第二节空间向量的数量积运算讲义

第二节空间向量的数量积运算考点梳理空间向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作.规定，并且.向量与的夹角，记作，如下图：若，则称与互相垂直，记作：.空间向量的数量积：定义：已知空间两个向量，，则叫做向量，的数量积，记作，即．（1）常用结论(，为非零向量)①(为单位向量)；②；③或；④；⑤．（2）空间向量的数量积满足如下运算律：①；②（交换律）；=3\*GB3③（分配律）．感悟与升华（1）空间向量数量积的有关概念、运算与性质和平面向量数量积的相关概念、运算与性质是一样的，只是从二维空间推广到了三维空间,即多了一个竖坐标而已；（2）和平面向量的数量积在平面三角问题中的应用一样，我们同样可以利用空间向量的数量积求解空间距离和夹角等问题.例题分析一、数量积及其运算：例1、（1）（2023·全国·高三练习）（多选题）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD解：对于A：，故A正确；对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AD（2）（2022·四川·南部县二中高二练习）已知空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，=____.【答案】【详解】∵空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，∴，∴.（3）（2023·湖南·益阳平高学校高二期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，所以，解得，又，所以，故选：C．二、利用空间向量的数量积求异面直线所成的角（1）直线的方向向量：在直线上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线的方向向量．（2）异面直线所成的角：设、分别是两条异面直线的方向向量，直线所成的角为,；两向量的夹角为，，则.例2、（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，，，，为中点.(1)用空间的一个基底表示，；(2)求异面直线与所成角的余弦值.【分析】（1）根据题意空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理分析运算；根据向量的数量积的运算律可得，，，进而可得，即可得结果.【详解】（1）由题意可得：，.（2）由题意可得：，因为，，，可得，又因为异面直线夹角为锐角，所以异面直线与所成角的余弦值.三、利用空间向量的数量积求线段的长度1、空间向量的长度（模）向量的模：.推广：；.2、利用向量求线段的长度将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用求解.例3、（2023·湖北·赤壁一中高二联考）在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，M是的中点，则（

）A．5 B．7 C．3 D．【答案】D【分析】根据数量积的定义可得，，，再结合向量的线性运算以及数量积的运算律运算求解.【详解】由题意可知：，，，，可得：，，，因为，可得，所以，即.故选：D.★综合运用能力提高例4、（2023秋·山东济南市章丘区第四中学高二期末）（多选）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体的棱长为，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】沿四面体的两条侧棱和高，切出一块几何体如下图，计算所需线段长度，即可逐一进行计算与判断.【详解】如下图所示，O是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，OM是下底面内切圆的半径，则，，，对于A：由于，所以，故A错误；对于B：因为，所以，所以，故B正确；对于C：因为底面BCD，底面BCD，所以，所以，故C正确；对于D：，故D正确.故选：BCD点睛：正四面体对棱中点的连线必过正四面体的中心.例5、（2022·深圳市外语学校高二期末）如图所示，在正方体中，点是上底面内（含边界）的一点，且平面，求异面直线与所成角的取值范围.【分析】过作平面平面，得到在与平面的交线上，连接，证得平面平面，得到点在上，设正方体的棱长为，且，（），得到，，设与所成角为，利用向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】过作平面平面，因为点是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上，连接，因为且，所以四边形是平行四边形，所以，平面，同理可证平面，所以平面平面，则平面即为，点在线段上，设正方体的棱长为，且，则，，