第06章 耦合电感与变压器

1、 第六章第六章 耦合电感与变压器耦合电感与变压器6. 1 耦合电感耦合电感6. 2 耦合电感电路分析耦合电感电路分析6. 3 空芯变压器空芯变压器6. 4 理想变压器理想变压器6. 1 耦合电感耦合电感一、一、 互感和互感电压互感和互感电压+u11+u21i1 11 21N1N2当线圈当线圈1中通入电流中通入电流i1时，在线圈时，在线圈1中产生磁通中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈，同时，有部分磁通穿过临近线圈2。线圈线圈1的自感系数的自感系数 (self-inductance coefficient)1111 defLi 21211 defMi 线圈线圈1

2、对线圈对线圈2的互感系数，的互感系数，单位：单位：H(mutual inductance coefficient)tNtutNtudd dd dddd21221211111111 当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质(空心线圈空心线圈)时，有时，有111112121dd ddiiuLuMtt u11：自感电压；：自感电压； u21：互感电压。：互感电压。 ：磁链：磁链 (magnetic linkage)当当i1与与u11关联取向；关联取向；u21与与磁通符合右手螺旋法则时，磁通符合右手螺旋法则时，根据电磁感应定律和楞次定律：根据电磁感应定律和楞次定律：当线圈当线圈1中通入电流中通入电流i

3、1时，在线圈时，在线圈1中产生磁通中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈，同时，有部分磁通穿过临近线圈2。当。当i1为时变电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈时，磁通也将随时间变化，从而在线圈2两端产生感应电压。两端产生感应电压。+u12+u22i2 12 22N1N22222222222222121221212112122ddd ()dddddd ()dddiuNLLtttiiuNMMttti 自自感感电电压压 互互感感电电压压可以证明可以证明：M12= M21= M。当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包当两个线圈同时通以电流时，每个线

4、圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：含自感电压和互感电压：1211112112221222dd dddd ddiiuuuLMttiiuuuMLtt 互感的性质互感的性质可以证明，可以证明，M12=M21=M互感系数互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置相互位置 和周围的介质磁导率有关。和周围的介质磁导率有关。 耦合系数耦合系数 (coupling coefficient)k：k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。表示两个线圈磁耦合的紧密程度。全耦合（全耦合（perfect coupling）：）： K=1紧耦合紧耦合 K1无耦合（孤立电感）无耦合（孤

5、立电感） K=021defLLMk 可以证明，可以证明， 0 k 112max121MLLMLLK (，即即全全耦耦合合时时）互感小于两元件自感的几何平均值。互感小于两元件自感的几何平均值。二、互感线圈的二、互感线圈的同名端同名端具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。tiLudd 1111对自感电压：对自感电压：当当u11, i 1关联取向关联取向当当u11, i1 非关联取向非关联取向tiLudd 1111对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，对互感电

6、压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。电路分析中显得很不方便。+u11+u21i1 11 0N1N2+u31N3 stiMutiMudd dd1313112121 引入同名端可以解决这个问题。引入同名端可以解决这个问题。同名端同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端，产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端，否则为否则为异名端异名端。 * 同名端表明了线圈的

7、相互绕法关系。同名端表明了线圈的相互绕法关系。同名端的另一种定义：同名端的另一种定义： 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，则当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，则另一线圈中互感电压的高电位端为其相应的同名端。另一线圈中互感电压的高电位端为其相应的同名端。112233* 例例. 同名端的实验测定：同名端的实验测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。0 , 0 22 dtdiMudtdi如图电路，当开关如图电路，当开关S突然闭合时，突然闭合时，i增加，增加，当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用

8、上面的结论来加以判断。其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。当当S突然闭合时：突然闭合时： 电压表若正偏，则电压表若正偏，则1、2为同名端为同名端 电压表若反偏，则电压表若反偏，则1、2为同名端为同名端三、由同名端及三、由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程互感电压的正负号判定规则互感电压的正负号判定规则：tiMuMdd1tiMuMdd1当当电流的流入端电流的流入端与该电流引起的与该电流引起的互感电压的参考正极互感电压的参考正极端端为同名端时，互感电压取正号，反之，取负号。为同名端时，互感电压取正号，反之，取负号。i1*L1L2+_uMMi1*L1L2

