全等三角形-截长补短法

1、“截长补短”的思想在几何证明中的运用【学习目标】 （ 30 秒）用 “截长补短法 ”解决线段的和、差问题。【重、难点】（30 秒）用 “截长补短法 ”解决线段的和、差问题。【操作思考】（2 分钟）1、画一画：线段AB=CD+EF线段 CD=AB-EF线段 AB线段 CD线段 EF（通过让学生在纸上画出线段的和和差的图形来说明线段的截长补短）导学设计教学重难点用 “截长补短法 ”解决线段的和、差问题。教具准备三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件导学流程一、导入新课 , 揭示目标 (1 分钟 )线段 AB=10cm线段 CD=6cm线段 EF=4cm语言；画三条线段思考两条线段和与差能否等

2、于第三条线段。师生对照课件解读学习目标用 “截长补短法”解决线段的和、差问题。【归纳小结】（ 2 分钟）截长补短法 ”： “截长 ”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和； “补短 ”就是将题中某条线段延长 （或补上某线段） ，然后，证明它与题中某条线段相等。典题解析 （ 3+4+6 分钟）例 1、如图，在ABC 中， AD 是 BAC 的平分线，C=2 B. 求证： AB=AC+CD思路点拨：延长AC 到 E,使 CE=CD, 连接 DE.二、归纳小结截长补短法： “ 截长 ” 就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和； “ 补短 ”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它

3、与题中某条线段相等。三 典题解析例 1、思路点拨： 延长AC 到 E,使ACE=CD, 连接 DE. 或者在 AB 上截取 AG ，使 AG =AC ，连接 DG。追问 ; 这个图形的基本图形是怎样的图形？请把它画出来。CDB证明：在 AB 上取一点 E，使 AE=AC ，连接 DE, AD 平分 BAC EAD= CAD1在 EAD 和 CAD 中AE=AC ， EAD= CADAD=AD ； AED ACD （ SAS） AED= C=2 BED=CD例 2、 已知，如图 1-1 ，在四边形 ABCD中， BC AB，AD=DC，BD平分 ABC.展示分配：一、三小组展示，其他小组质疑，提

4、问。组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示， 一组展示截长法，三组展示补短法。求证： BAD+ BCD=180° .E例 2、思路点拨：怎样利用角平分析： 因为平角等于 180°，A分线的性质来作辅助线?因而应考虑把两个不在一起的通D过全等转化成为平角， 图中缺少全追问： 1、能不能在线段BC上截等的三角形， 因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过 “截长补取 BG=AB呢？短法”来实现 .B图1-2FC2、能不能延长线段AB 到 H,使AH=BC呢？证明：作DE AB 于 E， DFAD 于 F。 BD 平分 ABC ， DE=DF 。在 RtAED 和 Rt CF

5、D 中， DE=DF ，AD=CD ， RtAED Rt CFD ， EAD= C， BAD+ EAD=180 °， BAD+ BCD=180 °。DA展示分配：二、四小组展示，其他小组质疑，提问。组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示，二组展示截长法利用角平分线的性质作辅助线的方法，四组展示截长法或者补短法。例 3、 如图 2-1 ， AD BC，点 E在线段 AB上， ADE= CDE， DCE= ECB.求证： CD=AD+BC.分析：结论是 CD=AD+BC，可考虑用 “截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两

6、线段相等的问题，从而达到简化问题的目的 .4 3FE 21例 3、思路点拨： 结论是C CD=AD+BC，可考虑用“截长补短B图 2-2法”中的 “截长” ，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的 .证明：在CD 上取一点F，使得 DF=DA ，连接 EF2 DE 平分 ADF ， ADE= FDE在 ADE 与 FDE 中DA=DFADE= FDEDE=DF ADE FDE（ SAS ） A= DFE ( 全等三角形对应角相等) AD BC， A+ B=180°又 DFE+ CFE=180° B= C

7、FE，又 CE 平分 BCF， ECF= ECB在 BCE 和 FCE 中 B= CFE ECF= ECBCE=CE BCE FCECF=CB （全等三角形对应边相等）AD=DF CD=AD+BC【课堂小结】截长补短法 ”： “截长 ”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和； “补短 ”就是将题中某条线段延长（或补上某线段） ，然后，证明它与题中某条线段相等。 达标检测A【基础训练】1、如图 , 在 ABC 中 , C=25° ,AD BC,垂足为 D, 且 AB+BD=CD,则CBDBAC的度数是105 ° .2、如图， B2 C， AD BC于 D，求证： AB B

