点集拓扑练习题及答案

1、点集拓扑练习题一、单项选择题（每题1分）1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑. 答案：2、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 答案：3、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑. 答案：4、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 答案：5、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑. 答案：6、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 答案：7、已知，拓扑,则=（ ） 答案：8、 已知，拓扑,则=（ ） 答案：9、 已知，拓扑,则=（ ） 答案：10、已知，拓扑,则=（ ） 答案：11、已知，拓扑,则=（ ） 答案：12、已知，拓扑,则=（ ） 答案：13、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2

2、3 4 答案：14、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案：15、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 0 1 2 3 答案：16、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ） 0 1 2 3 答案：17、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案：18、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案：19、在实数空间中，有理数集的内部是（ ） q r -q r 答案：20、在实数空间中，有理数集的边界是（ ） q r -q r 答案：21、在实数空间中，整数集的内部是（ ） r-z r 答案：22、在实数

3、空间中，整数集的边界是（ ） r-z r 答案：23、在实数空间中，区间的边界是（ ） 答案：24、在实数空间中，区间的边界是（ ） 答案：25、在实数空间中，区间的内部是（ ） 答案：26、设是一个拓扑空间，a,b 是的子集,则下列关系中错误的是（ ） 答案: 27、设是一个拓扑空间，a,b 是的子集,则下列关系中正确的是（ ） 答案: 28、设是一个拓扑空间，a,b 是的子集,则下列关系中正确的是（ ） 答案: 29、已知是一个离散拓扑空间，a是的子集,则下列结论中正确的是（ ） 答案：30、已知是一个平庸拓扑空间，a是的子集,则下列结论中不正确的是（ ） 若,则 若,则 若a=,则 若,

4、 则 答案：31、已知是一个平庸拓扑空间，a是的子集,则下列结论中正确的是（ ） 若,则 若,则 若a=,则 若,则 答案：32、设，令,则由产生的上的拓扑是（ ） ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：33、设是至少含有两个元素的集合，, 是的拓扑，则（ ）是的基. 答案：34、 设,则下列的拓扑中（ ）以为子基. , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 答案：35、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：36、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：3

5、7、实数空间中的任一单点集是 ( ) 开集 闭集 既开又闭 非开非闭 答案：38、实数空间r的子集a =1, ,则（ ） r a0 a 答案：39、在实数空间r中，下列集合是闭集的是（ ） 整数集 有理数集 无理数集 答案：40、在实数空间r中，下列集合是开集的是（ ） 整数集z 有理数集 无理数集 整数集z的补集 答案：41、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是（） 1 2 3 4 答案：42、已知,则上的所有可能的拓扑有（） 1个 2个 3个 4个 答案： 43、已知=a,b,c,则上的含有个元素的拓扑有（）个 3 5 7 9 答案：44、设为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) 当时, 当时

6、, 答案：45、在实数下限拓扑空间中，区间是（ ） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：46、设是一个拓扑空间，,且满足,则是（ ） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：47、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：48、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：49、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：50、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：51、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：52、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：53、设是实数空间，是整数集，则的子空间的拓扑为（ ） 答案： 54、设是拓扑空间的积

7、空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：55、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：56、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：57、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：58、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：59、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映

8、射 满的连续开映射 答案：60、设和是两个拓扑空间，是它们的积空间,，则有（ ） 答案：61、有理数集是实数空间的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：62、整数集是实数空间的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：63、无理数集是实数空间的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：64、设y为拓扑空间x的连通子集,z为x的子集,若, 则z为( )不连通子集 连通子集 闭集 开集 答案：65、设是平庸空间，则积空间是（） 离散空间 不一定是平庸空间 平庸空间 不连通空间 答案：66、设是离散空间，则积空间是（） 离散空间 不一定是离散空间

9、平庸空间 连通空间 答案：67、设是连通空间，则积空间是（） 离散空间 不一定是连通空间 平庸空间 连通空间 答案：68、实数空间r中的连通子集e为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案：69、实数空间r中的不少于两点的连通子集e为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案：70、实数空间r中的连通子集e为( ) 开区间 闭区间 区间 区间或一点 答案：71、下列叙述中正确的个数为（ ） （）单位圆周是连通的； （）是连通的 （）是连通的 （）和同胚 1 2 3 4 答案：72、实数空间( ) 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对

10、答案：73、整数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案：74、有理数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案：75、无理数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案：76、正整数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案：77、负整数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一

11、可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案：78、2维欧氏间空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案：79、3维欧氏间空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案：80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 平庸性 连通性 离散性 第一可数性公理 答案：81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 第一可数性公理 连通性 第二可数性公理 平庸性 答案：82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 第一可数性公 可

