基于组合Mayr和Cassie电弧模型的电流零前改进的电弧模型

1、基于组合Mayr和Cassie电弧模型的电流零前改进的电弧模型摘要：在本文提出了一个描述电弧行为在电流零前的大电流区域和小电流区域的动态计算模型，模型将电流和电压的波形分成两个区域。通过广义函数的方法获得在电流和电压区域的微分方程，并统一了电流和电压对时间的倒数。电弧模型产生的波形在大电流区域和小电流区域和发表在文献1的实测值取得了很好的一致性，需要进一步对模型计算的理论数据和其它试验数据进行比较，以确定该模型是否具备任何功能的可预测性功能。关键词：电弧模型； Mayr和Cassie型微分方程；断路器；电弧建模1 引言高压断路器的电流开断性能是多年的一个感兴趣话题，已经有大量的关于断路器测试和

2、建模的科研成果18。电流的开断和电弧的物理现象密切相关，在断路器的开断期间，电极间的间隙从从导电等离子体迅速变化为绝缘气体。在这极短时间内电弧的性能取决于等离子体柱能量的平衡。成功的断路器开断，必须能够短时间内在电流零点附近开断该电流。为了评估断路器对电流的开断性能，一个试验程序是必需的，试验过程中可以仔细研究电弧的动态行为。基于试验过程中对电弧动态行为的研究，几种电弧模型已经被提出，大多数这些模型都是在关注试验数据和模型结果的一致性，这些电弧模型提供了断路器在不同条件下的更多有用的信息，文献3、4给出了总体的描述。实际上，黑箱建模是常用来描述电流开断过程中电弧和电网的交互作用，黑箱模型是根据

3、断路器试验时电流和电压的变化过程，结合给定的微分方程来推导出用来研究电弧动态行为的电弧模型4。大多数已经取得的黑箱模型研究成果都是在Mayr和Cassie电弧模型的基础上进行的1、2，Mayr和Cassie电弧模型分别在大电流区域和小电流区域定性描述了电弧。通过合理的选择模型的参数来达到模型结论和试验数据的一致性，这些参数包括时间常数和散热能力常数，它们通常都是电弧电流和电弧电压的函数 47。自从Mayr和Cassie电弧模型建立以来，已经提出了几种建立电弧模型的方法。一些学者通过组合Mayr和Cassie电弧模型，以此来研究电弧在大范围内电流的动态过程6。最近，通过散热能力常数和输入电功率的

4、密切关系，提出了一个新的高压断路器电弧模型5，这个模型在小电流范围内可以准确计算电弧的电流和电压，然而在大电流范围内，一些电压的计算就不准确了。本文的目的是建立一个在大电流区域和小电流区域描述电弧动态行为的电弧模型，与此同时，提出了通用的电弧模型建立方法，这个方法可以方便根据电流零前的电流和电压变化来建立电弧模型。本文的组织如下，第二部分提出了电弧模型的一般形式；第三部分提出了统一的电弧模型建立理论；第四部分提出了一些电弧模型的结论，并进行了分析；第四部分提出了结论和建议。2 电弧模型的一般形式大部分发表的电弧模型研究成果都是一阶常微分方程的形式，通常有以下形式2、 4、 5： 式中，g、u、

5、i分别为电弧的电导，电压和电流，P（u，i）、（u，i）分别为散热能力常数和时间常数，这些模型参数计算方法可以参考文献4。然而，在一些情况下电弧模型的形式并非如上。例如，Rieder and Urbanek所建立的电弧模型，是通过考虑电流零点高电场强度对电弧等离子体的不平衡影响，该模型的方程式如下所示：在一些文献中，很多复杂的黑箱模型的建立是通过考虑不同的电弧特性或者组合已有的电弧模型4。为了方便分析，本文所提出的电弧模型是通过如下所述的方程获得：式中，(u,i)， F(u,i)在每个电弧模型所表达的意思都各不相同，在Mayr和Cassie电弧模型中，这些函数如下所示：式（4）可以直接带入式（

6、3）中进行验证。另一方面，在Rieder and Urbanek的电弧模型中，(u,i)， F(u,i) 函数如下所示：本文所提出的一般形式的电弧模型，提供了分析电弧动态行为的一般分析框架。3 改进的电弧模型电弧模型的建立一定要满足通用的方程（3），方程式中的函数(u,i)， F(u,i)通过推导得出。A 电弧模型的背景 最近Schavemaker等人在文献5中提出了一个Mayr电弧模型，是基于电流零点的试验所建立。电弧模型在大电流区域和小电流区域的方程如下所示：式中，Po、P1是和散热能力相关的参数，是时间常数。在这个特殊的表达式中，函数(u,i)和在Mayr电弧模型所表达的意义一样，函数F

7、(u,i) 如下所示5：图1中给出了245 kV/50kA/50 Hz的单相SF6断路器电流和电压试验测量数据，用于验证一个正常的开断5，图中还给出了Mayr电弧模型的计算结果。另一方面，图2中显示了同样的电弧模型在复燃的情况下的测量数据和理论计算结果。从图1和图2中可以明显得出，Mayr电弧模型能够在小电流区域合理的再现电弧的电流和电压。图1 正常开断时电流和电压的试验和理论计算数据图2 复燃时电流和电压的试验和理论计算数据在大电流区域，Mayr电弧模型就不能够像在小电流区域那样的准确。在图1中，在电压高压600V，电流在1.6kA时差别特别明显。另一个重要的现象是，电压突然降到大约425V