8、D CDACDB展示分配：五、六小组展示，其他小组质疑，提问。组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示，六组展示截长法利用角平分线的性质作辅助线的方法，五组展示补短法。追问：能不能延长DA与 CE相交与 G点来证明 CD=AD+BC 呢？课堂小结（ 3 分钟） :1、 基本图形：翻折构造全等三角形ACDB2、 截长补短法 ”： “截长 ”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和； “补短 ”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。达标检测 (10 分钟 )1 、提示：将ABD 沿 AD 所在直线翻折，使B 点落在CD 上，构造全等三角形。证法一：在线段CD 上

9、截取 DE=BD ，连结 AE2 、 提示一：采取截长法构造全等三角形ABD AED来证明ABBD CD32 、提示二：采取补短法构造全等三角ADBC形ACD AFD 来证明 ABBD CDAEABAEBBB 2 C AEB 2C又AEBCCAEC CAEAE CE AB CECDCEDEABBD即ABBDCD证法二：如图2，延长 CB 到 F，使 BF=AB 。连结 AF则 ABC 2FABC2CC F AC AFACF 为等腰三角形ADCFCDDFDFBFBDABBDABBDCD【能力提升 】3、已知：如图，ABCD是正方形，AD FAD= FAE. 求证： BE+DF=AE.FBCE证明

10、 :延长 CB 到 M,使 BM=DF, 则ME=BE+BM=BE+DF.连接 AM.AB=AD,BM=DF, ABM= D, 则: ABM ADF(SAS).4故 :MAB= FAD; 又 AF 平分 EAD, 则: MAB= EAF;则 M=AFD= BAF= BAE+ EAF= BAE+ MAB= MAE, 得 AE=ME.所以 ,AE=ME=BE+DF.3 、提示：要证BE+DF=AE.就要构造全等三角形，延长CB到M,证ABM ADF, 这就需要连接AM 。【思考题】4、如图，已知 ABC中，A90o，AB AC，BE 平分 ABC，CEBD于 E，求证： CE= BD.分别延长 C

11、E,BA，交与一点 F因为 BEECBE平分 ABCFEB=BEC=90°ABD=DBCBE=BEBFE全等于 BEC ( 以上结论也可以由等腰三角形三线合一证明 )FE=EC即FC=2EC又 AB=ACBAC=90°ABD+ADB=180°ADB=EDC，故 ABD+EDC=90°又 DEC=90°EDC+ECD=90°FCA=DBC=ABD4 、提示： 延长 BA,CE 。先证明 BCE BGE ，再证明 Rt BAD Rt CFC。就可以 得到 BD=CF 。板书设计：一操作思考（截长补短法）二、归纳方法截长补短法 ”： “截长

12、 ”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和； “补短 ”就是将题中某条线段延长（或补上某线段） ，然后，证明它与题中某条线段相等。三、典例解析学生展示例一学生展示例二学生展示例三5ADB全等于 FACFC=BD=2EC【选做题】如图， OP 是 MON 的平分线， 请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：教后反思 :（ 1）如图， 在 ABC 中， ACB 是直角， B=60°，AD 、1.学生在讲解典例时分析的思CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD 、CE 相交于路未讲解透彻；点 F 。请你判断并写出F

13、E 与 FD 之间的数量关系；2.学生在讲解过程中不能把握（ 2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而(1)好时间。中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。【选做题】思路点拨：我们可以利用角平分线翻折构造全等三角形，辅助线的作法见图所示。解：图略 .画图正确得 1 分.(1)FE 与 FD 之间的数量关系为FE=FD.2分(2)答： (1)中的结论 FE=FD 仍然成立 .证法一：如图 1，在 AC 上截取 AG=AE ，连接 FG. 3分因为 1=2 ，AF 为公共边，可证 AEF AGF.所以 AFE= AFG ，FE=FG.4分由 B=60°，AD 、CE 分别是 BAC 、 BCA 的平分线，可得 2+ 3=60°.所以 AFE= CFD= AFG=60°.所以 CFG=60° .5分由 3=4 及 FC 为公共边，可得 CFG CFD.所以 FG=