12、分性 第二可数性公理 离散性 答案：83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 平庸性 可分性 离散性 第二可数性公理 答案：84、设是一个拓扑空间，若对于,均有,则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对 答案：85、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对 答案：86、设，则是( ) 空间 空间 空间 道路连通空间 答案：87、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对 答案：88、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对 答案：89、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对 答案：90、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对 答案：91、设，则是( )空间 空间

13、 空间 以上都不对 答案：92、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间 答案：93、设是一个拓扑空间，若的每一个有限子集都是闭集，则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间 答案：94、设是一个拓扑空间，若对及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间 答案：95、设是一个拓扑空间，若对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间 答案：96、设，则是( )空间 空间 空间 正规空间 答案：97、设，则是( )空间 空间 空间 正规空间 答案：98、设，则是

14、( )空间 空间 空间 正则空间 答案：99、设，则是( )空间 正则空间 空间 正规空间 答案：100、设，则是( )空间 正则空间 空间 正规空间 答案：101、设，则是( )空间 正则空间 空间 正规空间 答案：102、若拓扑空间的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 是一个（ ） 连通空间 道路连通空间 紧致空间 可分空间 答案：103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ） 连通子集 道路连通子集 紧致子集 以上都不对 答案：104、hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（ ） 连通子集 开集 闭集 以上都不对 答案：105、紧致的hausdorff空间中的紧致子集是（ ）

15、 连通子集 开集 闭集 以上都不对 答案：106、拓扑空间的任何一个有限子集都是（ ） 连通子集 紧致子集 非紧致子集 开集 答案：107、实数空间的子集是（ ） 连通子集 紧致子集 开集 非紧致子集 答案：108、实数空间的子集是（ ） 连通子集 紧致子集 开集 非紧致子集答案：109、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集，则是（ ） 空间 紧致空间 可数补空间 非紧致空间 答案：二、填空题（每题1分）1、设,则的平庸拓扑为 ;答案：2、设,则的离散拓扑为 ;答案：3同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案：拓扑不变性质4、在实数空间r中，有理数集q的导集是_.答案： r5、当且仅当对于的每一邻域

16、有 ;答案： 6、设是有限补空间中的一个无限子集，则= ;答案：7、设是有限补空间中的一个无限子集，则= ;答案：8、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ;答案：9、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ;答案：10、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;答案：211、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;答案：112、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;答案：113、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;答案：14、设,则的平庸拓扑为 ;答案：15、设,则的离散拓扑为 ;答案：16、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;答案：3 17、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;答案：1 18、是拓扑空间到的一个

17、映射，若它是一个单射，并且是从到它的象集的一个同胚，则称映射是一个 .答案：嵌入19、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个 ;答案：商映射20、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个开集的象集是中的一个开集，则称映射是一个;答案：开映射21、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个闭集的象集是中的一个闭集，则称映射是一个;答案：闭映射22、若拓扑空间存在两个非空的闭子集,使得,则是一个 ；答案：不连通空间23、若拓扑空间存在两个非空的开子集,使得,则是一个 ；答案：不连通空间24、若拓扑空间存在着一个既开又闭的非空真子集，则是一个 ；答案

18、：不连通空间25、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个 ; 答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质28、若任意个拓扑空间,都具有性质,则积空间也具有性质，则性质称为 ; 答案：有限可积性质29、设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个 ；答案：不连通空间.30、若满足第一可数性公理，则积空间满足 ;答案：第一可数性公理31、

19、若满足第二可数性公理，则积空间也满足 ;答案：第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个子空间也具有性质,则称性质为 ;答案：可遗传性质33、设是拓扑空间的一个子集，且,则称是的一个 ；答案：稠密子集34、若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个 ；答案：可分空间35、设是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称是一个 ；答案：lindelÖff空间36、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个开子空间也具有性质,则称性质为 ;答案：对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个闭子空间也具有性质,则称性质为 ;答案：对

20、于闭子空间可遗传性质38、设是一个拓扑空间，如果 则称是一个空间;答案：中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设是一个拓扑空间，如果 则称是一个空间;答案：中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设是一个拓扑空间，如果 则称是一个空间; 答案：中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交41、正则的空间称为 ；答案：空间42、正规的空间称为 ；答案：空间43、完全正则的空间称为 ；答案：空间或tychonoff空间44、设是一个拓扑空间.如果的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间是一个 . 答案：紧致空间45、设是一个拓扑空间