9、+_uMMtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 2111jjIMILU 2212jjILIMU i1*L1L2+_u1+_u2i2M*L1L2+_u1+_u2i2Mi1tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 时域形式时域形式：*j L1j L2+_j M1 U+_2 U1 I2 I在正弦交流电路中，其在正弦交流电路中，其相量形式相量形式的方程为的方程为11 jLMj LM 自自感感抗抗（ ）互互感感抗抗（ ）自自感感阻阻抗抗（ ）互互感感阻阻抗抗（ ）i1L1L2+u1+_u2i2+_2diMdt1diMdt互感的时域等效模型互感的时域等效模型

10、+_+_+_2j MI 1j MI 1j L 2j L 1U 2U 1I 2I 互感的等效相量模型互感的等效相量模型注注：上图中将互感电压用受控电压源表示后，上图中将互感电压用受控电压源表示后，L1 与与L2就就不再具有耦合关系。不再具有耦合关系。注意：注意： 有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。 A、B为同名端，为同名端，B、C为同名端，但为同名端，但A、C不一定不一定是同名端。是同名端。(1) 一个线圈可以不只和一个线圈有磁耦合关系；一个线圈可以不只和一个线圈有磁耦合

11、关系；(2) 互感电压的符号有两重含义：同名端；参考方向互感电压的符号有两重含义：同名端；参考方向互感现象的利与弊：互感现象的利与弊：利用利用变压器：信号、功率传递变压器：信号、功率传递避免避免干扰干扰克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。6. 2 耦合电感电路分析耦合电感电路分析一、互感线圈的串联一、互感线圈的串联1. 顺串顺串1212dddddddddd (2)ddiiiiuLMLMttttiiLLMLtt 顺顺串串122 LLLM 顺串顺串iL顺串顺串u+i*u2+ML1L2u1u+2. 反串反串12 2LLLM 反反串串i*u2+ML1L2u1

12、+u+iL反串反串u+1212dddddddddd (2)ddiiiiuLMLMttttiiLLMLtt 反反串串* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：顺接一次，反接一次，就可以测出互感：4反反顺顺LLM 互感的测量方法：互感的测量方法：1. 同名端在同侧同名端在同侧tiMtiLudddd211 tiMLLMLLudd2)(21221 21212 0()2L LMLLLM 同同 并并i = i1 +i2 解得解得u, i的关系：的关系：二、互感线圈的并联二、互感线圈的并联*Mi2i1L1L2ui+tiMtiLudddd122 2. 异名端在同侧异名端在同侧21212() 2 0L LMLLL

13、M 异并异并*Mi2i1L1L2ui+21212() 2 L LMLLLLM 同同 并并异异 并并显显 然然 ：（ 为为 什什 么么 ？ ）2I 1I 三、含耦合电感电路的一般分析三、含耦合电感电路的一般分析*R2R1j L1+j L2j MU 相量模型相量模型*MR2R1L1L2u+时域模型时域模型例：如上，列写网孔方程例：如上，列写网孔方程2121111112211112122()()()02)IRj L IRj L IUIRj MIj Mj L IRRj LjIIL Ij M 对对 网网孔孔: : 对对 网网孔孔: : - -2j MI 122j MIj MI 互感电压项互感电压项111

14、11211112122()()()(2)0Rj L IRj Lj M IURj Lj M IRRj Lj Lj M I - -可见，此法麻烦！可见，此法麻烦！四、互感去耦法四、互感去耦法1. 同名端相连同名端相连*L1123L2Mii1i2(L1M)123(L2M)Mi1i2i12131didiuLMdtdt12iii12232didiuMLdtdt 11111()()did iiLMdtdtdidiLMMdtdt 22222()()d iidiMLdtdtdidiLMMdtdt 2. 异名端相连异名端相连*L1123L2Mii1i2(L1+M)123(L2+M)-Mi1i2i同理可证同理可证

