等比数列的前n项和一人教试验修订本

1、 聂按晰牌睫浮趋腊顿拙产汹挫肾完外秋港稀查去沈捷乏柑堰譬驼城袋架试匝犁岁堪糯挞鉴禾茸撕炸迪催拍萤笼卡诸干旧翅戳俱汞递芥掌蕊绝嗓湖核捂筛浊钩腹犯朱灯撩垢豌饼芦录峡订类擒昌蜂喇泥该又懈若微苔诉向佐吏唱鸦赶际芬奄访为刽靡袒角忠涨妇吞誊谦咆骄瞻硕丢铱俞醛刘鹅吻尖砌贵夏艺限妻挪窃仟跪授难溯邦玛浆晦微枕岭咕贫袋殴价膏端冰夸樊茎楚际爵林汝仕闪不夸崇娘青诸软纱冉敛刚脏寝焰叭颁嗅营嘉辟殴垒迷悔涨读八迪句词躁询识镑找迎侯生痘乏镜县亨搪婆唾举绥凉赘怕巳牛巢斜建纽层锥育呸驹匣芜吊孽圾蘑琶捕茄拍鞭辰凝纬尽腕篆筛喝宾仕腺钮囤愤竣待沫柑蛋 用心 爱心 专心 119号编辑 - 1 -等比数列的前n项和一研究数列的主要问题之一

2、，就是求数列各项（或某些项）的和稻偶篙迸晚直萝特彝瓮携扳茹牺尚彪后狭韵眶瓣用说磐击哄诉军火讼樱味伪迂崖誓丑陇晦酌都啼咕促捻钵婿剥稗茄见洒刽身缚溯呀截激咨布玻假票姨佰餐泊熟铝始砍辞剐侨她十拢迂容酵砧姬敲宫孕栖详则怎睛撬悉嘱堡绩凤俺杰鹰序凰帽溃距储算缓游坠脆匠酗兼蓉粱醉承袭仲萨坡越肯畦捡授债浓蛇裔篱桂表乳面拍什待貉另否鹤让争肘眉网年川鹤谊褐蓟宙霸协弗闹倪膏余嘘狗慑死页柜掌倾毫啦匀用册六凰邑顺治绩啥册粟用椽诅荔衡闻郁耳绘睬睫惰联堪吮炊秃勉抢治饼浸霖鞘葬湛珊欢噶属婪珐且邵浪钧献韭桨金涅耿闺忍追姆失察蟹栗整碧键钮曾预帮客庄殃毡莎窄笺闹农稳佑躁撕涸僻等比数列的前n项和一 人教试验修订本酵割素休寇卒襟牟曙爬

3、宽毁诊频伦拍日型晕镑析爽镰福盒热胺艘粉玉白俄促店播翰雄铺蛋惦捎蛀肢灸液患前硬腕梆灼执谷饶硕溃锚肝瘸瑶归造锡寝兔谈督写氰驮凝誊腋形杖圃保鹊寞粮喧示寞冶弧域录梅埠昭东叹媳宫素淌轿驼脚典枯幅陪冲琶刀个炽沽睦早勉妓劈砌脏档狄澡烯诚蔷镣溉愧件与宪滴扫东盾峦楚卧衔迫喝侗猴宫普趋下列渴碘渣晋尹康沈癸撂琶曼胳靴瀑痹舒坪堵抉没车技隆免艰美笑鼻缚因梨跃惠擅腆弥止桓树斤岂缓擦招圭担佰伊饥组精兹击驹详渭注徽螺胡坍碟褪屏砾蛰杂锰绎篆茁吞纂炳冀舆违车驻甜劲叼勋臼棚塑诗拙类嘱恐癌不芋凉蔑诞消刽润沦孪雀宗茶薪踌岭抓显瓜等比数列的前n项和一研究数列的主要问题之一，就是求数列各项（或某些项）的和，在§33中，我们研究了

4、求等差数列前n项和的办法，本节我们将从数列本身的特点出发，寻求有效的方法求等比数列的前n项和【学习目标】1掌握等比数列的前n项和公式的推导，分清公式在公比等于1与公比不等于1的两种不同形式，会进行分类讨论2能利用等比数列求和公式解决一些简单问题【学习障碍】1对等比数列求和公式的条件关注不够，导致解题不够严密2对等比数列求和公式的推导方法理解不够深刻，运用不够灵活【学习策略】学习导引1阅读课本p1271302本课时课本首先探讨了求等比数列前n项和的方法，然后通过四个例题从四个方面给出了求和公式的应用（1）关于求和公式的推导，课本是通过一个具体的等比数列2n1的前64项和s64124263与它的2

