2021届江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学高三上学期期中联考数学试题

1、南京市三校2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1. 设集合 M =1, 3), N=(2, 5,则 A/n/V=()A. 1, 5B. (2, 3)C. 1, 2)D. (3

2、, 52i2. 已知i是虚数单位，设复数= 2 + K中g bWR,则a+b的值为()7711A. 5B. -5C. 5D. -53. 从5爼同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方 法共有()A 20 种B. 50 种C. 80 种D. 100 种4. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日 脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”你的计算结果是()A.80 里B.86 里C.9O 里D.96 里5. 若正数"是一个不等于1的常数，则函数y=log与函数y=(x>0)在同一个坐

3、标系中的图象可6. 设 a=032, b=2l°6 c=logo.32.1, J=log2,i0.3t 则 e » c, d 的大小关系为（）A a>b>c>dB cl>c>b>aC b>a>c>dD b>a>cl>c7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：工+尸=9及圆C内的一点P(l, 2),圆C的过点P的直 径为MN,若线段是圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则(兀一前)朋的值为()A. 8B. 16C. 4D. 438. 设心)是泄义在R上的函数，g(x)=/U+l).若函数g(x)满足下列条件

4、：g(x)是偶函数：g(x)在区间0, +8)上是增函数：g(x)有一个零点为2,则不等式(*+1爪x)>0的解集是()A. (3, 4-CO)B. (1, +8)C. ( 8, 1)U(1, 4-oo)D. (8, 1)U(3, +8)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy中，为了使方程扌+町22=0表示准线垂直于x轴的圆锥曲线，实数加 的取值范围可以是()A(1, +8)B(8, 0)C(8, 4-00)D(0, +8)It10. 若将函数y=As

5、in(cox+<p)的图象上所有的点向右平移亍个单位，再把得到的图象上各点的横坐标2 2兀变为原来的3倍(纵坐标不变)，最后得到函数y=sin(3.r+y)的图象，则实数卩的值可能是()4兀2n2n4nA可B可C一了D一可11. 设“>0, b>0,且“+2b=4,则下列结论正确的是()1 1 一 2 1A.的最小值为返B. 7+了的最小值为2129b aC7b的最小值为&D 冲+用2112. 设常数t/GR, ”WN，对于二项式(1+(心)"的展开式，下列结论中，正确的是()1A若"V7,则各项系数随着项数增加而减小 B.若各项系数随着项数增加而

6、增大，则t/>,/C.若“=一2, ”=10,则第7项的系数最大 D.若“=一血，“=7,则所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平而直角坐标系xOy中，过抛物线C： y2=/m-的焦点F作斜率为1的直线，与抛物线C交于A，B两点.若弦AB的长为6,则实数加的值为14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约左年利率为5%,按复利讣算(即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元口开始，连续三年都是在元口还款，则每次的还款额是元.（四舍五入，精确到整数）无3 x5 a-7心-

7、115. 数学家研究发现，对于任意的xGR, sinxr矛+方+（1）八两二帀+（底2）,称为正弦函数的泰勒展开式.在精度要求不髙的情况下.对于给定的实数X,可以用这个展开式来求Si】"的近似值.如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直=2%则该气球的髙BC约为.米.（精确到1米）平而内，某人测得气球中心B的仰角ZBAC=30S气球的视角。16.如图所示，多而体ABCDEFGH中对角而CDEF是边长为6AB些DC、HGDE.且AB,到平而CDEF的距离都是3体的体积为.四、解答题：本题共6小题；共70分将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步

8、骤.17（本小题满分10分）设函数yU）=4V5cos“一4sinxcosx+l（1）求.ZU）的最小正周期和值域:（2）在锐角AABC中，设角A, B. C的对边长分别为b, c.若朋）=1, “=1,求 ABC周 长的取值范围.11& （本小题满分12分）阅读本题后而有待完善的问题，在下列三个关系如,=空血+1,如“= “”+2,S“=加”一 1中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的 处,使问题完整，并 解答你构造的问题.（如果选择多个关系并分别作答，在不岀现逻辑混乱的情况下，按照第一 个解答给分）设数列"“的前"项和为S” 5 = 1,对任意的“GN，,都有

9、 :等比数列血中，对任意 的"GN，都有加0, 2亦2=亦+3几，且/7i = l,问：是否存在kf,使得：对任意的nGN*, 都有"加W依几？若存在，试求出R的值：若不存在，试说明理由.pB 第19题）.1 u.19. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底而ABCD是边 为1的正方形，PA丄底而ABCD,点M是侧棱PC的中点，AM丄平而PBD.（1）求PA的长;求棱PC与平而AMD所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）在20人身上试验某种血淸对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血淸的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所