15、例：例：利用互感去耦法求利用互感去耦法求ab端等效电感端等效电感Leq*ML1L2abLeqbLeqL1-MaL2-MM212121212()()2eqLM LML LMLMLMLMLLM 例：例：利用互感去耦法重解前面例题。利用互感去耦法重解前面例题。2I 1I R2R1+U j (L2-M)j (L1-M)j M相量模型相量模型*MR2R1L1L2u+时域模型时域模型去耦去耦11111211112122)()()(20RjLMj M IRjLM IURjLM IRRjLLM I （- -列网孔方程：列网孔方程：1122.II 解之：解之：例：例：求求ab间等效电感间等效电感Leq=?。 已

16、知已知M=4mH*ML1=10mHL2=2mHabLeqc14mH6mHabLeq-4mHc6( 4)14264eqLm H 1 eqLL 思思为为 什什 么么考考 ：？6. 3 空芯变压器空芯变压器*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2ZL空芯变压器：空芯变压器： （非铁磁性骨架材料）（非铁磁性骨架材料）主圈主圈（原边、初级线圈）（原边、初级线圈）：副圈副圈（副边、次级线圈）（副边、次级线圈）：2I 1I *j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2ZL一、回路分析法一、回路分析法 12S11(j)jRL IM IU 1222j(j)0LM IRZLI 1122.II

17、二、反映阻抗（二、反映阻抗（reflected impedance） S121122 ()LUIMRj LRZj L S121122()UIMZZ 即即： S121122 ()LUIMRjLRZjL 2Sin11221()UMZZZI 电电源源两两端端输输入入阻阻抗抗其中：其中： Z11=R1+j L1 初级回路的自阻抗初级回路的自阻抗 Z22=R2+ZL+j L2 次级回路的自阻抗次级回路的自阻抗12ref22() MZZ 次级在初级回路中的次级在初级回路中的反映阻抗反映阻抗， 或称为或称为引入阻抗引入阻抗。初级等效电路初级等效电路1 I+S UZ111222()refMZZ 这说明了次级回

18、路对初级回路的影响可以用这说明了次级回路对初级回路的影响可以用反映反映（引（引入）入）阻抗阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然初级、次级没有来考虑。从物理意义讲，虽然初级、次级没有电的联系，但由于互感作用使闭合的次级回路产生电流，电的联系，但由于互感作用使闭合的次级回路产生电流，反过来这个电流又影响初级回路电流和电压。反过来这个电流又影响初级回路电流和电压。 1S111refUIZZ 即即： 1222jM IIZ 次次级级： 关于反映阻抗关于反映阻抗：次级在初级中的反映阻抗：次级在初级中的反映阻抗：与同名端无关。与同名端无关。当当Z22为容性为容性 Zref1为感性。为感性。 当当Z22为感性为感性

19、 Zref1为容性为容性 。1. 当当Z22为电阻为电阻 Zref1为电阻为电阻 。12ref22( )MZZ 22ref11() MZZ 4. 同理，初级在次级中的反映阻抗：同理，初级在次级中的反映阻抗： 1222jM IIZ 次次级级电电流流： 次级等效之一：次级等效之一： 2I +22Z 1j M I 12222 Lj MIZRj LZ 其其中中： 次次级级线线圈圈中中互互感感电电压压次次级级回回路路自自阻阻抗抗另：另： 也可以利用戴文南等效作次级等效。也可以利用戴文南等效作次级等效。次级等效之二：次级等效之二： 1011socUUjM IjMZ 2I +22Z ocU 22ref11(

20、)MZZ 2refZ初初级级在在次次级级中中的的反反映映阻阻抗抗 1011 sUIZ 空空载载称称时时 初初 级级 电电 流流20ref22ZZRj L 等等效效内内阻阻抗抗： 101II 空空载载 时时 初初 级级 电电 流流并并 不不 等等 于于 有有 载载 时时 初初 级级 电电 流流注注 ：*j L1 10I j L2j M+S UR1R2ZL1222()41010()0.29.8j10refMZjZj 1111201 0 ()10101010srefUIAZZjj 解：解：*j10 2I j10 + SU 10 ZL 1I j2 法一法一：回路电流分析法（：回路电流分析法（略略）法二

