概率论与数理统计猴博士

1、概率论第一课无放回类题目例1:盒子中有4红3白共7个球，不用眼瞅，七个球摸起来是一样的，现无放回的摸 4 次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少C?条件一取 p=_条件一总?xiC?条件二取 条件二总C?取C?取总例2:隔壁山头共有11只母猴儿，其中有5只美猴儿、6只丑猴儿，在大黑天看起来是一 样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来 5只，问天亮后，发现有2只美猴儿、3只丑 猴儿的概率是多少条件一取条件二取C? x?'?条件一总-x?'条件二总P =关于C?的计算:有放回类题目例1:盒子中有5红6白共11个球，不用眼瞅，11个球摸起来是一样的，现有放回的摸 5 次，那摸出两个红

2、球三个白球的概率是多少例2:在小弟为我抓回的5只母猴儿中，有2美3丑，每天我都随机挑一只母猴儿来，为 她抓虱子。就这样，过去了 101天，抓了 101次虱子，问这101次中，为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少需要画图的题目例1:已知0<xv1, 0<y<1，求x>y的概率是多少 表现已知条件 表现待求概率的条件 找出重合部分孑?1? P(x>y)=亍=巧例2:已知-1<x<1, - 1<y<1，求x2+y2<1的概率是多少S2P(x2 + y2<1)=s圆=字=4正四、条件概率公式：P(AB)P(B|A)= P(A

3、)解释：事件A:掷一次骰子，朝上点数大于3事件B:掷一次骰子，朝上点数是6P(B|A):掷一次骰子，已知朝上点数大于 3,朝上点数是6的概率P(AB):掷一次骰子，朝上点数是 6的概率P(A):掷一次骰子，朝上点数大于 3的概率 例1:小明概率论考试得80分以上的概率是80%得60分以上的概率是85%已知这次考 试小明概率论没挂，那么小明得 80分以上的概率是多少事件A:小明得60分以上事件B:小明得80分以上P(B|A):小明得60分以上时，小明得80分以上的概率P(AB):小明得80分以上的概率p(b|a)=PAB)= =6P(A) 85% 17例2:某地区今年会发生洪水的概率是 80%今

4、明两年至少有一年会 发生洪水的概率是85%假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水 的概率是多少事件A:今年没有发生洪水事件B:明年发生洪水P(B|A):今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率P(AB):今年没有发生洪水，明年发生洪水的概率P(B|A)=P(AB)=85% - 80% =5% JP(A) = 1- 80% =20% =4五、 全概率公式 公式：A、B等个体均可能发生某事，则 P（发生某事）=P（A出现） P（A发生某事）+P（B出 现） P（B发生某事）例 1：某高速公路上客车中有 20%是高速客车， 80%是普通客车，假设高速客车发生故障的 概率是，普通客车发生故障的概率是

5、。求该高速公路上有客车发生故障的概率。P（ 有客车发生故障 ）=P（高速车出现）P（高速车故障）+P（普通车出现）P（普通车故障）=20%< +80%<例 2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻 狍子的概率都是 50%，猴博士考核通过的概率是 100%，傻狍子考核通过的概率是 1%，那么 抽中的员工通过考核的概率是多少P（ 抽中的员工通过考核 ）=P（猴博士出现）P（猴博士通过）+P（傻狍子出现）P（傻狍子通过）=50%X 100% +50%X 1%=六、贝叶斯公式公式：A、B等个体均可能发生某事，则P（已知有个体发生某事时，是 A发生的）=P

6、（A出现;X发生某事）例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的 概率是，普通客车发生故障的概率是。求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速 客车的概率。P（有客车发生故障） =P（高速车出现）P（高速车故障）+P（普通车出现）P（普通车故障）=20%X +80%XP（已知有客车发生故障，是高速客车发生的）_p（高速客车出现） p（高速客车故障） =p（有客车故障）20% 0.0020.00841例2:猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个 考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是 50%猴博士考核通过的概率21是100%傻狍子考核通过的概

7、率是1%求抽中的员工通过考核时, 被抽中的员工是傻狍子的概率。P（抽中的员工通过考核）=P（猴博士出现）P（猴博士通过）+p（傻狍子出现）P（傻狍子通过）=50%X 100% +50%X 1%=%P（已知有员工通过考核，是傻狍子通过的）f x(x)= Fx'x < 11-,1 < x < ?1 < x < ? x0,其他x > ep（傻狍子出现） p（傻狍子通过）x + 1 0 :< x2例2:设X的密度函数fx(x)=2' ，求X的分布0,其他函数Fx(x)。rrx当 x>2 时，Fx(x)= / 乂 f x(x)dx =1.x

