工程力学第13章应力状态分析和强度理论

1、第第13章章 应力状态分析应力状态分析和强度理论和强度理论13.1 13.1 应力状态的概念应力状态的概念af轴向拉伸杆件轴向拉伸杆件fffpxnfp)2sin(2cos2斜截面应力：斜截面应力：问题问题1 1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；同一点处不同方位截面上的应力不相同；横截面应力：横截面应力：梁弯曲的强度条件：梁弯曲的强度条件： .,*maxmaxmaxmaxbisfwmzszzzfffl)(b问题问题2 2 b b点处应力该如何校核？点处应力该如何校核？bb 有必要研究有必要研究一点的应力状态。一点的应力状态。 过一点不同方向面上应力的过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点

2、的集合，称之为这一点的应力状应力状态态。研究应力状态的目的研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。建立适当的强度条件。 x y z xy yx yz zy zx xz三个方向的尺寸均为无穷小；三个方向的尺寸均为无穷小；每个面上应力都是均匀的；每个面上应力都是均匀的；在单元体内相互平行的截面上应力都在单元体内相互平行的截面上应力都是相同的。是相同的。aaffa a 1 1、主平面与主应力：、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主平面

3、：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。主应力：作用于主平面上的正应力。xxyyxy主应力排列规定：按代数值由大到小主应力排列规定：按代数值由大到小。321 过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力3010503010;30;10;50321;30; 0;10321a、单向应力状态、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态都等于零的应力状态。b、二向应力状态、二向应力状态：有两个主应力不等于零有两个主应力不等于零 ，另一个主应力，另一个主应力 等于零的应力状态。

4、等于零的应力状态。c、三向应力状态、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。三向主应力都不等于零的应力状态。 2 2、应力状态的分类、应力状态的分类平面应力状态平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态：复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态空间应力状态：三向应力状态三向应力状态简单应力状态：简单应力状态：单向应力状态。单向应力状态。纯剪切应力状态纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力单元体上只存在剪应力无正应力。yxz x y z xy yx yz zy zx xzxyx

5、y yx xyxyxxy yx xyfpl/2l/2s 截面截面5432154321s截面截面4plfmz 2pf5432154321s 截面截面4plfmz 2pf1x12 2x223313.2 13.2 平面应力状态分析平面应力状态分析 解析法解析法等价等价xxxyyyxyoxyozxyxyxy空间问题简化空间问题简化为平面问题为平面问题xyxyxyxyon- - 逆时针转为正。逆时针转为正。设：斜截面面积为设：斜截面面积为a a，由分离体平衡得：由分离体平衡得：;0 fndaxyxyxyacbtnxxyxyacbsin:cos:daacdaabdabc单元体各面面积单元体各面面积cos)

6、cos(daxsin)cos( daxsin)sin(day0cos)sin(day2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx由切应力互等定理和三角变换，可得：由切应力互等定理和三角变换，可得：tnxxyxyacb0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(, 0dadadadadafyyxxt符号规定：符号规定：1 )1 )“ ”正负号同正负号同“ ”； 2)2) “ “ ”正负号同正负号同“ ” ； 3)3) “ “a”为斜面的外法线与为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。为负。注意：用公式计算时

7、代入相应的正负号。注意：用公式计算时代入相应的正负号。, 00dd00即yxxytg220主平面的方位主平面的方位)90;(00002sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(00202cos2sin200 xyyxdd22minmax)2(2xyyxyx主应力的大小主应力的大小讨论：讨论：yx0901)、2)、 的极值的极值 主应力以及主平面方位主应力以及主平面方位 可以确定出两个相互垂直可以确定出两个相互垂直的平面的平面主平面主平面，分别为最大分别为最大正应力和最小正应力所在平面。正应力和最小正应力所在平面。3)3)、 切应力切应力 的极值及所在截面的极值及所在截

8、面,2cos2sin2xyyxxyyx22tan1最大切应力最大切应力 所在的位置所在的位置22minmax)2(xyyxxy 面内的最大切应力面内的最大切应力01dd令令)90;(011112tan2tan10)45(001由由yxxy22tan0主平面的位置主平面的位置)90;(0000 xyyx22tan1最大切应力最大切应力 所在的位置所在的位置)90;(0111将将 与与 画在原单元体上。画在原单元体上。maxminmax,00145xyyxmaxminminmax0maxmin例例1：如图所示单元体，求如图所示单元体，求 斜面的应力及主应力、主平面。斜面的应力及主应力、主平面。（单

9、位：mpa）300405060解：解：1 1、求斜面的应力、求斜面的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)(3 .58)60sin()50()60cos(260402604000mpa)( 3 .18)60cos()50()60sin(2604000mpa30,50,60,40 xyx5040602 2、求主应力、主平面、求主应力、主平面yxxytg22022minmax)2(2xyyxyx)(7 .60)(7 .80)50()26040(2604022mpampa16040)50( 2005 .67)(7 .60, 0),(7 .80321mpampa主应力主应力：

