瑕积分收敛的柯西准则

1、 瑕积分的性质与收敛判别与无穷积分的3 瑕积分的性质与收敛判别则与比较判别法等.性质与收敛判别相类似,并有相应的柯西准定理定理11.7 （瑕积分收敛的柯西准则）（瑕积分收敛的柯西准则）2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx ( )d ()baf xxa瑕瑕积积分分瑕瑕点点为为收收敛敛的的充充要要条条件件是是证证( )( )d ,( , ),( )dbbuaf uf xx ua bf xx设设则则lim( ).uaf u收收敛敛的的充充要要条条件件是是存存在在 由由函函数数收收敛敛的的1212,( ,)()(),u ua af uf u ，120,0,( ,)u

2、ua a 任任给给存存在在当当时时，柯西准则，此等价于柯西准则，此等价于0,0, 2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx 即即性质性质11212,ffxa kk设设函函数数与与的的瑕瑕点点同同为为1122( )( )d,bak fxk fxx也也收收敛敛 且且12,( )d( )d,bbaafxxfxx为为任任意意常常数数 若若和和都都收收敛敛 则则1122( )( )dbak fxk fxx1122( )d( )d .bbaakf xxkf xx性质性质2 ,( , ),fxaca b设设函函数数的的瑕瑕点点若若则则( )d( )d,bcaaf xxf xx与

3、与同同时时收收敛敛或或同同时时发发散散 且且( )d( )d( )d .bcbaacf xxf xxf xx性质性质3,( , fxa fa b设设函函数数的的瑕瑕点点为为在在的的任任一一,(),( ) d,bau buaf xx闭闭区区间间 上上可可积积 则则收收敛敛时时( )d,( )d( ) d .bbbaaaf xxf xxf xx也也收收敛敛 且且定理定理11.8 (非负函数瑕积分的判别法非负函数瑕积分的判别法)( , ( ),a bf x若若定定义义在在上上的的非非负负函函数数在在任任意意闭闭区区间间 , (),( )dbau buaf xx上上可可积积 则则收收敛敛的的充充要要条

4、条件件( , ,( )d.bumua bf xxm是是: :存存在在，对对任任意意定理定理11.9 (比较法则比较法则)( , ,a bfg设设定定义义在在上上的的两两个个非非负负函函数数与与瑕瑕点点同同, , ( , xau ba b为为在在任任何何上上都都可可积积, ,且且满满足足( )( ),( , .f xg xxa b( )d,( )d;bbaag xxf xx则则当当收收敛敛时时必必定定收收敛敛( )d,( )d.bbaaf xxg xx发发散散时时必必定定发发散散 , ()fgu baub若若非非负负函函数数和和在在任任何何推论推论1 则则且且上上可可积积,lim,cxgxfax

5、 (i) 0( )d( )d;bbaacf xxg xx 时时，与与收收敛敛性性相相同同(ii)0( )d( )d;bbaacg xxf xx时时，收收敛敛可可推推得得收收敛敛(iii)( )d( )d.bbaacf xxg xx 时时，发发散散可可推推得得发发散散 , ( , u ba b在在任任何何上上可可积积. .则则有有1(i)( ),01,( )d()bpaf xpf xxxa当当时时收收敛敛; ;1(ii)( ),1,( )d.()bpaf xpf xxxa当当时时发发散散推论推论2( , ,fa ba设设非非负负函函数数定定义义在在上上为为瑕瑕点点 且且推论推论3( , ,fa

6、ba设设非非负负函函数数定定义义于于为为瑕瑕点点 且且在在任任 , ( , lim()( ),pxau ba bxaf x 何何上上可可积积. .若若则则(i)01,0( )dbapf xx 当当时时，收收敛敛; ;(ii)1,0( )d.bapf xx 当当时时，发发散散 sin tan arcsin arctanxxxxx利利用用可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性. ln(1) e1 (0),xxx例例12313sind.1lnxxxx判判别别瑕瑕积积分分的的收收敛敛性性1,x 解解 瑕瑕点点为为1 321 333sin1sin.ln(1)(1)ln(11

7、)1xxxxxxxx由于由于21 33sinsin10(1),(1)3xxxx而而1 31 34 3111,(1)ln(11)(1)(1)(1)xxxxx224 33311dsind.(1)1lnxxxxxx因因此此由由发发散散知知发发散散例例210lnd.xxx判判别别瑕瑕积积分分的的收收敛敛性性解解0ln0(0,1).xxx是是瑕瑕点点, ,由由于于3/ 41 400lnlimlimln0,xxxxxxx 1100lnln3dd.xxxxxx因因此此由由推推论论 知知收收即即, ,收收敛敛敛敛10( )d1axaxx 的的收收敛敛性性. .11101( )dd11aaxxaxxxx (i)

8、( ).10,1;i aaa先先讨讨论论当当即即时时它它是是定定积积分分讨论反常积分讨论反常积分例例3( )a 把把反反常常积积分分写写成成解解( )( ).i aj a11.3321,1paa因因此此由由定定理理的的推推论论 , ,当当即即12limlim1,11aaxxxxxxxaa 00 a 1a 1i (a)发散发散收敛收敛定积分定积分j (a)收敛收敛收敛收敛发散发散 (a)发散发散收敛收敛发散发散1, ( ),:j a 时时发发散散. .综综上上所所述述 总总结结如如下下1, ( );21,1j apaa 且且时时收收敛敛 而而当当即即且且( )01.aa 所所以以, ,只只有有当当时时才才是是收收敛敛的的复习思考题1.试给出瑕积分的狄利克莱判别法和阿贝尔判别法试给出瑕积分的狄利克莱判别法和阿贝尔判别法.2.( ) , ).f xa bb设设为为上上的的连连续续函函数数, , 为为瑕瑕点点 试试问问当当2( ) d,( )d?bb