第6章-正弦稳态电路

1、第五章回顾：第五章回顾： 1 1 电容、电感电容、电感 2 2 换路定则换路定则 电容电压不突变，电感电流不突变电容电压不突变，电感电流不突变 3 3 一阶电路的暂态过程一阶电路的暂态过程 零输入、零响应、全响应零输入、零响应、全响应 三要素法（初始值、稳态值、时间常数）三要素法（初始值、稳态值、时间常数）dd ( )( )ddqu ti tCtttdtdiLtddtu )( )( 6.1 正弦量的概念正弦量的概念 6.3 电阻、电容、电感电压电流关系的相量形式电阻、电容、电感电压电流关系的相量形式 6.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 6.4 基本定律的相量形式基本定律的相量形式 6.6

2、 相量图法分析正弦稳态电路相量图法分析正弦稳态电路 6.5 相量法分析正弦稳态电路相量法分析正弦稳态电路 6.7 功率功率 6.8 功率因素的提高功率因素的提高 6.9 谐振谐振 6.1 6.1 t ii tIi sinmI Im m 2 Tit OfT22Tf1t O有效值：有效值：与交流与交流热效应热效应相等的直流定义为交流相等的直流定义为交流电的有效值电的有效值( (方均根）。方均根）。幅值（最大值）：幅值（最大值）：Im、Um则有则有 TtiTI02d1dtRiT20RTI2 TttIT1022mdsin2mI 同理：同理：2mUU 初相位与相位差：初相位与相位差：t 相位：相位： 初

3、相位：初相位：it )sin(mtIiO0()|tt :。)sin(1mtUu如：如：)()(21 tt21 若若021 uiu i tOm2sin()iIt 9021 90021 02118021uitui90OuituiOtuiuiOuitui O 不同频率的正弦量比较无意义。不同频率的正弦量比较无意义。 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。与计时的选择起点无关。 ti2i1iO瞬时值表达式瞬时值表达式mI sinit相量相量必须必须小写小写波形图波形图it 1. 1.正弦量的正弦量的3 3种表示方法：种表示方法：重点重点？什么是

4、相量？为什么引入相量？什么是相量？为什么引入相量？例题例题LCRusuLuCi+- -+- -+- -已知：已知：VuVtuCS0)0()30sin(2100 求：求： i=?解解: 根据根据KVLCLRSuuuu iRuR dtdiLuL 01)0(idtCuuCC 01idtCdtdiLRiuS运算复杂运算复杂相量法能大大简化计算相量法能大大简化计算2.2.复数复数2.1 2.1 复数表示形式复数表示形式ReF ImF 在电路中用在电路中用j来代替来代替iF = a + jb1 jFFab+1j在复平面上用相量表示在复平面上用相量表示F = a + ib1 i 代数形式代数形式 三角函数形

5、式三角函数形式)sinj(cosFsinFjcosFF 22baF Facos abarctan)Farg( Fbsin 指数形式指数形式 sinjcosej 2 jjeecos 2 jjeesin 欧欧拉拉公公式式)sinj(cosFF jeFF 极坐标形式极坐标形式 FFF = a + jb)sinj(cosFF jeFF FF四四种种形形式式j2.2 2.2 复数的运算：复数的运算：（1 1）加法运算：）加法运算：+1jF1F2F1F2F2F1F211111 FjbaF22222 FjbaF)bb( j)aa(FF212121 （2 2）减法运算：）减法运算：)bb( j)aa(FF21

6、2121 （3 3）乘法运算：）乘法运算：)(FFFF212121 +1jF1F221FF （4 4）除法运算：）除法运算：)(FFFF212121 21FF作图方法：首尾相连作图方法：首尾相连 平行四边形平行四边形旋转因子：旋转因子： 1je任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个 角角例例 F=F1e j +1jF1 F特殊：特殊： 2jej2jej +j , j , - -1 都可以看成都可以看成旋转因子旋转因子1)sin()cos()( jej逆时针旋转逆时针旋转90o顺时针旋转顺时针旋转90o利用数学上的欧拉公式利用数学上的欧拉公式: : si

