初中函数复习专题-适合初三学生

1、优秀教案欢迎下载初中函数复习一、基本概念1、常量和变量：在变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。2、函数：定义：一般的，设在一个变化过程中有两个变量x 与 y，如果对于变量x 的每一个值，变量 y 都有唯一 的值与它对应，我们称y 是 x 的函数。其中x 是自变量， y 是因变量。函数的表示方法：列表法、图象法和解析法。自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为 0；函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数；对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意

2、义。二、初中所学的函数1、正比例函数 ：（ 1）、正比例函数的定义：形如ykx(k 0) 的形式。自变量与函数之间是k 倍的关系一般情况下， x 当作自变量，y 作为函数（ 2）、正比例函数的性质正比例函数y=kx 的图象是经过（0， 0），（ 1， k）的一条直线。当当k>0k0 时，图象从左到右是上升的趋势，也即是y 随 x 的增大而增大。过一、三象限。k0时，图象从左到右是下降的趋势，也即是y 随 x 的增大而减小。过二、四象限。k<0yyoxox注意 ：因为正比例函数y=kx (k 0)中的待定系数只有一个k，因此确定正比例函数的解析式只需x、y 一组条件，列出一个方程，从

3、而求出k 值。2、一次函数（ 1）、一次函数的定义：形如ykxb(k,b为常数 ,且 k0) 的形式；自变量与常量的乘积，再加上一个常量的形式。（ 2）、一次函数与正比例函数的关系ykx(k0)ykxb(k ,b为常数 ,且 k0)属于正比例一次函数不属于优秀教案欢迎下载（ 3）、一次函数的图象性质b>0b>0yyb=0b=0b<0b<0oxox一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0， b） ( k/b ， 0)的一条直线，也可由y=kx 平移得到 当 k>0 时， y 随 x 的增大而增大， b>0 时，图象过第一、二、三象限，b<0 时，图象过一

4、、三、四象限当 k<0 时， y 随 x 的增大而减小， b>0 时，图象过第一、二、四象限，b<0 时，图象过二、三、四象限注意： 一次函数 y=kx+b(k 0)中的待定系数有两个 k 和 b，因此要确定一次函数的解析式需x、y 的两组条件，列出一个方程组，从而求出k 和 b。3、反比例函数（ 1）、反比例函数的定义：形如y= k （ k 为常数， k 0 ）的形式； x 的取值范围是 x 0， y 的取值范围是 y 0x（ 2）、反比例函数的性质反比例函数 y= k 的图像是双曲线（两个分支）x 当 k>0 时，图像的两个分支分别在第一，三象限内；在每个象限内，y

5、 随 x 的增大而减小当 k<0 时，图像的两个分支分别在第二，四象限内；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大k>0k<0对 称 性：反比例函数y= k 的图像是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 或直线 y= x，也是中心x对称图形，对称中心是原点在一个反比例函数图象上任取两点P， Q，过点 P， Q分别作 x、轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1，S2， 则 S1 S2=|k| 。设 R 是双曲线上任意一点，过P 作 x 轴的垂线，垂足为A ，则S OAP1 k2注意 ：因为反比例函数 y= k(k 0)中的待定系数只有一个k，因此确定反比例函数的解析式只

6、需x、y 一x组条件，列出一个方程，从而求出k 值优秀教案欢迎下载4、二次函数（1）、二次函数的定义：形如yax2bxc（a0）的函数称为二次函数，其定义域是R。（2）、二次函数的解析式：一般式： yax2bx c（a0）；对称轴为b，顶点坐标为2x2ab，4ac b2a4a顶点式： y a( xh)2k （ a0 ）；对称轴为 x=h，顶点坐标为（ h，k）零点式（两根式） ：ya（xx1）（xx2）（a0），其中， x1、x2是函数 yax2 bx c（a0）的零点（或是方程ax2 bxc0的两个根）。（3）、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线 .（4）、二次函数的图像的性质：开口

7、方向：当 a>0时，开口向上；当 a<0时，开口向下；顶点坐标：；对称轴方程：；当 a 0 时，当b时， y 随 x 的增大而减小；当b 时， y 随 x 的增大而增大；xx2 a当b 时， y 有最小值当 a0 时当b2ab2，时， y 随 x 的增大而增大； 当x4 ac b ；x2 ax2a4a2a时， y 随 x 的增大而减小；当xb 时， y 有最大值4acb2 2a4a注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以

8、互化 .（5）、二次函数图象的平移保持抛物线yax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k处，具体平移方法如下：y=ax2向上 (k>0)【或向下 ( k<0)】平移 |k|个单位y=ax 2+k向右 (h>0) 【或左 ( h<0)】向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 ( h<0)】平移 |k| 个单位平移 |k|个单位平移 |k| 个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k