10、示.未感冒感冒使用血淸173未使用血淸146（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因.记这4人中使用血 淸的人数为X,试写岀X的分布律；（2）是否有把握得出"使用该种血淸能预防感冒”的结论？请说明理由.附：对于两个研究对象I （有两类取值：类A，类3）和II （有两类取值：类1,类2）统计数据的 一个2X2列联表：II类1类2I类Aah类B（cln(adbc)2有X2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+dy 其中 n=a+b+c+d.临界值表(部分)为PQk)0.500.400.2505000.050.0250.0100.0050.001k0.4450.

11、7081.3232.0722.7063.8415.0246. 6357.87910. 82821. （本小题满分12分）设M是左义在R上且满足下列条件的函数7U）构成的集合： 方程Av）-a=O有实数解： 函数心）的导数广（力满足0V.厂V1.x siiu试判断函数M=2+是否集合M的元素，并说明理由：（2）若集合M中的元素夬x）具有下面的性质：对于任意的区间加，川，都存在则丘，川，使得 等式知）一戏加）=（“一阴厂（xo）成立，证明：方程.心）一x=0有唯一实数解.（3）设q是方程.心）一尸0的实数解，求证：对于函数心）任意的Q, X3WR，当必一MV1,咕-V1K 1 时，有!几¥

12、;3）/（卫）1<222. （本小题满分12分）在平而直角坐标系xOy中，已知椭圆E与双曲线C：話一醫=1有共同的 中心和准线，且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为4迈.（1）求椭圆£的方程；（2）若过点P（0,加）存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数川的取值范闹.南京市三校2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答

13、题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1. 设集合 M =1, 3), N=(2, 5,则 MCIN=(B)A1, 5B(2, 3)Ch 2)D(3, 5(D)2已知i是虚数单位，设复数+=可其中.则W的值为D.3从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名.则不同的安排方 法共有(B)A. 20 种B. 50 种C. 80 种D. 100 种4. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日 脚痛减一

14、半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是 (D)A.80 里B.86 里C.90 里D.96 里5. 若正数“是一个不等于1的常数，则函数y=logar与函数y=fCv>0)在同一个坐标系中的图象可6. 设 d=0.321, b=2A° c=logo.32.1, J=logii0.3,则 g k g 的大小关系为(C)A a>b>c>dB d>c>h>aC h>a>c>dD h>a>d>c7. 在平而直角坐标系xOy中，已知圆C：工+尸=9及圆C内的一点P(l, 2),圆C的过点

15、P的直 径为MN,若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则(詡一丽)财的值为(B)A. 8B16C4D4羽8. 设7U)是左义在R上的函数，g(x)=/U+l)若函数g满足下列条件：g(x)是偶函数；g(x)在区间0, +8)上是增函数；g(x)有一个零点为2.则不等式(x+l)Ax)>0的解集是(A)A. (3, 4-°°)B(1, +8)C. (一8, -1)U(1, +oo)D(一8, 一 1)U(3, 4-co)二. 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得

16、3分.9. 在平而直角坐标系xOy中，为了使方程x2+,-2=0表示准线垂直于x轴的圆锥曲线，实数加 的取值范围可以是(AB)A(1, +8)B(8, 0)C(8, 4-00)D(0, +8)10. 若将函数y=Asi】(or+0)的图象上所有的点向右平移扌个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，最后得到函数y = sin(|r+y)的图象，则实数卩的值可能是(ACB.2nTD.+ 2/9 = 4,则下列结论正确的是(CDB二+：的最小值为2a bD.11 设 > 0 ,/? > 0 ,且)A. £+£的最小值为述C.丄+；的最小值为；

17、a b412设常数nGN对于二项式(1+冷)”的展开式，下列结论中，正确的是(BCD)A.若a<则各项系数随着项数增加而减小B.若各项系数随着项数增加而增大，则C.若“=一2, n=10,则第7项的系数最大 D.若“=一迈，”=7,则所有奇数项系数和为239 三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上13. 在平而直角坐标系xOy中，过抛物线C： y2=mx的焦点F作斜率为1的直线，与抛物线C交于A, B两点.若弦的长为6,则实数加的值为 ±3.14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约左年利率为5%,按复利计算(即

