高等数学平面及其方程课件

1、高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程1第五节第五节 平面及其方程平面及其方程 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角 第七七章 高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程2 平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本节和下节我们将节和下节我们将以向量作为工具以向量作为工具讨论平面和直线讨论平面和直线的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、线线关系。线线关系。 确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析确定一个平面可以有多种不同的方式，但在

2、解析几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此。将会看到许多其它条件都可转化为此。这里先介绍平面的点法式方程：这里先介绍平面的点法式方程：高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程3xyzo0mm 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平一平面，这向量就叫做该平面的面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,cban ),(0000zyxm设平面上

3、的任一点为设平面上的任一点为),(zyxmnmm 0必有必有00 nmm一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程n高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程4,0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa平面的点法式方程平面的点法式方程其中法向量其中法向量,cban 已知点已知点).,(000zyx若取平面的另一法向量若取平面的另一法向量m此时由于此时由于nm/ cbanm , 平面方程为平面方程为0)()()(000 zzcyybxxa 0)()()(000 zzcyybxxa 平面上的点都满足上方程，不在平面上平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程

4、称为平面的方的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形程，平面称为方程的图形高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程5例例 1 1 求求过过三三点点)4 , 1, 2( a、)2, 3 , 1( b和和)3 , 2 , 0(c的的平平面面方方程程. 解解6, 4, 3 ab1, 3, 2 ac取取acabn ,1, 9,14 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程6一般地一般地过不共线的三点过不共线的三点),(1111zyxm),(2222zyxm),(3333zyxm的平

5、面的法向量的平面的法向量3121mmmmn 131313121212zzyyxxzzyyxxkji 平面方程为平面方程为0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx三点式方程三点式方程高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程7特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的此式称为平面的截距式方程截距式方程. . ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(crbqap1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 pozyxrq分析:利用三点式 按第一行展开得 即0axyzab0a0c高等数学

6、平面及其方程高等数学平面及其方程8例例 2 2 求求过过点点)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程9由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0 dczbyax平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,cban 二、平

7、面的一般方程二、平面的一般方程高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程10平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( d平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( a , 0, 0dd平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程11例例 3 3 设设平平面面过过原原点点及及点点)2, 3, 6( ，且且与与平平面面824 zyx垂垂直直，求求此

8、此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 dczbyax由平面过原点知由平面过原点知, 0 d由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 cba,2 , 1, 4 n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程12设平面为设平面为, 0 dczbyax将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解zyx,)0 , 0 ,(ap)0 , 0(bq), 0 , 0(cr0 a0 b0 c则平面与则平面与三轴分别交于三轴分别交于、（其中（其中，） 高等数学

9、平面及其方程高等数学平面及其方程13,ada ,bdb ,cdc 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴上截距轴上截距高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程14例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程. 设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 v, 12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）

10、解解高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程15,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程16例例6求过点求过点)3 , 0 , 1(),2 , 1, 1(21 mm且平行于且平行于z 轴的平面方程轴的平面方程.解一解一用点法式用点法式设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为n则则knmmn ,21kjimm 221100112 kjinji2 由点法式得，所求平面的方程为由点法式得

11、，所求平面的方程为0)1(2)1( yx即即012 yx高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程17解二解二 用一般式用一般式因平面平行于因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为轴，故可设平面方程为0 dbyax21,mm在平面上在平面上0 dba0 da解得解得dbda2, 所求平面方程为所求平面方程为02 ddydx即即012 yx由以上几例可见，求平面方程的基本思路由以上几例可见，求平面方程的基本思路和基本步骤和基本步骤：两定两定定点，定向定点，定向高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程18定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向

12、量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa,1111cban ,2222cban 三、两平面的夹角三、两平面的夹角高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程19按照两向量夹角余弦公式按照两向量夹角余弦公式, 可以得出：可以得出：222222212121212121|coscbacbaccbbaa 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa 高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程20例例7 7 研究以下各组里两平面的位置关系

13、：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos 高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程21)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm两平面平行两平面平行两平面

14、重合两平面重合.高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程22例例8一平面过点一平面过点)1, 3 , 0(),1 , 1, 1(21 mm且垂直于且垂直于平面平面01 zyx求其方程。求其方程。解解设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为 cban, 24 , 121 mm在所求平面上在所求平面上21mmn 024 cba又所求平面与已知平面垂直又所求平面与已知平面垂直0 cba解得解得babc2,3 代入点法式方程并整理得代入点法式方程并整理得0332 zyx高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程23例例 9 9 设设),(0000zyxp是是平平面面byax 0 dcz 外外一一点点，求

15、求0p到到平平面面的的距距离离. ),(1111zyxp|pr|01ppjdn 1pnn0p 00101prnppppjn ,10101001zzyyxxpp 解解四、点到平面距离公式四、点到平面距离公式高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程24 2222222220,cbaccbabcbaan00101prnppppjn 222102221022210)()()(cbazzccbayybcbaxxa ,)(222111000cbaczbyaxczbyax 高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程250111 dczbyax)(1 p 01prppjn,222000cbadczbyax 000222|.axbyczddabc 点到直线的距离公式高等数学平面及其方程高等数学平面及其方程26xyzo0m例例10.解解: 设球心为设球心为求内切于平面求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面与三个坐标面所所构成四面体的球面方程构成四面体的球面方程. .则它位于第一卦限则它位于第一卦限, ,且且2220001111zyx00331xx , 1000zyxrzyx000因此所求球面方程为因此所求球面方程为000zyx633331, ),(