初中数学四边形提高练习(辅助线)

1、优秀学习资料欢迎下载四边形常见辅助线提高【题型一】若一个四边形的一组对角为直角，且其中一个直角的两边相等，则可以作两条垂线，可以构造出一个正方形AMBDNC其实，这个图也可以看做是把AND 旋转以后得到的正方形，应用举例1如图，四边形ABCD 中， AB=BC ， ABC =CDA =90°， BE AD 于点 E ，且四边形ABCD 的面积为8，则 BE=（）A2B3C22D23BCAED发散思维：也可以连接BD ，旋转 BDC 会得到一个什么形？2. 如图，在四边形 ABCD 中， A=90 °， ABC 与 ADC 互补 .（ 1）求 C 的度数；（ 2）若 BC C

2、D 且 AB=AD ，请在图 5 上画出一条线段，把四边形ABCD 分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；（ 3）若 CD =6 ， BC=8， S 四边形 ABCD =49 ，求 AB 的值 .ADBC3在 ABC 中， ACB 为锐角，动点D （异于点B）在射线BC 上，连接AD ，以 AD 为边在AD 的右侧作正方形ADEF ，连接CF .优秀学习资料欢迎下载( 1) 若 AB=AC ， BAC=90 °那么如图一，当点D 在线段BC 上时，线段CF 与 BD 之间的位置、大小关系是（直接写结论）如图二，当点D 在线段BC 的延长线上时，中的结论是否仍然成

3、立？请说明理由。（ 2）若 AB AC， BAC 90 °。点 D 在线段BC 上，那么当ACB 等于多少度时，线段CF 与 BD 之间的位置关系仍然成立。请画出相应图形，并说明理由。AFFEABCDEBCD图（一）图（二）【题型二】四边形一边上的动点到两对角线距离之和1已知正方形ABCD 的边长为a，两条对角线AC 、 BD 相交于点O， P 是射线AB 上任意一点，过P 点分别作直线AC 、 BD 的垂线PE 、 PF，垂足为 E、F（ 1）如图1，当 P 点在线段AB 上时，求PE+PF 的值（ 2）如图2，当 P 点在线段AB 的延长线上时，求PE - PF 的值ADADEO

4、OPEFBCBCFP2如图，矩形ABCD 的两边AB=3， BC =4， P 是 AD 上任一点，PE AC 于点 E ， PF BD 于点 F。求 PE+PF 的值优秀学习资料欢迎下载APBE FO。 DC3如图，ABC 中， AB =AC ， AD 、 AE 分别是BAC 及其外角CAF的平分线，CE AE（ 1）求证： AB=DE（ 2）若S ABC48 ，AD =8， P 为线段 CE 上的动点，设 x 为点 P 到直线 AC 的距离， y 为点 P 到直线 AB 的距离，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围FAEOPBDC【题型三】正方形内部有垂直线段，则一定有全

5、等或可以构造全等；1（ 2010 浙江绍兴）( 1)如图 1, 在正方形ABCD 中 , 点 E, F 分别在边BC, CD 上 , AE, BF 交于点 O, AOF 90°.求证： BE CF .( 2)如图 2, 在正方形ABCD 中, 点 E, H, F, G 分别在边AB, BC, CD , DA 上 , EF , GH 交于点O, FOH 90°,EF 4.求 GH的长.DFCDFCHEOOGABAEB图1图2优秀学习资料欢迎下载2如图 1，在正方形 ABCD中 ， E，F，G，H 分 别 为边 AB，BC，CD，DA 上 的 点 ，HAEB FCGD，连接EG

6、，FH， O如图 2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形交点为EFGH 的形状，并证明你的结论；DGCDGCFFOOHHAEBAEB图1图2矩形内部有垂直线段，则一定有相似或可以构造相似；3小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3 个有联系的问题，请你帮助解决：（ 1）如图1，正方形ABCD 中，作 AE 交 BC 于 E ， DFAE 交 AB 于 F ，求证： AEDF ；（ 2）如图2，正方形ABCD 中，点 E， F 分别在 AD， BC 上，点 G，H 分别在 AB，CD 上，且 EFGH ，求EF的值；GH（ 3）如图 3，矩形ABCD ABaBCbE，FAD，BCEFGHEF