18、本年利息计入次年本金生息)，借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦 还款，则每次的还款额是一367209 元.(四舍五入，精确到整数)15数学家研究发现，对于任意的xWR, sinx=x寸+寸一亓（l）n 1 SN*）,"（第15题）称为正弦函数的泰勒展开式.在精度要求不高的情况下，对 于给定的实数X,可以用这个展开式来求sinx的近似值.如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平而内，某人测得气球中心B的仰角ZBAC=30”，气球的视角a=2%则该气球的髙BC约为 86 米.（精确到1米）16. 如图所示，多面体ABCDEFGH中对角Hn CDEF是边

19、长为6的正方形，AB世DC、HG翌DE、且AB, GH到平而CDEF的距离都是3,则该多而D体的体积为108四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 10 分）设函数y（x）=4/3cos2x4siarcos.r4-1.（1）求./U）的最小正周期和值域：（2）在锐角ZMBC中，设角A, B, C的对边长分别为b, c.若朋）=1, a=l,求 ABC周 长的取值范围.解：（1）因为夬力=管>< 匕二泮一 2sin2+l=2V3cos2x-2sin2r+2V3+1=4cos(2x+?)+2<

20、;5+ 1 2 分所以./U)的最小正周期为T吉=n.3分因为一 1 Wcos(2x+£)W1,所以一 3+2V5W4cos(2t+?)+2羽+ 1W5 + 2 羽.所以，函数./U）的值域为区间一3+2羽，5 + 2羽.4分由 恥）=1,得 cos（2A+?）=-導.因为A为锐角，所以所以"+壬=込即人=£ 5分oo oo o5因为 A+B+C=7t.所以 C=y-B.由正弦定理孟=岛=佥，得b=sinB, c=sinC=竽sinsin-B),所以 “+b+c= 1 H-=sinB+sin(y-B) = l nB+平cosB+*sinB)=1+织(fsinB+窖

21、cosB)=l+2sin(B+£) 7 分322o因为/MBC为锐角三角形，所以0<BV歩OVC<%即 c解得£<3<彳 8分2兀7TO20<”号，所以彳<+?<¥，所以 ¥<sin（B+自W1,即羽+lVl+2sin（B+自W3.所以/XABC周长的取值范围为区间（W+1, 3. 10分18. （本小题满分12分）阅读本题后而有待完善的问题，在下列三个关系如产切”+1,如尸 “”+2,必=加”一1中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的 处,使问题完整，并 解答你构造的问题.（如果选择多个关系并分别作答，

22、在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个 解答给分）设数列"“的前"项和为S” 5 = 1,对任意的”GN，都有 :等比数列&中，对任意 的“GN*,都有九>0, 2九+2=九“+3几，且5 = 1,问：是否存在刖代,使得：对任意的”WN， 都有 讪0叽?若存在，试求出k的值：若不存在，试说明理由.解 设等比数列九的公比为因为对任意的WN,都有2几+2=/m 】+3b“，3所以2=?+3,解得q=-1或牙2分3 因为对任意的都有九>0,所以q>0.从而q=又bi = l,所以加=（J丿 5分显然，对任意的nGN b>Q.所以，存在使得：对任意的h

23、GN都有“”加5九，即爭諸.记豈，nGN下而分别就选择作为条件进行研究.因为对任意的都有“”+1=如+1,即如+L2=*（如一2）.又</ = !即一：2-1H0,所以"” 2H0,从而 “ _2 ？，所以数列山一2是等比数列，公比为*,得血-2=-（旷,即血=2-（旷.8分2"13厂'2/,41-13（2“一1）10分2, r 11 1由莎刁勺。2"2。心，得：“F，当心时，如5,所以，当川=1或2时，°取得最大值，即寻取得最大值.所以对任意的nGN都有护冬缶=#，即gbWub，cinbiaibn,所以存在k=l9 2,使得：对任意的nG

24、N都有anbkakbn. 12分因为对任意的都有血+1=血+2,即血+i如=2,所以数列如是等差数列，公差为2.又如=1, 所以如=1+2(舁一1) =2/j 1.8分所以沪瓷=(2归(I厂0,从而晋=話出由 W1O2心50"易，得：当 “W2 时，Cn- lCn； -'1 /I3 时，Cn. 1C«. 10分所以，当”=3时，G取得最大值，即半取得最大值.所以对任意的nGN都有萨肩 即加3&血所以存在k=3,使得：对任意的nGN*,都有“禺£“血. 12分因为对任意的nGN都有Sn=2an-1,所以S”+i=2如h_1,从而 cin 1 =Snf