7、ncosjej 式中式中: :1 j令令: :it 则则: )(itjIe 2 )(mI)sin(itjiIetIi 22 tjtjjeIeIei 22mmII 其中其中: :ijiIIeI 3. 3. 正弦量与相量的对应关系正弦量与相量的对应关系)sin()cos(iitIjtI 22加一个小圆点是用来和普通的复数相区别加一个小圆点是用来和普通的复数相区别( (强调它与正弦强调它与正弦量的联系量的联系) )，故给它一个专门的名字，故给它一个专门的名字“相量相量”。同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： 相量图相量图( (相量和复数一样可以在平面上用向量表

8、示相量和复数一样可以在平面上用向量表示) )：注意：注意：不同频率的相量不能画在一张向量图上不同频率的相量不能画在一张向量图上 )sin(2)( iiIItIti ) sin(2)(UUtUtu U I称称 为正弦量为正弦量i(t)对应的相量。对应的相量。 iII ) sin(2)( IItIti ) sin(2)(UUtUtu 概念概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。段在纵轴上的投影值来表示。矢量长度矢量长度 = = mU矢量与横轴夹角矢量与横轴夹角 = = 初相位初相位矢量以角速度矢量以角速度 按逆时针方向旋转

9、按逆时针方向旋转 tUum sinmUt 相量的几何意义相量的几何意义旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数小结：正弦量的四种表示法小结：正弦量的四种表示法波形图波形图 TmIt i瞬时值瞬时值 tUum sin相量图相量图UI复数表复数表示法示法 UeUbaUjj符号说明符号说明瞬时值瞬时值 - - 小写小写u、i有效值有效值 - - 大写大写U、I复数、相量复数、相量 - - 大写大写+ +“.”“.”U最大值最大值 - - 大写大写+ +下标下标mUV452220 U？正误判断正误判断)V45(sin220 tuVe22045m U？)A30(sin24 t

10、？Ae4j30 Ij45 )A60(sin10ti？V100 U？Ve100j15 U？ 2.已知：已知：A6010 IV15100 U1U 202U 452U1U 落后于落后于1U2U超前超前落后落后？解解: :V)45(sin21102tuV)20(sin22201tu+1+jV202201 UV451102 U例例2: 2: 已知已知)A60sinj60cos11()A30sinj30cos12.7( 有效值有效值 I =16.8 A)A 30 (314sin2.7 12 1ti )A 60 (314sin211 2ti。 iii21A) 10.9 314(sin216.8 ti求：求：

11、A3012.7 1 IA60112 IA6011A3012.721 IIIA10.916.8j3.18)A-16.5( ( )2 sin()i tIt( )( )2sin()RutRi tRItuR(t)i(t)R+- -相量形式：相量形式：有效值关系有效值关系：UR = RI相位关系：相位关系：u、i同相同相 II RIIRUR 1. 1.电阻元件电阻元件iRu 根据欧姆定律根据欧姆定律: : i tOuRRUI u= i相量模型相量模型R+- -RUI相量关系相量关系IRUR 波形图及相量图：波形图及相量图：有效值关系：有效值关系： U= L I相位关系：相位关系：u 超前超前 i 90I

12、LU jo0 IItIti sin2)()90sin(2cos2d)(d)(otILtILttiLtu 2.2.电感元件电感元件频域频域时域时域j L相量模型相量模型+- -UIUI相量图相量图i(t)u (t)L+- -时域模型时域模型 tu, iu i0波形图波形图感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) (1) 表示限制电流的能力表示限制电流的能力 XLXL= U/I = L= 2 f L 单位单位: :欧姆欧姆感抗：感抗：; , ,; ,0 ),(0开开路路短短路路直直流流 LLXX U= L I(3)(3)由于由于感抗的存在使电流落后电压感抗的存在使电流落后电压iuL IUL 错误的写