21、法二：利用初级、次级等效电路。：利用初级、次级等效电路。+S U10+j10 Zref1=10j10 初级等效初级等效1I 1220 ,0.29.8 ,sLUVZjII 已已知知负负载载阻阻抗抗求求 和和例例：12222 1 05 2 45 ( )100.29.8jMIjIAZjj 2I 求求 时时也也可可以以用用戴戴文文次次南南定定理理作作级级等等效效：*j10 2I j10 + SU 10 ZL 1I j2 2I +22Z ocU 2refZ次级等效次级等效 101120222451010SocUUjM IjMjVZj 22ref11()40.20.2 1010MZjZj 22222 2

22、455 2 45(0.20.2)( 100.29.8)ocrefUIAZZjjj ?eqabL 如如图图，求求间间的的等等效效电电感感 例例：*0.4HabL2L10.1H0.12H22ab12()(0.12)0.1= 0.064 ( )0.4MZj Ljjj Lj ab 0.064 eqZLHj 故故：解：解： 法一：反映阻抗法法一：反映阻抗法法二：互感去耦法法二：互感去耦法*0.4HabL2L10.1H0.12Heq0.52 ( 0.12)0.220.0640.520.12LH ab-0.12H0.22H0.52H*0.4HabL2L10.1H0.12HbI例例3.（不讲不讲）支路法、回路

23、法：方程较易列写，因为互感电压可以直接支路法、回路法：方程较易列写，因为互感电压可以直接计入计入KVL方程中。方程中。分析：分析：节点法：方程列写较繁，因为与有互感支路所连接的节点节点法：方程列写较繁，因为与有互感支路所连接的节点电压可能是几个支路电流的多元函数，不能以节电压可能是几个支路电流的多元函数，不能以节点电压简单地写出有互感的支路点流的表达式。点电压简单地写出有互感的支路点流的表达式。 关键：正确考虑互感电压作用，要注意表达式中的正负号，关键：正确考虑互感电压作用，要注意表达式中的正负号，不要漏项。不要漏项。aIM12+_+_1SU2SU* M23M13L1L2L3Z1Z2Z31I2

24、I3I此题可先作出去耦等效电路，再列方程此题可先作出去耦等效电路，再列方程(一对一对地消一对一对地消):M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12 M13 +M23L2M12 +M13 M23L3+M12 M13 M236. 4 理想变压器理想变压器1. 理想变压器的伏安关系理想变压器的伏安关系 一、一、. 理想变压器理想变压器 (ideal transformer)：*+1 : n理想变压器理想变压器u1i1i2u221 unu 211 iin 理想变压器也是一种耦合元件，符号与耦合电感相似，理想变压器也是一种耦合元件，符号与耦合电感相似，但

25、理想变压器的唯一参数是但理想变压器的唯一参数是变比变比（匝比）（匝比）n注：注：如前表达式是在如前表达式是在i1,i2以及以及u1,u2的参考方向对同名端一致的参考方向对同名端一致 时得到的。时得到的。i1, i2对同名端一致对同名端一致即：即： i1,i2的流入端为同名端。的流入端为同名端。u1, u2对同名端一致对同名端一致即：即： u1,u2的参考正极端为同名端。的参考正极端为同名端。若若i1,i2以及以及u1,u2的参考方向的参考方向对同名端不一致，对同名端不一致，则前表达则前表达式中式中符号取反。符号取反。2121 UUII 1 22 *1 I2 I-+2 U+1 U2 : 1例：例

26、：对同名端一对同名端一致，取致，取“”对同名端一对同名端一致，取致，取“”2121 UUII n 1 n*1 I2 I+2 U+1 U1 : n例：例：对同名端不对同名端不一致，取一致，取“”对同名端不对同名端不一致，取一致，取“”2. 2. 理想变压器的功率性质：理想变压器的功率性质： 理想变压器的特性方程为代数关系，因此理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆无记忆作用。作用。11 12 21 11()0ipu iu iu inun 由此可以看出，理想变压器既由此可以看出，理想变压器既不储能不储能，也，也不耗能不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。在电路中只起传递信号和能量的作用。*