9、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 一定要记住！(6) 、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数 a ；二次函数 yax2bxc中， a 作为二次项系数，显然a0 当 a0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； 当 a0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小优秀教案欢迎下载 一次项系数 b ； 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线

10、的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置 常数项 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即

11、抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要 a ，b，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：（1）.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；（4）.已知抛物线上纵

12、坐标相同的两点，常选用顶点式（7）、二次函数图象的对称，当成结论重点记忆。二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 .关于 x 轴对称yax2bxc 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；ya x2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yaxh2；hk . 关于 y 轴对称yax2bxc 关于 y 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；ya x2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是ya x2k ；hh .关于原点对称yax2bxc 关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc ；ya x2k 关于原点对称后，得到的解析式是yaxh2hk ；.关于顶点对称b2

13、yax2bxc 关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxc；222aya xk 关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhhk优秀教案欢迎下载.关于点 m，n 对称2k 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是2y a x hya x h 2m2n k根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化， 因此 a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式（8）、二次函数与一元二次方程：. 二次函

14、数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bxc 0 是二次函数 y ax 2bx c 当函数值 y0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：(1).当24ac 0时，图象与 x 轴交于两点 A x1 ，0 ，B x2 ，0( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2b是一元二次方程 ax2bxc 0 a 0 的两根这两点间的距离 ABx2x1b24ac .a（中考常考，重点记忆）(2).当0 时，图象与 x 轴只有一个交点；(3).当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1'当 a0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y0 ；2'

15、;当 a0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y0 . 抛物线 yax2bxc 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ； . 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 y ax2bx c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交

16、点坐标 . 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0) 本身就是所含字母x的二次函数；下面以 a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0 抛物 线与 x 轴 二次 三项式的值 可 一元二次方程有两个不相等实有两个交点正、可零、可负根0 抛物 线与 x 轴 二次 三项式的值 为 一元二次方程有两个相等的实只有一个交点非负数根0 抛物 线与 x 轴 二次 三项式的值 恒 一元二次方程无实数根 .无交点为正优秀教案欢迎下载练习一1、小华用500 元去购买单价为3 元的一种商品，剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的函数关系是 _， x 的

17、取值范围是 _ ；2、函数 y=x的自变量 x 的取值范围是 _；x33、一根弹簧原长13 厘米，它所挂的重物不能超过16 千克，并且每挂重量1 千克时，弹簧就伸长0.5 厘米。写出挂重后弹簧的长y（厘米）与挂重x（千克）之间的函数关系式；求自变量的取值范围。4、如图，在边长为 4的正方形 ABCD 的四边 AB 、 BC 、CD 、 DA 上顺次截取 AP BQ CR DH ，得到正方形PQRH ，求正方形 PQRH 的面积 S 和 AP 的长度 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围。RCDHQAPB5、如图，在直角梯形ABCD 中， AB 22， CD10， AD 16。在斜腰BC

18、 上任取一点P，过 P 点作底边的垂线，与上下底分别交于 E、 F。设 PE 长为 x， PF 长为 y。求 y 与 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围；如果 S PCD S PAB ， P 点应取在什么地方？D C E PAFB6、 已知 y 与 3x 成正比例，当x=8 时， y= 12，求 y 与 x 的函数解析式。7、已知 2y 3 与 3x1 成正比例，且 x=2 时， y=5,（ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数；（ 2）若点（ a ，2）在这个函数的图象上，求 a .8、一个一次函数的图象，与直线 y=2x 1 的交点 M 的横坐标为 2，与直线 y

19、= x 2 的交点 N 的纵坐标为 1，求这个一次函数的解析式9、已知直线y=kx+b 经过点（25 ， 0）且与坐标轴所围成的三角形的面积是25 ，求该直线的解析式24优秀教案欢迎下载10、设一个等腰三角形的周长为45，一腰为x，底为 y,写出 y 用 x 表示函数关系式确定自变量x 的取值范围求出当x=15 时， y 的值，并指出此时三角形是什么三角形？111、已知直线y=3x 与 y=x 4，求：这两条直线的交点这两条直线与y 轴围成的三角形面积212、已知直线y1= 2x 6 与 y2= ax+6 在 x 轴上交于 A ，直线 y = x 与 y1 、 y2 分别交于C、 B。（ 1）

20、求 a；（ 2）求三条直线所围成的ABC 的面积。13、已知直线x 2y= k+6（ 1） 求 k 的取值范围和 x+3y=4k+1的交点在第四象限内。（ 2）若k 为非负整数，PAO是以OA为底的等腰三角形，点A 的坐标为（2， 0）点P 在直线x 2y= k+6上，求点P 的坐标及OP 的长。14、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，雉城镇制定了每月用水4 吨以内（包括4 吨）和用水 4 吨以上两种收费标准（收费标准：指每吨水的价格），用户每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其函数图象如图所示。y观察图象，求出函数在不同范围内的解析式；(元 )说出自来水公司在这两个月用