25、 1 Sn = 2d,t 1 1 (2dn 1)=2如"2如，即 Uni 1 = 2乂“】=1。9 所以血0, I =2, (hl从而数列“是等比数列，公比为2,得5=2"、8分所以c=(扌厂0,从而詈=扌1,所以 zS 10分所以，当”=1时，G取得最大值，即丰取得最大值.所以对任意的nGN都有护養，即 也5九.所以存在R=l,使得：对任意的nGN都有aggb” 12分19. (本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底而ABCD是边长 为1的正方形，B4丄底而ABCD,点M是侧棱PC的中点，AM丄平而PBD.(1) 求用的长：(2) 求棱PC与平而AMD所成

26、角的正弦值.解 方法一：设PA=a.在四棱锥P-ABCD中，因为底而ABCD是边长为1的正方形，用丄底而ABCD.如图，以A为坐标原点，AB, AD, AP分别为耳,y, z轴建立空间直角坐标系AxyZf 2分 则 A(0, 0, 0), B(l, 0, 0), C(l, 1, 0), D(0, h 0), P(0, 0, a).因为M是侧棱PC的中点，所以M的坐标为(£ £号),所以 AA/=(2»P 4 丽=(_1, 1, 0),丽=(_1(1)因为AM丄平而PBD,即花丄平而PBD,所以兀& BD=Af BP=0.所以 一£+伶=°

27、;'解得6分所以M = l.(2)设平面AMD的法向量为 =(x, y. z)A因为AD=(0, 1> 0), AM=(9 £ii AD=O,y=0,得2 1E+y+z)=o,即陣0.it AM=0,取z=h得x= 1»从而得到平面AMD的一个法向Mn=(h 0t 1).cp?又灵)，所以»汕 CP10分设PC与平而AMD所成角的为0,则sin&=l cos<w, CP>I=.因此，PC与平面AMD所成角的正弦值为誓.方法二：设PA=a.连结AC,交BD于点O.连结PO,与AM交于点G.在四棱锥P-ABCD中, 所以八0=芈.因为

28、底面ABCD是边长为1的正方形，所以AC=BD=g O是AC的中点,因为丄底面ABCD, ACu平而ABCD,所以PA1AC.所以 PC=2+AC2=/2+2, PO=yjPA2+AO2=yja2+. 因为M是侧棱PC的中点，所以AM=PC=P+2.因为AM丄平而PBD, POu平而PBD,所以AMLPO,即AG1OG. 又AM, PO分别是朋C的两条中线，所以G是的重心.所以 AG=|4M=|F+2, OG=”O=打函.在AAOG 中，由 AGOCAO2,得*0+2)+*“2+*)气，12分解得“=1.即PA=i.(2)取侧棱PB的中点N,连结MN, AN.由(1)知，PA=AB,所以AN丄

29、PB.由M是侧棱PC的中点，得MN/BC.因为BC人D,所以MN/AD,即M, N, A, D四点共而. 因为用丄底WiABCD, ADu平而ABCD,所以PA1AD.又在正方形ABCD中，有AD1AB,而ABu平面PAB.,刊u平而B4B,且ABCB4=A,所以AD丄平而刊B 又PBu平面刊B,所以AD丄平面PB.因为ANu平而AMD ADc平而AMD, ANQAD=A,所以PB丄平而AMD,即PN丄平面AMD所以ZPMN就是PB与平而AMD所成的角.因为 B4丄底面 ABCD, ABcTlffl ABCD,所以 PA1AB.因为 用=AB=1,所以PB=yi,即PN=¥10分由知

30、PM=#PC=爭.所以 sin ZPMN=誓.因此，PC与平面AMD所成角的正弦值为半.12分20. （本小题满分12分）在20人身上试验某种血淸对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的 人数与另外20划未用血淸的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示.未感冒感冒使用血淸173未使用血淸146（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因.记这4人中使用血 淸的人数为X,试写出X的分布律；（2）有多大的把握得出“使用该种血淸能预防感冒”的结论？你的结论是什么？谙说明理由. 附：对于两个研究对象I （有两类取值：类A，类B）和II （有两类取值：类1,类2）统计数据的

31、一个2X2列联表：II类1 |类2I类Aab类Bdn(ad-bc)2有X2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+dy 其中 n=a+b+c+d.临界值表（部分）为PQk)0.5()0.400.250.15000.050.0250.0100.0050.001k0.4450.7081.3232.0722.7063.8415.0246. 6357.87910. 828解 （1）因为使用血淸的人中感冒的人数为3,未使用血淸的人中感冒的人数为6, 共9人,从这9人中选4人，其中使用血淸的人数为X,则随机变量X的可能值为0, 1. 2, 3 因为p（x=0）=g, P（X=1）=罟，P（X=2）=备，P（

