2014届江苏省南通市高三上学期期末考试数学试题及答案

1、2014届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分6785 5 63 40 11.  复数（其中i是虚数单位）的虚部为 2.  某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 .开始结束输出synn < a3.  函数的值域为 4.   分别在集合1，2，3，4和集合5，6，7，8中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 5.  在平面直角坐标系xoy中，双曲线c的中心在原点，焦点在y

2、轴上，一条渐近线方程为，则双曲线c的离心率为 . 6 如图是计算的值的一个流程图，则常数a的取值范围是 7.  函数y =的图象可由函数y = sin x的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y = sin x的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的现给出下列四个变换：a. 图象上所有点向右平移个单位；b. 图象上所有点向右平移个单位；c. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；d. 图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组）8.  记maxa，b为a和b两数中的较大

3、数设函数和的定义域都是r，则“和都是偶函数”是“函数为偶函数”的 条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个）9.   在平面直角坐标系xoy中，圆c1：关于直线l：对称的圆c2的方程为 10. 给出以下三个关于x的不等式：，若的解集非空，且满足的x至少满足和中的一个，则m的取值范围是 11.  设，且，则的值为 12.  设平面向量a，b满足，则a·b的最小值为 13.  在平面直角坐标系xoy中，曲线上的点到原点o的最短距离为 14.  设函数是定义域为r，周期为2的周期函数，且当时，；已知函

4、数 则函数和的图象在区间内公共点的个数为 二、解答题：本大题共6小题，共90分15设向量a，b，其中（1）若，求的值；（2）设向量c，且a + b = c，求的值16eadbcfp如图，在三棱锥pabc中，平面pac平面abc，e，f分别是ap，ac的中点，点d在棱ab上，且求证：（1）平面pbc；（2）平面def平面pac 17如图，港口a在港口o的正东120海里处，小岛b在港口o的北偏东的方向，且在港口a北偏西的方向上一艘科学考察船从港口o出发，沿北偏东的od方向以20海里/小时的速度驶离港口o一艘给养快艇从港口a以60海里/小时的速度驶向小岛b，在b岛转运补oab东北cd给物资后以相同的

5、航速送往科考船已知两船同时出发，补给装船时间为1小时（1）求给养快艇从港口a到小岛b的航行时间；（2）给养快艇驶离港口a后，最少经过多少时间能和科考船相遇？18设公差不为零的等差数列的各项均为整数，sn为其前n项和，且满足（1）求数列的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列中的项 19.  在平面直角坐标系xoy中，设椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆c上 的点到右焦点的距离的最小值为oxyabl（1）求椭圆c的方程；（2）设直线l与椭圆c相交于a，b两点，且求证：原点o到直线ab的距离为定值；求ab的最小值20设函数，其图象在点处切线的

6、斜率为（1）求函数的单调区间（用只含有的式子表示）；（2）当时，令，设，是函数的两个根，是，的等差中项，求证：（为函数的导函数） 【填空题答案】1. 2. 72 3. 4. 5. 2 6. 7. bd（da） 8. 充分不必要 9. 10. 11. 12. 513. 14. 1515.【解】（1）因为a，b，所以 2分因为，所以a·b = 04分于是，故 6分（2）因为a + b ，所以8分 由此得，由，得，又，故 10分代入，得12分而，所以14分16. 【证】（1）在pac中，因为e，f分别是ap，ac的中点，所以ef / pc2分又因为平面pbc，平面pbc，所以平面pbc5分

7、（2）连结cd因为，所以acd为正三角形因为f是ac的中点，所以7分因为平面pac 平面abc，平面abc，平面pac 平面abc，所以平面pac 11分因为平面def，所以平面def平面pac14分17.【解】（1）由题意知，在oab中， oa=120，于是，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口a到小岛b的航行时间为1小时 5分（2）由（1）知，给养快艇从港口a驶离2小时后，从小岛b出发与科考船汇合 为使航行的时间最少，快艇从小岛b驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在c处相遇7分在oab中，可计算得，而在ocb中，9分由余弦定理，得，即，亦即

8、，解得或（舍去）12分故即给养快艇驶离港口a后，最少经过3小时能和科考船相遇？14分18.【解】（1）因为是等差数列，且，而，于是2分 设的公差为d，则由得， 化简得，即，解得或， 但若，由知不满足“数列的各项均为整数”，故5分 于是7分（2）因为， 10分所以要使为数列中的项，必须是3的倍数，于是在中取值，但由于是3的倍数，所以或由得；由得 13分当时，；当时，所以所求m的值为3和416分另解：因为 ，所以要使为数列中的项，必须是3的倍数，于是只能取1或（后略）19.【解】（1）由题意，可设椭圆c的方程为，焦距为2c，离心率为e于是设椭圆的右焦点为f，椭圆上点p到右准线距离为，则，于是当d最

9、小即p为右顶点时，pf取得最小值，所以3分因为所以椭圆方程为5分（2）设原点到直线的距离为h，则由题设及面积公式知当直线的斜率不存在或斜率为时，或于是7分当直线的斜率存在且不为时，则，解得 同理9分在rtoab中，则 ，所以综上，原点到直线的距离为定值11分另解：，所以因为h为定值，于是求的最小值即求的最小值 ， 令，则，于是， 14分 因为，所以， 当且仅当，即，取得最小值，因而 所以的最小值为16分 20. 【解】（1）函数的定义域为，则，即于是2分当时，在上是单调减函数； 当时，令，得（负舍）， 所以在上是单调减函数，在上是单调增函数； 当时，若，则恒成立，在上单调减函数； 若

10、，令，得（负舍）， 所以在上单调增函数，在上单调减函数； 综上，若，的单调减区间为，单调增区间为； 若，的单调减区间为；若，的单调增区间为，单调减区间为8分（2）因为，所以，即因为的两零点为，则相减得：， 因为 ，所以， 于是 14分 令， 则，则在上单调递减， 则，又，则命题得证16分附加题：adcbo·21a. 如图，ab是圆o的直径，d为圆o上一点，过d作圆o的切线交ab的延长线于点c若da = dc，求证：ab = 2 bc【证】连结od，bd，因为ab是圆o的直径，所以因为dc是圆o的切线，所以因为ad = dc，所以于是adbcdo，从而ab = co，即2ob = ob

11、 + bc，得ob = bc故ab = 2 bc10分21b. 已知矩阵a的逆矩阵a，求矩阵a的特征值【解】因为aa=e，所以a =(a)因为a，所以a =(a) 5分于是矩阵a的特征多项式为f ()= 234， 8分令f () = 0，解得a的特征值1 = 1，2 =4 10分21c. 在平面直角坐标系xoy中，求过椭圆（为参数）的左焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程【解】椭圆的普通方程：，左焦点3分 直线的普通方程：. 6分 设过焦点且与直线平行的直线为 将代入， 所求直线的普通方程为10分21d. 已知实数x，y满足：| x + y |，求证：| y |【证】5分

12、由题设知| x + y |， 从而故| y |10分22从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量是这两点间的距离 （1）求概率； （2）求的分布列，并求其数学期望e( )【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有条因此 3分（2）随机变量的取值共有1，三种情况正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是5分从而 7分所以随机变量的分布列是1p()8分因此 10分23在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线c：，f为其焦点，点e的坐标为(2，0)，设m为抛物线c上异于顶点的动点，直线mf交抛物线c于另一点n，链接me，ne并延长分别交抛物线c与点p，q（1）当mn ox时，求直线pq与x轴的交点坐标；（2）当直线mn，pq的斜率存在且分别记为k1，