21、，是的一个子集.如果作为的子空间是一个紧致空间，则称是拓扑空间的一个 .答案：紧致子集46、设是一个拓扑空间. 如果的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间是一个 .答案：可数紧致空间47、设是一个拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间是一个 .答案：列紧空间48、设是一个拓扑空间. 如果中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间是一个 .答案：序列紧致空间三判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:理由：设是离散空间，是拓扑空间，是连续映射，因为对任意，都有,由于中的任何一个子集都是开集，从而是中的开集，所以

22、是连续的. 2、设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑( )答案:×理由：因为（1）是的拓扑，故t1，t，从而；（）对任意的t1t，则有t1且t，由于t1, t2是的拓扑，故t1且t2，从而 t1t；（）对任意的，则，由于t1, t2是的拓扑，从而utut1, utut2,故utu t1t；综上有t1t也是的拓扑3、从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射（ ）答案:理由：设是任一满足条件的映射，由于是平庸空间，它中的开集只有,易知它们在下的原象分别是,均为中的开集，从而连续.4、设为离散拓扑空间的任意子集，则 （ ）答案:理由：设为中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，

23、所以是的开子集，且有，即,从而 .5、设为平庸空间（多于一点）的一个单点集，则 （ ）答案：×理由：设,则对于任意,有唯一的一个邻域，且有,从而，因此是的一个凝聚点，但对于的唯一的邻域，有,所以有.6、设为平庸空间的任何一个多于两点的子集，则 （ ）答案：理由：对于任意因为包含多于一点，从而对于的唯一的邻域，且有，因此是的一个凝聚点，即，所以有.7、设是一个不连通空间，则中存在两个非空的闭子集,使得（ ）答案： 理由：设是一个不连通空间，设是的两个非空的隔离子集使得,显然，并且这时有: 从而是的一个闭子集，同理可证是的一个闭子集，这就证明了满足.8、若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空

24、真子集，则是一个不连通空间( )案：理由：这是因为若设是中的一个既开又闭的非空真子集，令，则都是中的非空闭子集，它们满足，易见是隔离子集，所以拓扑空间是一个不连通空.9、设拓扑空间满足第二可数性公理，则满足第一可数性公理（ ）答案：理由:设拓扑空间满足第二可数性公理，是它的一个可数基，对于每一个,易知是点处的一个邻域基，它是的一个子族所以是可数族，从而在点处有可数邻域基，故满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间满足第二可数性公理，则的子空间也满足第二可数性公理（ ）答案：理由：由于满足第二可数性公理，所以它有一个可数基，因为是的子空间，则是的一个可数基，从而的 子空间也满足第二可数性公理.11

25、、若拓扑空间满足第一可数性公理，则的子空间也满足第一可数性公理（ ）答案：理由：由于满足第一可数性公理，所以对,在点处有一个可数邻域基，因为是的子空间，则是在点的一个可数邻域基，从而的子空间也满足第一可数性公理.12、设，则是空间.( )答案：×理由：因为是的一个闭集，对于点和没有各自的开邻域互不相交，所以不是正则空间，从而不是空间. 注：也可以说明不是空间13、设，则是空间.( )答案：×理由：因为是的一个闭集，对于点和没有各自的开邻域互不相交，所以不是正则空间，从而不是空间.注：也可以说明不是空间14、设，则是空间.( )答案：×理由：因为对于点和点，没有开邻

26、域不包含，从而不是 空间注：也可以考虑点和点.15、设，则是空间.( )答案：×理由：因为对于点和点，没有开邻域不包含，从而不是 空间故是空间.注：也可以考虑点和点.16、空间一定是空间.（ ）答案：理由：因为空间是正则的空间，所以对于空间中的任意不同的两点，是中的闭集，由于是正则空间，从而对于它们有各自的开邻域使得，所以是空间.17、空间一定是空间.（ ）答案：理由：因为空间是正规的空间，所以对于空间中的任意点和不包含的闭集，由于也是一个闭集及是正规空间，故存在的开邻域使得，这说明是正则空间，因此是空间.18、设是拓扑空间的两个紧致子集，则是一个紧致子集.( )答案： 理由：设a

27、是一个由中的开集构成的的覆盖，由于和都是的紧致子集，从而存在a 的有限子族 a 1 a 2 分别是和的覆盖，故是a 的有限子族且覆盖，所以是紧致子集.19、hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案： 理由：设是hausdorff空间的一个紧致子集，则对于任何，若，则易知不是的凝聚点，因此，从而是一个闭集.四名词解释(每题2分)1同胚映射 答案：设和是两个拓扑空间.如果是一个一一映射，并且和 都是连续映射，则称是一个同胚映射或同胚.2、集合的内点 答案：设是一个拓扑空间，.如果是点的一个邻域，则称点是集合的一个内点.3、集合的内部 答案：设是一个拓扑空间，.则集合的所有内点构