8、x2当 owx<2 时，Fx(x)=fx(x)dx =- -4+x当 x<0 时，Fx(x)= fx(x)dx =f= 0dx=00,x < 0x2Fx(x)=- -+ x，0 w x w2 1，x > 2八、 已知?(x)与?(x)中的一种，求 P公式：P(a<Xvb)=Fx(b) - Fx(a)= ffx(x)dx0，x < 1例1:设x的分布函数F x(x)= In x，1 w xv?，求概率P(x2 < 4)1，x > eP(x2<4)=P(- 2<x<2)=Fx(2) - Fx(- 2)=l n2 - 0=ln2-x

9、+ 1,0 < x < 2 例2:设X的密度函数f x(x)= 2，求概率P(- 1<x<2)0,其他2P(- 1<xv2)=厶fx(x)dx0 2f 1 f x(x)dx +£ fx(x)dx0 2 1f10dx+.f(-x+1)dx=0+1=1九、？?(x)或?(x)含未知数，求未知数公式：Fx(-)=0 ,Fx(+ )=1 , F上 (分段点)=F下(分段点)f+；fx(x)dx 二10 x 0例1:设x的分布函数Fx(x)= '(入>0)，求a和ba + be-入x ,x > 0Fx(+ x )=1 a+be -入 (+o)=

10、1ba+b e- x=1 a+ 厂=1 a=1F上 (0) =Ft (0) 0=a+b e-°)0=a+b e0 a+b=0a = 1 a+ b = 0a = 1 b= - 1ax + 10 x 2例2:设X的密度函数fx(x) ='Jr,求常数a0,其他+ OOfx(x)dx =1f=fx(x)dx +fx(x)dx +f x(x)dx =10dx+彳(ax+ 1)dx+£+" 0dx=10+2a+2+0=11解得a=- 2十、求分布律x表示从中取出的最大号码,例1:从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，丿求其分布律。x可能的取值为3, 4,

11、 5, 6c2cc3 1c320C2c1c2 3C620c4c1c0_ 3=c6 -"10P(X=3)P(X=4)P(x=5)P(X=6)=CfM分布列:已知含有未知数的分布列，求未知数例1：已知分布列如下，求k的值1331 解得k=2概率论第三课十二、 已知X分布列，求丫分布列例1:已知X的分布列，求Y=X2+1的分布列。X-202P 根据X的所有取值，计算丫的所有取值丫=(- 2)2 + 仁5Y=02 + 1=1丫=22 + 仁5 将表格里X那一列对应换成丫Y515P化简一下:Y15P例2:已知X的分布列，求Y=2X 1的分布列X3456根据X的所有取值

12、，计算丫的所有取值Y=2 X3 - 1=5Y=2 X4 - 1=7Y=2 X5 - 1=9Y=2 X 6 - 1=11 将表格里X那一列对应换成丫X57911P133120207q2也可以表示成：57 9 11丫( 1331)20 20 10 2十三、 已知？?(？?)，求？?(？?)0,x< 0例1:设X的分布函数为Fx(x)=x2，0 < ?< 1，求丫=2X的分布1 ,x> 1函数 写出X=YYY=2X X=- 用y替换Fx(x)中的x，结果为Fx(?y)小 y0，2 < 0yy 2yFx(2)= (2) ，0 < 2< 1 1， 2 1 判断y

13、中是否有负号若无，则 FY(y)= Fx(y)若有，则 FY(y)=1 - Fx(y)0,y w 0yy2FY(y)= Fx(2)= n，0 < ?< 2 1，y 20,x w 0例2:设X的分布函数为Fx(x)=x2，0 < ?< 1，求丫二X的分布 1，x > 1函数。 写出X=YY= - X X=- Y 用y替换Fx(x)中的x，结果为Fx(? y)0， - y w 0Fx(- y)= (- y)2，0 < - ?< 11，- y > 1 判断y中是否有负号若无，则 FY(y)= Fx(y)若有，则 FY(y)=1 - Fx(y)1，y0F