21、水范围内的收费标准；8若一用户 5 月份交水费 12.8 元，求他用了多少吨水？4.84 6x（吨）15、某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产前，甲生产线已生产了200 吨成品；从乙生产线投产开始。甲、乙两条生产线每天分别生产20 吨和 30 吨成品。（ 1） 分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（吨）与从乙投产以来所用时间x( 天)之间的函数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同？（2）在直角坐标系中，作出上述两个图象；观察图象，分别指出第 15 天和第 25 天结束时，哪条生产线的总产量最高？优秀教案欢迎下载16、 一列快车从甲城驶往乙城，一列慢车从乙城驶

22、往甲城已知每隔1 小时有一列速度相同的快车从甲城开往乙城， 如图所示， OA是第一列快车离开甲城的路程y( 单位在：千米 ) 与运行时间x( 单位：小时 ) 的函数图象， BC是一列从乙城开往甲城的慢车距甲城的路程y( 单位：千米 ) 与运行时间x( 单位：小时 ) 的函数图象根据图象进行以下探究：信息读取(1) 甲、乙两地之间的距离为_千米；(2) 点 B 的横坐标 0.5 的意义是慢车发车时间比第一列快车发车时间_小时。图象理解(3) 若慢车的速度为100 千米 / 小时，求直线BC的解析式，并写出自变量x 的取值范围；问题解决(4) 请你在原图中直接画出第二列快车离开甲城的路程 y( 单

23、位：千米 ) 与时间 x( 单位：小时 ) 的函数图象；(5) 求第二列快车出发后多长时间与慢车相遇；(6) 求这列慢在行驶途中与迎面而来的相邻两列快车相遇的间隔时间练习二1函数 y m 2 xm 22m 9 是反比例函数，则m的值是（）（ A） m 4或m2（ B） m 4（C） m2（ D） m12如图 4 所示，直线 y=kx （k>0）与双曲线y=4交于 A（ x， y ）， B（x ， y ） ?两点， ?则 2x1y 7x y的1122221x值等于 _图 4图 5图 63如图 5 所示，在反比例函数y=2 （ x>0 ）的图像上，有点P1，P2， P3，P4，它们的横

24、坐标依次为1，2，x3，4分别过这些点作x 轴与 y 轴的垂线， ?图中的构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则 S1+S2+S3=_ 4如图 6 所示，矩形 AOCB 的两边 OC， OA 分别位于 x 轴， y 轴上，点 B 的坐标为 B （20 ， 5），D3是 AB 边上的一点，将 ADO 沿直线 OD 翻折，使 A 点恰好落在对角线OB 上的点 E 处，?若点 E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_优秀教案欢迎下载5函数 y=kx+b （ k0）与 y= k （ k 0）在同一坐标系中的图像可能是（）x16如图 8 所示，正方形 OABC ，ADEF 的顶

25、点 A ，D，C 在坐标轴上， 点 F 在 AB 上，点 B ，E 在函数 y=x（ x>0）的图像上，则点E 的坐标是（）A（51 ，51 ）B （22C（51 ，51 ）D（2235 ， 35 ）2235 ， 35 ）22图8图9图107在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一质量m 的某种气体，?当改变容积V 时，气体的密度p 也随之改变 p 与 V 在一定范围内满足p= m ，它的图象如上右图所示，?则该气体的质量m 为（）VA 1.4kgB 5kgC 6.4kgD 7kg8如图所示，在梯形ABCD 中， AD BC， C=90 °， AD=1 ，AB=32， BC=2

26、，P 是 BC 边上的一个动点（点 P 与点 B 不重合，可以与点C 重合）， DE AP 于点 E，设 AP=x ， DE=y ?在下列图像中，能正确反映y 与 x 的函数关系的是（）9. 反比例函数 y =k -1与一次函数 y =k ( x+1) 在同一坐标系中的象只可能是（） .x优秀教案欢迎下载10. 如图 5-10 ， 、是反比例函数y=1的图象上关于原点对称任意两点，过、B作y轴的平行线，A BxA分别交 x 轴于点 C、D，设四边形 ACBD的面积为 S，则（）；A. S=1B.1<S < 2C.S=2D.S > 211. 已知：点 P ( n，2n）是第一象