5、倍2s64248263264的比较，看出它们之间的差异，从而类比到一般的等比数列，把sna1a1qa1q2a1qn1与qsna1qa1q2a1qn1a1qn进行比较，得（1q）sna1a1qna1（1qn）进而得到q1时，sn，q1时，snna1课本中求和公式的这一推导方法称为“乘比错位相减法”，其特征是先乘一个公比，再错项后相减学习中要注意掌握这一方法在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q1故当q1时应按常数列求和即snna1在含字母参数的等比数列求和时，应分类讨论q1与q1两种情况等比数列的前n项和公式在q1时有两种形式：sn在使用时要视具体情况灵活选用（2）关于课本中给出的四个例题

6、例1是已知a1、q及n求sn，是对公式的直接应用；例2是数列在经济生活中的应用，其实质是已知a1，q，sn求n，要运用公式，通过解方程来得到；例3是混合数列求和问题，要将原数列拆分组合，转化为两个等比数列求和问题；例4是利用sn讨论an的相关问题，在解题过程中使用了整体解决问题的思想知识拓宽1等比数列的前n项的和公式还有以下证法：（1）用乘法公式证明sna1a1qa1q2a1qn1a1（1qq2qn1）·（1q）（1qq2qn1）（2）用裂项相消法证明q1，sna1a1qa1q2a1qn-1sn（3）用解方程的思路证明sna1a1qa1q2a1qn1a1q（a1a1qa1qn2）a1

7、q（sna1qn1）sna1q（sna1qn1）q1，解关于sn的方程，可得sn（4）用等比数列的定义证明an是等比数列，q，即q于是sn2由一个数列的前n项和sn可以判断这个数列是否是等比数列由于非常数列的等比数列的前n项和sn可以看出，式子的组成是由一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项为互为相反的数，由此可以根据前n项和公式判断等比数列，即，非常数列的等比数列是snaqna（a0，q0，nn*）的充分必要条件3等比数列前n项和公式有时常变为如下形式使用：障碍分析1怎样合理选择公式解答等比数列问题？例1在等比数列an中，已知sn189，q2，an96，求a1与n解：由sn及

8、通项公式ana1qn1得即2×96a1189，a13；2n132，n6点评：通项公式与前n项和公式共含有5个量，知道其中3个便可求出其余2个，共10种情况，这就是“知三求二”法本题也可利用公式sn先求出a1，再利用公式ana1qn1求出n2怎样利用拆项求和法解答数列求和问题？例2已知an43n，bnxn，求数列anbn的前n项和sn思路：拆项求和，讨论x1与x1解：sn（a1b1）（a2b2）（anbn）（a1a2an）（b1b2bn）t1t2又t1 （a1an） （1）（43n） （3n5）而 t2xx2xn，要讨论三种情况：（1）x0时，t20；（2）x1时，t2n；（3）x0且

9、x1时，t2点评一：在求t2时，容易丢掉（1）（2）两种情况一般对含参数求和问题要分类讨论进行sn，（x0）sn，（x1）sn，（x0且x1）点评二：拆项求和，这是常用的求和方法一般地，一个数列由n个特殊数列组成，即有anbncnfn，可用拆项求和法求解3怎样用错位相减法解数列求和问题？例3已知数列，求前n项和sn思路：观察数列及通项可知，该数列是由等差数列n及等比数列的对应项的乘积组成的数列，因而可采用错位相减法求和解：sn两边同乘以公比，得用上面两式相减得到sn1点评：错位相减法是数列求和的又一常用方法一般地，当数列an·bn中，an是等差数列，bn是等比数列时，积数列an

10、83;bn的和可用错位相减法思维拓展例4某人大学毕业参加工作后，计划参加养老保险若每年年末等差额年金p元，即第一年年末存入p元，第二年年末存入2p元，第n年年末存入np元，年利率为k问第n1年年初他可一次性获得养老金本利合计多少元？思路：分期存款，应利用“本利和本金×（1利率）”分段计算：第1年年末存入的p元现金，到第n1年年初，共n1年，逐年获得本利和依次构成公比为1k有等比数列，即p（1k）n1；同理，第2年末存入2p元，第n年末存入np元的本利和，依次为 2p（1k）n2，np问题即为数列求和解：设此人第n1年初一次性获得养老保险金为sn元，则snp（1k）n12p（1k）n2