13、法错误的写法(2) (2) 感抗和频率成正比感抗和频率成正比ILU j频域频域有效值关系：有效值关系： I= C U相位关系：相位关系：i 超前超前u 90UCI jo0UU时域时域tUtu sin2)()90sin(2cos2d)(d)(otCUtCUttuCti 3.3.电容元件电容元件时域模型时域模型i (t)u(t)C+- -相量模型相量模型IU+- -Cj 1UI相量图相量图 tu, iu i0波形图波形图容抗的物理意义：容抗的物理意义：(1) (1) 表示限制电流的能力表示限制电流的能力(2) (2) 容抗的绝对值和频率成反比容抗的绝对值和频率成反比容抗容抗; , 0 ,; , )

14、,(0C旁旁路路作作用用隔隔直直作作用用直直流流 CXX I= CU(3)(3) 由于由于容抗的存在使电流领先电压容抗的存在使电流领先电压iuC 1IUC 1错误的写法错误的写法CIU 1XC 1定义定义C CXUCI j例例: :电路的相量模型电路的相量模型 时域列解微分方程时域列解微分方程求非齐次方程特解求非齐次方程特解频域列解代数频域列解代数( (复数复数) )方程方程LCRuSiLiCiR+- -j L1/j CSULICIRIR+- - tiCRiutiCtiLiiiCRCLRCLd1d1ddSCRCLRCLICIRUICILjIII S j1j1时域电路时域电路频域电路频域电路dt

15、diLu 基本关系基本关系LjjXL 复阻抗复阻抗电感元件电感元件LUICjjXC 1 复阻抗复阻抗dtduCi 基本关系基本关系电容元件电容元件CUI电阻元件电阻元件R基本关系基本关系iRu 复阻抗复阻抗R小结小结UI作业6.1 6.6 在正弦交流电路中，若正弦量用相量在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示，表示，电路参数用复数阻抗（电路参数用复数阻抗（ ) ) 表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。 IU、CLjXCjXLRR 、 6.4 6.4 基本定律的相量形式基本定律的相量形式RIU()()LU I jXI j L11()

16、()()CUIjXIjICj C复数形式的欧姆定律：复数形式的欧姆定律：电阻电路电阻电路 电感电路电感电路电容电路电容电路UIZR、L、C元件的阻抗和导纳元件的阻抗和导纳（1）R：1,RRZRYGR（2）L：11,LLZj LYjj LL （3）C：11,CCZjYj CCj C 阻抗阻抗 导纳导纳KVL、KCL的相量形式的相量形式 0 0)(0 0)(UtuIti电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较： GuiRiuui : 0 :KVL 0 :KCL :或或元元件件约约束束关关系系电电阻阻电电路路 : 0 :KVL 0 :KCL : UYIIZUUI或或

17、元件约束关系元件约束关系正弦电路相量分析正弦电路相量分析可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法用到正电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法用到正弦稳态的相量分析中。弦稳态的相量分析中。6.5 6.5 相量法分析正弦稳态电路相量法分析正弦稳态电路同直流电路相似：同直流电路相似：ZZ1Z2+ +- - - - U1 U2 U I IY+- - UY1Y21 I2 I , : , :IYYIYYUZZUZZkkkkkkkk并联并联串联串联6.5.1 阻抗串并联阻抗串并联UZZUZZZ1121 IY

18、YIYYY1121 12122112Z ZZZZZIIZZLCRuuLuCi+- -+- -+- -. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj16.5.2 6.5.2 阻抗阻抗(RLC(RLC串联电路串联电路) )由由KVLKVL：. ICj. ILj. IR. U. U. U. UCLR 1 . ICjLjR)( 1 . IXjR. IXXj(RCL)() 先画出参先画出参考相量考相量CUULUI CLXXjRIU 相量表达式：相量表达式：RUCLUU电压电压三角形三角形. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1RLC串联电路会出现分电压大于总电