7、，点分别在上，且的值中，求GHADAEDEADHAGDHGGBCBFCBFCOMEBHC第 26题（ 1）图1图2图34如图，矩形ABCD ， M 为 CD 中点，点E 在线段MC 上运动， GH 垂直平分AE ，垂足为O，分别交于AD 、BC 于点 G 、 H ， AB=3， BC =4（1）求 AE： GH ；优秀学习资料欢迎下载（ 2）设 CEx ，四边形 AHEG 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式；当y 取最大值时，判断四边形AHEG 的形状，并说明理由【题型四 】连接四边中点所得到的四边形1顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是( )A平行四边形B矩形C菱形D 正

8、方形2顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A平行四边形B矩形C菱形D 正方形3顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A平行四边形B矩形C菱形D 正方形4顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A平行四边形B矩形C菱形D 正方形【题型五 】有角互余，则暗示应该构造直角三角形：让这组互余角成为一个三角形的内角1 如图，在梯形ABCD 中， DC AB ， A B=90 °。若AB=10， AD=4， DC=5 ，则梯形ABCD 的面积为。DCAB2 已知在梯形ABCD 中， AD / BC ， B 与 C 互余，

9、AD =5， BC=13 ， c=60° , 则该梯形的面积为3上底长为3，下底长为15 ，若此两个底角，则两底中点间的距离为【题型六 】线段旋转90 °，必有全等三角形1 在直角坐标系中，已知点（1,3）OA ，将 OA 绕点 O 逆时针°得到OB ，则点 B 的坐标是A， O 是坐标原点若连接2如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（ 1，0），若点 A 的坐标为（ a，b ），将 BA 绕点 B 顺时针°得到BA ，则点 A的坐标是EADBC图1图2优秀学习资料欢迎下载3 如图 2 ，直角梯形ABCD 中， AD BC ， AB BC ，A

10、D =2 ，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转90°至 DE，连接 AE、 CE ， ADE 的面积为3，则 BC 的长为【题型七】直角顶点在正方形中心，必有全等；直角顶点在矩形中心，必有相似1. 如图，两个正方形的边长均为1 ，其中一个的顶点在另一个的中心，则两个正方形重合部分的面积为_2. 一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决：（ 1）把正方形ABCD 与等腰Rt PAQ 如图 1 所示重叠在一起，其中PAQ=90°，点Q 在边 BC 上，连接PD ，求证：ADP ABQ （ 2）如图2， O 为正方形ABCD 对角线的交点，将一直角三角板FPQ 的直角顶

11、点F 与点 O 重合，转动三角板使两直角边始终与BC、 AB 相交于点 M、 N，求证： OM =ON （ 3）如图3，将（ 2）的“正方形”改为“矩形”，其它条件不变，如果AB=4， AD=6 ，FM =x， FN =y，试求y 与 x 之间的关系式PADPADNPADO(F )NFBMCBMCBQCQQ图1图2图3【能力提升】1如图 3，在直角梯形ABCD 中， AD BC， ABC=90°， BD DC，BD =DC，CE 平分 BCD ，交 AB 于点 E，交 BD 于点 H， EN DC 交 BD 于S点 N，下列结论：BH =DH ； CH=2 1 EH；SENHEBHE

12、H. 其中正确的是（）ECA B 只有C 只有D 只有优秀学习资料欢迎下载ADEHNBC图 3图 42 如图 4，将两张长为8，宽为 2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8 ，那么菱形周长的最大值是3. （ 2011 湖北武汉市）如图5 ，在菱形 ABCD 中， AB=BD ，点 E， F 分 别在 AB ， AD 上，且 AE=DF 连接 BF 与 DE 相交于点G，连接 CG 与 BD相交于点 H 下列结论： （） AED DFB ；S 四边形BCDG =3CG2；若 AF =2DF ，则 BG=6GF 其中正确的结论4A只有B 只有C只有D