28、成的集合称为集合的内部.4拓扑空间的基 答案：设是一个拓扑空间，是的一个子族.如果中的每一个元素是中的某些元素的并，则称是拓扑的一个基.5闭包 答案：设是一个拓扑空间，.集合与集合的导集的并称为集合的闭包.6、序列 答案：设是一个拓扑空间，每一个映射叫做中的一个序列.7、导集 答案：设是一个拓扑空间，集合的所有凝聚点构成的集合称为 的导集.8、不连通空间 答案：设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个不连通空间.9、连通子集 答案：设是拓扑空间的一个子集.如果作为的子空间是一个连通空间，则称是的一个连通子集.10、不连通子集 答案：设是拓扑空间的一个子集.如果作为的子空间

29、是一个不连通空间，则称是的一个不连通子集.11、空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为空间.12、空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为空间.13、可分空间 答案：如果拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个可分空间.14、空间： 答案：设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间是空间.15、空间： 答案：设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间是空间.16、

30、空间： 答案：设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间是空间.17、正则空间： 答案：设是一个拓扑空间，如果中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称是正则空间.18、正规空间： 答案：设是一个拓扑空间，如果中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称是正规空间.19、完全正则空间： 答案：设是一个拓扑空间，如果对于和中任何一个不包含点的闭集存在一个连续映射使得以及对于任何有，则称拓扑空间是一个完全正则空间.20、紧致空间 答案：设是一个拓扑空间.如果的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖

31、，则称拓扑空间是一个紧致空间. 21、紧致子集 答案：设是一个拓扑空间，是的一个子集.如果作为的子空间是一个紧致空间，则称是拓扑空间的一个紧致子集.22、可数紧致空间 答案：设是一个拓扑空间. 如果的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间是一个可数紧致空间.23、列紧空间 答案：设是一个拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间是一个列紧空间.24、序列紧致空间 答案：设是一个拓扑空间. 如果中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间是一个序列紧致空间.五简答题（每题4分）1、设是一个拓扑空间，是的子集，且.试说明.答案：对于任意,设是的任何一个邻域，则有,由于，从而

32、，因此，故.2、设都是拓扑空间., 都是连续映射，试说明也是连续映射.答案：设是的任意一个开集，由于是一个连续映射，从而是的一个开集，由是连续映射，故是的一开集，因此 是的开集，所以是连续映射.3、设是一个拓扑空间，.试说明：若是一个闭集，则的补集是一个开集.答案：对于,则，由于是一个闭集，从而有一个邻域使得,因此，即,所以对任何,是的一个邻域，这说明是一个开集.4、设是一个拓扑空间，.试说明：若的补集是一个开集，则是一个闭集.答案：设,则,由于是一个开集，所以是的一个邻域，且满足,因此,从而,即有，这说明是一个闭集.5、在实数空间r中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试

33、写出的商拓扑t.答案：6、在实数空间r中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑t .答案：7、在实数空间r中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑t.答案：8、在实数空间r中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑t.答案：9、在实数空间r中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑t .答案：10、在实数空间r中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑t .答案：11、在实数空间r中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写

34、出的商拓扑t .答案：12、离散空间是否为空间?说出你的理由.答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是空间.至多含有可数多个点的离散空间是空间.13、试说明实数空间是可分空间.答案: 因为是可数集，且的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与q都有非空的交，因此，故实数空间是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.答案: 设是一个度量空间, 对，则所有的以为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成处的一个可数邻域基，从而满足第一可数性公理.15、设是一个空间，试说明的每一个单点集是闭集.答案：对，由于是空间，从而对每一个，点有一个邻

35、域使得，即，故，因此,这说明单点集是一个闭集.16、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，试说明是一个空间.答案：对于任意，都是闭集，从而和分别是和的开邻域，并且有,.从而是一个空间.17、设是一个空间，是任何一个不属于的元素.令和，试说明拓扑空间是一个空间. 答案：对任意,若,都不是，则.由于 是一个空间，从而各有一个开邻域,使得;若,中有一个是，不妨设,则有开邻域不包含.由以上的讨论知，对中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而是空间.18、若是一个正则空间，试说明：对及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得. 答案: 对,设是的任何一个开邻域，则的补集是一个不包含