8、，电流在1kA时，这个现象在文献4中所述。因此，需要建立一个数学模型用来描述大电流区域和小电流区域的电弧动态模型，所建的模型必须能够准确再现电压降到电流在1 kA时。B 电弧模型的发展从图1中可以明显得出，当电流大于1kA时，电弧电流和电压近似线性关系。因此，当电压从1. 75kV降到ucr=1.6kV，电流从1. 75kA降到icr=1kA，这个过程可以用一阶微分方程描述为：式中，方程式（7）右边的第二部分在暂态点附近电压u=ucr，电流i=icr时一定要非常的小。在电流i>icr，E0=ucr，以及c非常大，这时方程式（7）的最后项在暂态点时可以忽略，可通过考虑Cassie模型来表达

9、。因此，两个方程已经可以在大电流区域和小电流区域描述电弧的动态行为，下一步通过修改这些方程来获得电压降在电流i=icr。数学上，这个方程可以表示为：式中u=425V，对于这个特殊的情况，(i-icr)是狄拉克函数9。最后，(6)(8)组合成一个通用的模型，函数(u,i)， F(u,i)可以定义为：上式可以用赫维赛德函数方程(x)表达如下：式中：方程式（9）中，在暂态点缺乏定义，可能导致收敛性问题。另一方面，方程式（12）中给出的通用函数不能直接用来进行电流的暂态仿真。因此，必须用一个光滑的函数来替代，该函数的表达式为：这个函数相似于著名的Fermi-Dirac分布函数，如方程式式（14）所示：

10、式中参数一定要选择的非常小，以便能够使电弧电压在暂态点i=icr有快速的跌落速度。两个方程中T(i-icr)的参数=0.2icr（曲线1），=0.4icr（曲线2），及函数如图3所示。图3 赫维赛德分布函数，x=i/icr从式（9）和式（14），可以通过T(i-icr)得到D(i-icr)的表达式如下所示：式（15）中一定要满足下述条件：最后，下述在电流零点的通用电弧组合模型可以表达为：式中：这个模型有四个附加的参数ucr，icr，u，这些参数可以直接在图1和图2中获得。4 数值分析与讨论 本部分对前几节中提出的电弧模型进行进一步验证，图5中呈现的电压、电流测量值用于验证使用，各种仿真模型所需

11、要的17方程条件值均用已开发出的计算机程序解决。假设电弧电流线性衰减，即，di/dt为常数。 图4和图5显示了理论计算和试验测量的电压、电流曲线，从图1中可以直接得到模拟参数的大小：i0=1600A，u0=1731V，icr=1010A，ucr=1600V，di/dt=-20us，u=450V，另一方面，在这次仿真中以下电弧参数也可以考虑：Tm=0.27us，Po=15917w, 大小的均值为4A,P1=9.43，此值从实验中i=icr=1600A，du/dt微分值大小而得到。图5中的纺针值如下：i0=1615A，u0=1240V，icr=1110A，ucr=1569V，di/dt=-20.1

12、875Aus，u=420V， Tm0=0.57us，Po=24281w, P1=0.9942w, = 8A。必须牢记，以上两种计算模型结果和仿真参数只对相应的参数有效，不能用于其它设计、测试中的电流、电压条件。 比较图4、图5中测量和理论计算值可以发现：已采用的电弧模型有能力复现在大电流区域和小电流区域的测量值，应该提到的是：已开发的这种电弧模型方法可以延伸应用与不同电流、电压参数的典型断路器开断实验中。例如：费米迪拉克像函数用来仿真电压等级参数调整时引起的电压多次下降和上升。这个意义上，这种电弧模型研究方法可以推广。图4 正常开断时电流和电压的试验和理论计算数据图5 复燃时电流和电压的试验和

13、理论计算数据图6、图7显示了与图4、图5分别对应的理论计算冷却性能，两中情况中，除了icr附近冷却能力时间依赖性降低外外，其余部分冷却能力时间依赖性是线性的，此冷却能力时间依赖性与已发布文献中测量结果是一致的，这一结论是参考文献5推荐的电弧模型的基础。这种现象可以用电弧产生的热学能量不会消失而只是作为内部物理过程的能量源事实来解释，这也是电弧模型研究中外化整合的。 为了验证目的，图8和图9数据表明了dlng/dt性能除在i=icr点附近外，这些参数轨迹很平滑，而在该点周围，dlng/dt曲线值有突然的明显增加和减少，这种性能与过渡点电弧电压下降有关系，正如参考文献5测量值所示。图6正常开断时冷

14、却能力对时间的依耐性图7 重燃时冷却能力对时间的依耐性图8 正常开断时dlng/dt计算数据曲线图9 重燃时时dlng/dt计算数据曲线5 结论已经提出了在大电流区域和小电流区域描述电弧动态行为的计算机模型，和试验结果的比较在文献1中已经给出，并且电弧模型的结果显示出高度的一致性在电流零点前的大电流区域和小电流区域。可是，需要不同的断路器，在不同的电流和电压的条件下，通过与试验数据的比较来确定建立的电弧模型是否具有可预测性功能。用于电弧模型建立的方法可以有效的应用在不同模式的电流和电压波形上，断路器的试验测试是非常典型的。在这个意义上说，所提出的方法是相当普遍的。例如，为了精确得到得到高畸的变波，电流和电压测量可以被分为几个阶段，在这些阶段本文提出的技术可以独立的应用。总之，测量和仿真结果表明散热能力的性能是线性的。然而，在暂态点附近的区域，i=icr，散热能力下降的非常明显，这或许可以解释一些内部的物理过程，例如相位