32、X=3）=寺'所以随机变量X的分布列为0123P54210215T412?（2）将题中所给的2X2列联表进行整理，得未感冒应"总数使用血淸17320未使用血清14620总数31940提出假设乩：是否使用该种血清与感冒没有关系.根据Z2 公式，求得r= 20X20X31X91 -2903- 9分因为当局成立时，“才20.708”的概率约为0.40,1-323"的概率约为0.25,所以有60%的耙握认为：是否使用该种血淸与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒”，得到这个结论的耙握 不到 75%.10分由于得到这个结论的把握低于90%,因此，我的结论是：没有充分的证据显

33、示使用该种血淸能 预防感冒，也不能说使用该种血淸不能预防感冒.12分注：（1）槪率错一个扣1分，没有写成分布列（或表）扣1分：（2）结论分两个方而，少一个扣1 分.21. （本小题满分12分）设M是左义在R上且满足下列条件的函数./U）构成的集合： 方程几丫）一x=0有实数解： 函数7U）的导数广CO满足o</w<i.（1）试判断函数.何=?+等是否集合M的元素，并说明理由：（2）若集合M中的元素_/U）具有下面的性质：对于任意的区间加，川，都存在炖丘，川，使得 等式知）一/（加）=（"一成立，证明：方程.心）一尸0有唯一实数解.（3）设Q是方程.心）一尸0的实数解，求证

34、：对于函数7U）任意的X2, X3WR,当必一"IV1,咕 X< 1 时，有!/（兀3） /（也）1<2y cin r解：函数y（x）=2+是集合M中的元素理由如下方程 >lA-）-A-=0,即竽一?=0.Qin x显然x=0是方程芳一0的实数解，因此 方程o有实数解. 2分由于厂（兀）=*+号2 又一lWcosxWl,即扣*+W，所以0<fx）<.x Qin r综上，函数./U）=+誉是集合M中的元素.4分（2）（反证法）由条件知方程夬x） x=0有实数解.5分假设方程.心）一x=0有两个不相等的实数解a, ",不妨设aVR,则./（a）=a

35、,血尸B 由函数7U）的性质知，存在xoGa, B,使得.“）一/（a）=（pa）fg），即a=（fta）f*（xo）. 又由条件知0V.厂（xo）Vl,所以“一a = 0,即a=0,这与a<fi矛盾.因此，方程Ax）-x=0有唯一实数解.8分对任意的 X2，XjWR,当lX2X1I<1» 且 1x3JC1IV 1 时,不妨设尤2 ，则 M 1 <X2 Wx3<A1 + 1 .因为0V.厂（x）Vl,所以7U）在R上是增函数，所以./（X2）WAX3）.10分令 g（x）=/u） X,贝l0（x）=/G） 1V0,所以 g（x）=f（x）-x 是 R 上的减函

36、数，所以 g（X2）2g（X3），即.心2）P2 刃>3）一小,所以 0W/（X3）./（X2）WX3X2 V（M + 1） （X 1） = 2.11 分因此，对任意的X2, X3SR,当氐2-X1IV1,且tes-xiK 1时,有畑）一您）1<2. 12分22. (本小题满分12分)在平而直角坐标系兀Oy中，已知椭圆E与双曲线G吕一臂=1有共同的 3012中心和准线，且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为4返.(1) 求椭圆£的方程；(2) 若过点P(0,加)存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数皿的取值范围.(1)解：因为脚圆E与双曲线C：爲一当=1有共

37、同的中心和准线，所以设椭圆E的方程为必+吕= 3612cr lr(a>b>0)令 c=yla2b2,由题知= j得 a2=3yl3c, b2=3y3cc22 分¥。J12+36由双曲线C的方程磊一召=1得双曲线C的渐近线的方程为y=根据对称性，不妨设椭圆E与渐近线的交点为A(x，>.), B, V2).y2兀 2 _硫+3萌C-C2X消去y,整理得*耳陛 尸伍，初-C所以睡所以AB=yJ（xiX2）2+（yiy2）2=yJ13lvi _刈=9c羽 c24常_c *解得归4®C怦一 llc+8 羽=0,所以椭圆£的方程为手+夕=1 y 08=，-(2)方法一：对于椭圆E： £+£=l(“>b>0),设过点P(0,加)的两条互相垂直的直线中一条的 cr Zr斜率为匕 方程为y=kx+m.2 )1,由严沪"消去整理得 y=kx+m.占+舟F+也竺+笙1=0.k2nr亠A,2mkA.k2 ,