10、主平面位置主平面位置：31yxxx013.3 13.3 三向应力状态三向应力状态 空间应力状态：三个主应力均不为零的应力状态空间应力状态：三个主应力均不为零的应力状态 1 2 3 z x y x y y x y x z三向应力状态特例的一般情形三向应力状态特例的一般情形32i1(1)(1)求平行于求平行于1的方向面的应力的方向面的应力 、 ,其上之应力与其上之应力与1 无关无关. .ii1 32(2)(2)求平行于求平行于2的方向面的应力的方向面的应力、 ,其上之应力与其上之应力与2 无关无关. .iii213(3)(3)求平行于求平行于3的方向面的应力的方向面的应力 、 ,其上之应力与其上之

11、应力与3 无关无关. .(4)(4)一点处任意斜截面上的应一点处任意斜截面上的应力力n 、n ,其上之应力与其上之应力与1 、2 、3都有关都有关. . 1 2 3 在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力, ,即：即：221232 231 231max一点处最大剪应力13.4 13.4 广义胡克定律广义胡克定律xexxexxy-泊松比泊松比yx一、单向应力状态：一、单向应力状态：二、三向应力状态的广义胡克定律叠加法二、三向应力状态的广义胡克定律叠加法2311223+231231231231122,11e,12ee13,21e ,22e e23 23

12、12313,31e ,32e e33 2312313211e1111 3121e2222 1231e3333 123,321,321即即.,min3max1(2)当 时，即为二向应力状态：03)(1211e)(1122e)(213e)0(3(3)当 时，即为单向应力状态；0, 032即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。 若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力 时，则单元体不仅有线变形 ，而且有角变形 。其应力-应 变关系为： zyxzxyzyx,zyx,zyxzxy,三、广义胡克定律的一般形式三、广义胡克定律的一般形式: :

13、x y z xy yx yz zy zx xz x y z xy yx yz zy zx xz)(1zyxxe gxyxy )(1xzyye )(1yxzze gyzyz gzxzx 12egxy广义胡克定律的应用广义胡克定律的应用求平面应力状态下任意方向求平面应力状态下任意方向 的正应变：的正应变：901e 9090 xy求出求出 , ,就可求得就可求得 方向的正应变方向的正应变 90,例例2、槽形刚体内放置一边长为槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢正方形钢块，试求钢块的三个主应力。块的三个主应力。f = 8 kn，e = 200 gpa, = 0.3。 yf?,x

14、yyxx,80 mpaafympayx24)(1zyxxe. 0zxyz解：解：1) 1) 研究对象：研究对象：.?, 0zyx2)2)由广义虎克定律：由广义虎克定律：.10yxe.80,24, 0321正方形钢块正方形钢块 某点的应力状态如图所示某点的应力状态如图所示, ,当当x x,y y,z z不变不变,x x增大时增大时, ,关于关于x x值的说法正确的是值的说法正确的是_._.a.a.不变不变b.b.增大增大c.c.减小减小 d.d.无法判定无法判定x x仅与正应力有关，而与切仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大应力无关。所以当切应力增大时，线应变不变。时，线应变不变。a

15、zyxxe1y x z x圆轴扭转破坏分析圆轴扭转破坏分析 材料抗拉能力差，构件沿材料抗拉能力差，构件沿4545斜斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。截面因拉应力而破坏（脆性材料）。 材料抗剪切能力材料抗剪切能力差，构件沿横截面因差，构件沿横截面因切应力而发生破坏切应力而发生破坏(塑塑性材料）；性材料）；2、铸铁试件：、铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的螺旋线断开。的螺旋线断开。1、低碳钢试件：、低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。, 0n, 0t2sin2cos设：设：ef ef 边的面积为边的面积为 da da 则则 xntefbeb 边的面积为边的面积为dacosef 边的面积

16、为边的面积为dasin0sin)sin(cos)cos(dadadasin)cos(dadacos)sin(da0 若材料抗拉压能力差，构件沿若材料抗拉压能力差，构件沿4545斜截面发生破坏（脆性材料）。斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：结论： 若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏( (塑性材料）；塑性材料）；2cos ; 2sin 分析：分析： 45:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max横截面上！横截面上！ 强度理论：强度理论： 13.5 13.5 强度理论强度理论构件在静载荷作用下的两种失效形式：构件在静载荷

17、作用下的两种失效形式： (1)(1) 脆性断裂：脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。脆断等。 (2)(2) 塑性屈服（流动）塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。扭，铸铁压。本章介绍常用的四个经典强度理论本章介绍常用的四个经典强度理论 人们根据

18、大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于种关于破坏原因的假说，破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论（为为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法）因的假设及计算方法） 。 材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值01 构件危险点的最大拉应力构件危险点的

19、最大拉应力1 极限拉应力，由单向拉伸实验测得极限拉应力，由单向拉伸实验测得b 00 nb1强度条件强度条件b1 断裂条件断裂条件 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于最大都是由于最大拉应变（线变形）达到极限值导致的。拉应变（线变形）达到极限值导致的。 01 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0 e/)(3211 eb/0 强度条件强度条件)(321nb断裂条件断裂条件eeb)(1321b)(321即即 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么

20、应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是由于最大切应都是由于最大切应力达到了某一极限值。力达到了某一极限值。0max 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力max 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得0 2/0s 2/ )(31maxs31 屈服条件屈服条件 ss31n强度条件强度条件 实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是由于单元体的最大形状都是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值。改变比能达到一个极限值。0ddvv213232221d)()()(61ev 构件危险点的形状改变比能构件危险点的形状改变比能d20261sdev 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得d屈服条件屈服条件22132322212)()()(s 强度条件强度条件 ss