27、+1 : nu1i1i2u221 unu 211 iin 例例:abII 如如图图，求求及及* *1 : 2.5+12mV-j10 10 aI bI 1U +-2U +-cI RI 解：解：212.52.5 1230UUmV 2123012301.8 310101010cRUUUIjmAImAjj 31.8 bcRIIIjmA 2.57.54.5 abIIjmA 2122112222()()/unLLuLunuuinin ininiRRRn 3. 理想变压器的阻抗变换性质：理想变压器的阻抗变换性质：* *1ii+1u1 : nRLu22i(a)*1i+1u1 : nu22i2LRn(b)阻抗变

28、换一：阻抗变换一：利用伏安关系证明利用伏安关系证明(a),(b)等效：等效：对对(a)有：有：2LLLRRRn 称称为为在在初初级级中中的的折折合合阻阻抗抗。i2=0*+1 : 10u1i1i21K * *+1 : 10u1i110 例：例：求端口输入电阻求端口输入电阻Rii=0+u1i110 端口输入电阻端口输入电阻 : Ri=u1/ i1=10 阻抗变换之二阻抗变换之二：*+1 : nu1i1i2u2+-R(a)*+1 : nu1i1i2u2+-n2 R(b)*+1 : nu1R1R2i2+u2n2 R2* *+1 : nu1i1i2+n2 R1例：例：注：注：应注意变换次序及变换前后阻抗

29、与线圈的串、并联关系。应注意变换次序及变换前后阻抗与线圈的串、并联关系。应用应用：例：例：电力传输中高压送电减小线路上热损耗电力传输中高压送电减小线路上热损耗* *1 : n* *n : 1+220Vr0电电厂厂用用户户若直接低压传输，传输线上电流较大，若直接低压传输，传输线上电流较大，r0上热损耗上热损耗很大，且用户端不能获得正常的很大，且用户端不能获得正常的220V额定电压。额定电压。实际中采用变压器实现实际中采用变压器实现高压传输高压传输，传输线路上电流，传输线路上电流非常小，热损耗很小。非常小，热损耗很小。降压降压220V+-升压升压几百几百KV+-例例:已知电源内阻已知电源内阻RS=

30、1k ，负载电阻，负载电阻RL=10 。为使。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比上获得最大功率，求理想变压器的变比n。* *n : 1RL+uSRSn2RL+uSRS当当 n2RL=RS时匹配，即时匹配，即10n2=1000 n2=100， n=10 .例例:1 I2 I*+2 U+1 U1 : 1050 +V010o 1 .2 U求求方法方法1：网孔分析法：网孔分析法 10121UU 2110II o110101 UI05022 UI解得解得V033.33o2 U方法方法2：阻抗变换：阻抗变换V0100 1010oS1oc UUU0 , 012 II1 I2150)101(2 +1

31、U+V010o 1 V 0310212/11010oo1 UV033.33 10o112 UUnU方法方法3：戴维南等效：戴维南等效1 I2 I* *+oc U+1 U1 : 10+V010o 1 :ocU求求初级等效初级等效求求R0：* *1 : 101 R0R0=102 1=100 戴维南等效电路：戴维南等效电路：+2 U+V0100o 100 50 V033.3350501000100oo2 U次级等效次级等效例：例： （不讲不讲）3121 6 ,5 UUUU理想变压器次级有两个线圈，理想变压器次级有两个线圈，变比分别为变比分别为5:1和和6:1。求初级等效电阻求初级等效电阻R。321

32、6151 III561451156455614516151222121132132111 UUUUUUIIUIUR解：解：R100 180 3 .64180/100 R(根据根据)*+1 U+5 : 14 6 : 15 1 I2 I3 I2 U+3 U4. 理想变压器的实现理想变压器的实现i1*L1L2+_u1+_u2i2M实际变压器实际变压器* *+1 : ni1i2u1u2理想变压器理想变压器空芯变压器空芯变压器： 较小，较小，K很小很小铁芯变压器铁芯变压器： 较大，较大，K1K=1（无漏磁）（无漏磁） L1, L2（即（即 ）无能量损耗无能量损耗理想变压器理想变压器：参数参数: L1,L2,M，储能储能参数参数: n不耗能不耗能;不储能不储能.101202 N dudtN dudt 初初级级：次次级级：2211 uNnuN 变变比比故故：（匝匝比比）K=1, L1,