13、DCADFHEPGAEBBC图 5图 64. 已知：如图 6，在正方形 ABCD 外取一点E ，连接 AE，BE，DE过点 A作 AE的垂线交 ED于点 P若AEAP1， PB5 下列结论： APD AEB ；点 B 到直线 AE 的距离为2 ； EBED； S APDS APB16； S正方形ABCD46 其中正确结论的序号是（）AB CD 5.（ 2011 四川重庆，24 ， 10 分）如图，梯形ABCD 中， AD BC ， DCB 45 °， CD 2， BD CD 过点C 作 CE AB 于 E，交对角线BD 于优秀学习资料欢迎下载F点 G 为 BC 中点，连结EG、AF

14、(1) 求 EG 的长；(2) 求证： CF AB AFADEFBGC6如图，在Rt ABC中，ACB90°， B 60° BC 2点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC，重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点 D过点 C作CE AB 交直线 l 于点 E ，设直线 l 的旋转角为lECOADB（1）当度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；当度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为；（2）当90°EDBC是否为菱形，并说明理由时，判断四边形7 如图，在梯形ABCD 中， AD BC , E 是 BC 的中点， AD =5，

15、BC =12 ， CD =42 ， C= 450 ，点 P 是 BC 边上一动点，设PB 长为 x.( 1) 当 x 的值为时，以点P、 A、 D 、 E 为顶点的四边形为直角梯形.( 2) 当 x 的值为时，以点P、 A、 D 、 E 为顶点的四边形为平行四边形.( 3) 点 P 在 BC 边上运动的过程中，以点P、 A 、 D 、 E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.优秀学习资料欢迎下载ADBPEC8. （ 2011 湖北咸宁， 22 ，10 分）（ 1）如图， 在正方形ABCD 中， AEF 的顶点 E ，F 分别在 BC ，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求 EAF的

16、度数（ 2）如图，在Rt ABD 中， BAD =90 °， AB=AD，点 M ， N 是 BD 边上的任意两点，且MAN =45°，将 ABM 绕点 A 逆时针旋转90 °至 ADH 位置，连接NH ，试判断MN ， ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由（ 3）在图中，连接BD 分别交AE， AF 于点 M， N，若 EG=4， GF=6， BM =32 ，求 AG ， MN 的长AADBEGFHCBMND9（ 2010江苏连云港）（本题满分10 分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线如，平行四

17、边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线（ 1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_ ；（ 2）如图1，梯形ABCD 中， AB DC ，如果延长DC 到 E，使 CE AB ，连接AE，那么有S 梯形 ABCD S ADE 请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（ 3）如图2，四边形ABCD 中， AB 与 CD 不平行， S ADC S ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由优秀学习资料欢迎下载BAABECDCD图

18、1图210（ 2011?营口） 已知正方形ABCD ，点 P 是对角线AC 所在直线上的动点，点 E 在 DC 边所在直线上，且随着点P 的运动而运动，PE=PD 总成立（ 1）如图（ 1 ），当点P 在对角线AC 上时，请你通过测量、观察，猜想PE 与 PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（ 2）如图（ 2 ），当点P 运动到CA 的延长线上时， （ 1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（ 3）如图（ 3），当点 P 运动到CA 的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE 与 PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）ABPBABPADECEDCDCP图（ 1）图（ 2）图（ 3）11（ 2009 山东德州）已知正方形ABCD 中， E 为对角线BD 上一点，过E 点作 EF BD 交 BC 于 F，连接DF ， G 为 DF 中点，连接EG ， CG（ 1 ）求证： EG=CG ；（ 2）将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （ 3）将图中