36、点的一个闭集.由于是一个正则空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以.19、若是一个正规空间，试说明：对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得. 答案：设是的任何一个闭集，若是空集，则结论显然成立.下设不是空集，则对的任何一个开邻域，则的补集是一个不包含点的一个闭集. 由于是一个正规空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以.20、试说明空间的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设是的任何一个子集，若是空集，则，从而的导集是闭集.下设不是空集，则对,则有开邻域,使得，由于是空间，从而是开集，故 ,于是,所以是它每一点的邻域，故是开集，因此是闭集.21、试说明紧致空间的无穷

37、子集必有凝聚点.答案：如果的无穷子集的没有凝聚点，则对于任意，有开邻域，使得，于是的开覆盖没有有限子覆盖，从而不是紧致空间，矛盾.故紧致空间的无穷子集必有凝聚点.22、如果是紧致空间，则是紧致空间.答案：考虑投射，由于是一个连续的满射，从而由紧致知是一个紧致空间.23、如果是紧致空间，则是紧致空间.答案：考虑投射，由于是一个连续的满射，从而由紧致知是一个紧致空间.24、试说明紧致空间的每一个闭子集都是紧致子集.答案：如果a 是的任意一个由中的开集构成的覆盖，则是的一个开覆盖.设是的一个有限子族并且覆盖.则便是a 的一个有限子族并且覆盖，从而是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设是从连通空间到

38、拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集.证明：如果是的一个不连通子集，则存在的非空隔离子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔离子集 此外，这说明不连通，矛盾.从而是的一个连通子集. 8分2、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两个无交的开集使得,则或者,或者. 证明：因为是的开集，从而是子空间的开集.又因中，故 4分由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若,则;若,则 8分3、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两个无交的闭集使得,则或者,或者. 证明：因为是的闭集，从而是子空间的闭集.又因中，故 4分由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若,则;

39、若,则 8分4、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个连通子集.证明：若是的一个不连通子集，则在中有非空的隔离子集 使得.因此 3分由于是连通的，所以或者,如果，由于，所以，因此 ,同理可证如果，则,均与假设矛盾.故也 是的一个连通子集. 8分5、设是拓扑空间的连通子集构成的一个子集族.如果,则是的一个连通子集.证明：若是的一个不连通子集.则有非空的隔离子集使得 4分任意选取,不失一般性，设,对于每一个，由于连通，从而及,矛盾，所以是连通的. 8分6、设是拓扑空间的一个连通子集，是的一个既开又闭的集合.证明：如果,则.证明：若,则结论显然成立.下设,由于是的一个既开又闭的集合,从而是的

40、子空间的一个既开又闭的子集 4分由于及连通，所以，故. 8分7、设a是连通空间x的非空真子集. 证明:a的边界.证明：若,由于,从而,故是的隔离子集 4分因为a是x的非空真子集,所以a和均非空,于是x不连通,与题设矛盾.所以. 8分8、设x是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明x不满足第一可数性公理. 证明：若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，设为v x ,因为x是可数补空间，因此对,是的一个开邻域，从而 ,使得. 于是, 4分由上面的讨论我们知道： 因为是一个不可数集，而是一个可数集，矛盾.从而x不满足第一可数性公理. 8分9、设x是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:x不

41、满足第一可数性公理. 证明：若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，设为v x ,因为x是有限补空间，因此对,是的一个开邻域，从而 ,使得.于是, 4分由上面的讨论我们知道： 因为是一个不可数集，而是一个可数集，矛盾.从而x不满足第一可数性公理. 8分10、设是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射.满足第二可数性公理，证明：也满足第二可数性公理.证明：设满足第二可数性公理，是它的一个可数基.由于是一个开映射，是由中开集构成的一个可数族. 3分下面证明是的一个基.设是的任意开集，则是中的一个开集.因此存在,使得.由于是一个满射，所以有,从而是中某些元素的并，故是的一个基.这说明也满足第二可

42、数性公理. 8分11、设是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射.满足第一可数性公理，证明：也满足第一可数性公理.证明：对,由于是一个满射，所以存在,使得,由于满足第一可数性公理，故在点处存在一个可数邻域基，设为,又由于是一个开映射，则是中点的一个可数邻域族. 3分下面证明是中点的一个邻域基.设是中点的任意邻域，则是中点的一个邻域.因此存在,使得.因此,从而是中点的一个邻域基.这说明也满足第一可数性公理. 8分12、是满足第二可数性公理空间x的一个不可数集。求证：a至少有一个凝聚点.证明：若没有凝聚点，则对任,一定存在的一个邻域，使得：,由于满足第二可数性公理，设是它的可数基，故一定存在一个,使得：, 更有a=x, 4分若令c= xa, b, ,则有c b ，从而c必可数.于是 a =.这样a就是可数集，这与题设a为不可数集相矛盾，故a至少有一个凝聚点. 8分13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数族.证明：设是满足