19、压的现象串联电路会出现分电压大于总电压的现象实部为阻实部为阻虚部为抗虚部为抗容抗容抗感抗感抗CLXXjRIUCLXXjRZ令令则则ZIU 复数形式的复数形式的欧姆定律欧姆定律. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1Z：复数阻抗复数阻抗关于复数阻抗关于复数阻抗 Z Z 的讨论的讨论iuiuIUZIUIUZ ZIU 由复数形式的欧姆定律由复数形式的欧姆定律可得：可得：结论：结论：的模为电路总电压和总电流有效值之比，的模为电路总电压和总电流有效值之比，而而的幅角则为总电压和总电流的相位差。的幅角则为总电压和总电流的相位差。iu IUZ 1.1.Z Z 和总电流、总电压的关系

20、和总电流、总电压的关系2.2.Z Z 和电路性质的关系和电路性质的关系 CLXXjRZZ 一定时电一定时电路性质由参路性质由参数决定数决定 RXXtgCLiu1当当 时时， 表示表示u领先领先i电路呈感性电路呈感性CLXX 0CLXX 0当当 时，时， 表示表示u、i同相同相 电路呈电阻性电路呈电阻性CLXX 0当当 时时， 表示表示u落后落后i电路呈容性电路呈容性阻抗角阻抗角3.3.阻抗（阻抗（Z Z）三角形）三角形阻抗阻抗三角形三角形ZRCLXXXRXXtgXXRZCLCL122)(ZXXjRZCL)(4.4.阻抗三角形和电压三角形的关系阻抗三角形和电压三角形的关系电压三电压三角形角形阻抗

21、三阻抗三角形角形相相似似 CLCLRXXjRIUUUU CLXXjRZ ZRCLXXXCURUULUCLUUI 在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示, ,元元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。流电路相似。是一个复数，但并不是正弦交流是一个复数，但并不是正弦交流量，上面量，上面不能加点不能加点。Z Z在方程式中在方程式中只是一个运算工具。只是一个运算工具。注意：注意： CLXXjRZ ZIU RLCRULUCUIU例例. LCRuuLuCi+- -+- -+- -已知：已知：R=15 , L

22、=0.3mH, C=0.2 F,. Hz103 ),60sin(254 ftu 求求 i, uR , uL , uC .解解：相量模型为相量模型为. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1V U 605 CjLjRZ 1 64102010321 .jC1j jjLj5561030103234. j526. jjo463543352655615. ZUI . Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1V U 605 Z C1j jLj556. j526. o4635433. V 49395343149090526C1jV 486428431490905

23、56jV 43235243149015ooo ooo oo . IUILUIRUCLR A4314904635433605ooo. 则则 A)4 .3(sin2149.0o tiUL=8.42U=5，分电压大于总电压，原分电压大于总电压，原因是因是uL， uC相位相差相位相差180，互相抵消，互相抵消的结果。的结果。相量图相量图UCULU I- -3.4RU. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1 I A431490o. V 493953V 486428V 432352o o o . CLRUUUCLUU )60sin(25 tu V )4 .93sin(295.3V

24、 )6 .86sin(242.8V )4 .3sin(2235.2ooo tututuCLR由由KCL： . . . . . . .1jRLCIIIIGUUj CULiLCRuiLiC+- -iL. Ij L. ULI. CI. Cj1R+- -RI. 6.5.3 6.5.3 导纳导纳(RLC(RLC并联电路并联电路) ). )j(. )j(. )j1j(UBGUBBGUCLGCL YBGUIUIUIYuiui |j. . 令令Y 复导纳复导纳；G电导电导( (导纳的实部导纳的实部) )；B电纳电纳( (导纳的虚导纳的虚部部) )； |Y|复导纳的模复导纳的模； 导纳角导纳角。关系：关系： arctg | | 22 GBBGYG=|Y|cos B=|Y|sin |Y|GB 导纳三角形导纳三角形|Y|=I/U = i- - uY=G+j( C- -1/ L)=|Y| C 1/ L ，B0， 0，电路为容性，电路为容性，i超前超前u； C1/ L，