27、限的点，下面四个命题：点 P 关于 y 轴对称的点P1 的坐标是 ( n， -2 n) ；点 P 到原点 O的距离是5 n；n直线 y = - nx +2 n 不经过第三象限函数y = x ,当 n < 0时， y 随 x 的增大而减小 .其中真命题是（填上所有真命题的序号）12. 反比例函数y=k的图象上有一点P(，) ，已知+n= 3，且P到原点的距离为13 ，则该反比例xm nm函数的表达式是.k13 函数 ykx 与y0 ）的图象的交点个数是（x （ k）A. 0B. 1C. 2D.不确定14如图所示，直线y=k 1x+b 与双曲线 y= k2只有一个交点（1，2），且与 x 轴

28、， y 轴分别交于 B，C 两点，xAD 垂直平分OB ，垂足为D，求直线，双曲线的解析式15已知反比例函数 yka,b ），和一次函数 y=2x-1 ，其中一次函数的图象经过（2x（ a+1， b+k）两点 .（ 1）求反比例函数的解析式；（ 2）如图 4，已知点 A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点 A 的坐标；（ 3）利用（ 2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P，使 AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.P优秀教案欢迎下载练习三一填空1二次函数=2（ x -3） 2 +1 图象的对称轴是。22函数y=12x 的自变量的取值范围是。

29、x13若一次函数y= （m-3） x+m+1的图象过一、二、四象限，则的取值范围是。4已知关于的二次函数图象顶点（1，-1 ），且图象过点（ 0，-3 ），则这个二次函数解析式为。5若 y 与 x2 成反比例，位于第四象限的一点P（ a， b）在这个函数图象上，且a,b 是方程 x2-x -12=0的两根，则这个函数的关系式。6已知点 P（ 1， a）在反比例函数k（ k 0）的图象上，其中2y=a=m+2m+3（m 为实数），则这个函数图x象在第象限。7x,y 满足等式 x=3y2 ，把 y 写成 x 的函数，其中自变量 x 的取值范围是。2y1y2P（ 2a-3 ， b+2）8二次函数 y

30、=ax +bx+c+（ a 0）的图象如图，则点在坐标系中位于第象限-2ox9二次函数 y=（ x-1 ） 2+（ x-3 ） 2，当 x=时，达到最小值。-210抛物线 y=x2- （ 2m-1） x- 6m 与 x 轴交于（ x1， 0）和（ x2，0）两点，已知x1x2=x1+x2 +49，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位。二选择题11抛物线 y=x2+6x+8 与 y 轴交点坐标（）（A）（0，8） （B）（0，-8） （C）（0，6）（ D）（-2 ， 0）（-4 ， 0）12抛物线 y= -1 （x+1） 2+3 的顶点坐标（）2（ A）（ 1，3）（B）（ 1，-3 ）（

31、C）（ -1 ，-3 ）（D）（-1，3）13如图，如果函数y=kx+b 的图象在第一、二、三象限，那么函数y=kx 2+bx-1的图象大致是（）yyyy1o1o xxoxoxAB-1C-1D14函数 y=2x 的自变量 x 的取值范围是（）x1（ A） x 2（ B） x<2（C） x> - 2且 x1（D） x2 且 x 115把抛物线 y=3x 2 先向上平移 2 个单位，再向右平移3 个单位，所得抛物线的解析式是（）（ A） =3（ x+3） 2-2（B） =3（ x+2） 2+2（ C） =3（ x-3 ） 2 -2（ D） =3（ x-3 ） 2+216已知抛物线 =x

32、2+2mx+m-7 与 x 轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于 x 的方程 1 x2 +（ m+1）x+m2+5=04的根的情况是（）（ A）有两个正根（ B）有两个负数根（ C）有一正根和一个负根（ D）无实根优秀教案欢迎下载17函数 y= - x的图象与图象y=x+1 的交点在（）（ A）第一象限（ B）第二象限（ C）第三象限（D）第四象限18如果以 y 轴为对称轴的抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，如图，则代数式 b+c-a与 0 的关系（）（ A） b+c-a=0（ B） b+c-a>0（ C） b+c-a<0 （ D）不能确定19已知：二直线3和 y=x - 2

33、 ，它们与 y 轴所围成的三角形的面积为（y= -x +65（A） 6（B）10（C）20（D）12yOx）20某学生从家里去学校，开始时匀速跑步前进，跑累了后，再匀速步行余下的路程。下图所示图中，横轴表示该生从家里出发的时间t ，纵轴表示离学校的路程s，则路程s 与时间t 之间的函数关系的图象大致是（）ssssotototoDtABC三解答题21已知抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）与 x 轴的两交点的横坐标分别是-1 和 3，与 y 轴交点的纵坐标是- 3；2（ 1）确定抛物线的解析式；（ 2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。22、如图抛物线与直线yk ( x4) 都经过