。它使系统的微观状态数最多。 根据根据等概率原理等概率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，系统对于处在平衡状态的孤立系统，系统各

47、个可能的微观状态出现的概率是相等的各个可能的微观状态出现的概率是相等的，那么微观状态，那么微观状态数最多的分布，出现的概率最大，称为数最多的分布，出现的概率最大，称为最可几分布（最概最可几分布（最概然分布）。然分布）。 玻耳兹曼系统粒子的最概然分布玻耳兹曼系统粒子的最概然分布玻耳兹曼分布。玻耳兹曼分布。 472 取对数，用斯特令公式化简取对数，用斯特令公式化简 llllla a N ln!ln!lnlnNNN lnllllllaaaNN lnlnln斯特林近似公式斯特林近似公式ln m ! ln mmm lllllaaa ln llla ln lalllMBlaN !要求要求1la要求要求1m

48、llllla a N ln!ln!lnln483 拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求极值拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求极值(ln)(ln )ln lnlllllllllllaaaaaa 0 lnlnlnlnllllllNNaaa 对上式做一次微分，对于极值，一次微分为零对上式做一次微分，对于极值，一次微分为零49由于系统确定，则由于系统确定，则还要满足约束条件：还要满足约束条件： llaN0 lllaE0 llaN lllaE 0llNal0llEa 对上两式子做一次微分得到：对上两式子做一次微分得到： 上两式子上两式子乘以未定乘子乘以未定乘子得到：得到： 50(ln)ln0NENE0ln

49、 llla leall 即即 称为称为 麦克斯韦麦克斯韦玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布（玻耳兹曼系统粒子玻耳兹曼系统粒子的最概然分布）。的最概然分布）。 任意，所以任意，所以 la0ln lllllaa 51拉氏乘子拉氏乘子 、 由约束条件决定：由约束条件决定： llaN llle lllaE llllea 52二、粒子按量子态的分布二、粒子按量子态的分布某量子态某量子态 s 上的平均粒子数上的平均粒子数 1 按量子态的分布函数按量子态的分布函数llsaf sefs leall ssfN sse 约束条件为约束条件为 sssfE ssse 粒子处于第粒子处于第 l 能级上的概率为能级上的概率为NaPll 粒子处于某量子粒子处于某量子 态态 s 上的概率为上的概率为NfPss leNl seN 153三、对玻耳兹曼分布的几点说明三、对玻耳兹曼分布的几点说明 要证明极大，二阶导数须小于零。要证明极大，二阶导数须小于零。llllaa lnln2llllaa lnlnllllaaa 0)(2 lllaa 故上述分布为对应故上述分