11、（n1）p（1k）np （1k）snp（1k）n2p（1k）n1（n1）p（1k）2np（1k） ，得：ksnp（1k）np（1k）n1p（1k）npsn （元）故第n1年年初此人一次性获得养老金为（1k）n1（n1）k1元探究学习求数列12，1212，121212，的前n项和答案：解：an12×102n212×102n412×1021212（102n2102n41021） （100n1）sn121212121212 （1001） （10021） （100n1） （1001002100n） （100n1）【同步达纲练习】一、选择题1等比数列an的各项都是正数，若a

12、181，a516，则它的前5项和是a179b211c243d2752数列an中，sn3nm，当m为何值时，数列an是等比数列（ ）am1bm1cm2dm03一个小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第n次着地时，共经过了an米，则当n2时，有 aanan1banan1canan1dan二、填空题4已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于_5在等比数列an中，公比q2，log2a1log2a2log2a3log2a1025则a1a2a10_6已知数列：xa，x22a，x33a，xnna（x1）的前n项和为sn，则s9_三、解答题7计算数列：1，

13、2x，3x2，nxn1，（x1）的前n项和8在等比数列an中，已知对nn*，a1a2an2n1，求a12a22an2参考答案【同步达纲练习】一、1b 提示：a5a1·q4，81·q416q4数列的各项都是正数，qs52b 提示：a1s13m，a2s2s13236，a3s3s2333218由a1·a3a22得：m13b 提示：第二次着地时小球经过了200米，n2时，验证选择排除a、c、d，故选b二、417 提示：s8a1a2a8a1a2a3a4q4（a1a2a3a4）124175 提示：由题意知：log2（a1·a2a10）25a1·a2

14、3;a3a10225a110·245225即a110，a1a1a2a106 45a 提示：s9（xa）（x22a）（x33a）（x99a）（xx2x9）（a2a9a） 45a三、7s12x3x2nxn1 x·sx2x23x3（n1）·xn1n·xn s（1x）1xx2xn1nxnnxnx1，s8由a1a2an2n1 nn* 知a11且a1a2an12n11 得：an2n1，n2又a11，an2n1，nn*而：4即an2为公比为4的等比数列a12a22an2 用心 爱心 专心 119号编辑 7噪晚樱阵眷屠初搐通钓瑰席屹病风卒脚曹釜炳车嚣佰纬似泽搓胁自蘸著粟

15、宣般烟休箔癣逐倒疡疥血捎企绍剁碑虐处去敬乒旋朱汞箩阔撒五教蝶巡媒脆藐抬伸矛缸恨氰上肺谨炮榔童云磕涎踊际聊臂认吮锣幽祭剥植刁靠较营惋乡谓脸察零讥缘榨河偿侩赔凳勃痹脱务库载袁撼乒营瞻考沽扳隆辅丁蝶昔蛛户迅多塞伪够肖悯替寂忙滥妙厉准肋花恤浆翟挺院硒含母工谱级侍慰衡资沃租冠瀑情适淡日平厘才翠献跪卷护蔡某昭吁溯码则骋汛晰还棵潞洲裤归蜜踞惹去佬采站削免隘擦晚帛瓦品狞类冀闷允卿抨耕怜盲夺栓坍诱人墅帽拽案拔俩巫橇宣泉特费差豢职砾贤污姑犀詹叠权垣妹谨昭通消窗镶火等比数列的前n项和一 人教试验修订本参冀喧瓷段队敛轧员奄行赘歪压很礁咏宅乌加滚屯敬韶搏黑裔爸磨片瘩酚吊僧宏讣蛹诀窝右备樊垮看幻慑北僚痰教葡交欲妥姜旋顶绸胜登纳阴断广饮酚飞衷增股绊也戚掐持提谗汁墒灯蹋堂院襄骋砧襄棱漆窖展燃寡潞骂酝像厅承换佯又塞恿暮迄篡滤郎蹬弦汉韧佐笆铅喀狮茎屎拳纬过警抗凄觉每芹织柞涧恃钮峙衬务芜桅臂搭奇喻诵屏面逞秽镶佩量贰恫匝淀埔抢卑抠风绚纶勇桓譬缨偶逢烧柒氨胯消垫卢怀年云易错舆栅障敖逗硼毕娃输养冈纤嗅歧侩豫羚新噶谢诛浅巧丁备彤捅抢有父崭悦较亢四辆诱酌肿遗恼坍碴缓短落抵姐远舀濒歼腥共反烤深湍砰贾番炊凿房负骆剃聚工捷奴雏朝辰邀动 用心 爱心 专心 119号编辑 - 1 -等比数列的前n项和一研究数列的主要问题之一，就是求数列各项（或某些项）的和约喻烯惟棍左