14、Y(y)=1 - Fx(- y)= 1 - y2，- 1 < ? < 00，y w- 1十四、 已知？?(？?)，求？?(?)1求Y=2X的密度函数1 0 < ? <例1:设X的密度函数为fx(x)='0,其他 写出X=YYY=2X X=-2 用y替换fx(x)中的x,结果为fx(?y)y 1，0 < ? < 2 fX(2)=0，其他 令 fY=(?y)' x(? y)fY=(2)y 1fx(R=2yfx(R12 , 0 < ? < 2 =0,其他 判断y中是否有负号若无，贝U fY(y)= fY若有，贝U fY(y)= - fY

15、1fY(y)=fY=2，0 < ?< 20,其他概率论第四课十五、符合均匀分布，求概率公式：满足要求长度P=总长度例1:设X在2,5上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率总长度：3大于3的长度：22PX的取值大于3=3例2:设X在2,5上服从均匀分布，求X的取值小于3的概率总长度：3小于3的长度：11PX的取值小于3=3十六、符合泊松分布，求概率入x公式：P(X=x)=对e-入例1:某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为5的泊松分布求在一分钟内呼叫次数不超过 6次的概率。X表示一分钟内接到呼叫的次数P(X< 6)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)

16、+ P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6)5°5I525?只45556e- 5+ e- 5+ e- 5+e- 5+ e- 5+ e- 5+e- 50!1!2!3!4!5!6!=0.7622十七、符合二项分布，求概率公式：p（x=x）=cnpx（i - p）n-x例1:重复投5次硬币，求正面朝上次数为3次的概率。x=3n=5 P（ 正面朝上）=231 31 5- 35P（X=3）=C3（2）（1- 2）5 3気例2:在二红一绿三个球中有放回地摸 3次，求摸到红球次数为2次的概率。2f(x)= 入e-入x，x0，x< 0x=2 n=3 P(摸到红球)=3分布求：（1） 一个元

17、件能正常使用1000小时以上的概率; 一个元件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率X的密度函数为f(x)= 2000ex20000,x< 0(1)P(X>1000)=+ 3+ 31/000 f (x) dx= /000 2000 ex2000 dx=e0.5 P(1000<X<2000)=12000xe- 2000 dx-e- 1+e- 05十九、符合正态分布，求概率公式:b - 口a - 口P(a <?<?)=()-()CTCTa - 口P(X< ?)=()b - 1r P(X> ?) = 1 -()T例1:设随机变量X服从正态分布N

18、,4），求:(1) P<X< (2)P(X<。其中：（0）=,=，（1）=,=1 =,t = v4=2,35-1.5,1.5-15(1) P<X<=0()-(一-戶(1)-(0)=3 5 1 5(2) P(X<=(一-戶(1)=二十、正态分布图像公式： 图像关于卩对称 面积表示概率，总面积为1 (T越小，图像越陡例1：例2:常见分布的其他表示方法均匀分布Ua,b二项分布Bn,p指数分布E(入)正态分布N (卩,CT 2)例:X在2,5上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率即XU2,5，求X的取值大于3的概率 某种电子元件的使用寿X(单位：小时)服从入=200

19、0的指数分布1即 某种电子元件的使用寿命X(单位：小时)服从XE(2000)概率论第五课二一、已知二维离散型分布律，求例1:已知二维随机变量X, Y的分布律如下表：求：(1)P(X=0) , P(Y=2)(2) P(X<1 , Y< 2)(3) P(X+Y=2)(4) X , Y的分布律(5) Z=X+Y的分布律解：(1)P(X=0)=+=P(Y=2)=+=(2) P(X<1, Y< 2)=+=(3) P(X+Y=2)=+=(5) P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=+=P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X

20、=1,Y=2)=+=P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=二十二、已知二维离散型分布律，判断独立性公式：如果任意 Xi , yi 均满足 P(X=Xi , Y=yi )=P(X=Xi) P(丫=比)那么X、Y相互独立否则X、Y不相互独立例1:已知二维随机变量X，Y的分布律如下表: 请判断X、丫的独立性。例2:已知二维随机变量X，Y的分布律如下表:X、Y是相互独立的，求a、B的值。甞+爭 丄+寥+甞+矜69?18? 399二十三、 已知F(x,y)，求f(x,y)公式：f(x,y)=?Mx,y)?x?y二十四、 已知f(x,y)，求F(x,y)例1:已知二维随机变量的联合密度函数f(x,y)=0，

21、?21? 2-x y,其他？求 F(x,y)。例2:已知二维随机变量的联合密度函数为:f(x,y)=，求 F(x,y)x + y, Ovxv 1, Ovyvl0,其他？二十五、已知F(x,y)，求P 公式：P(XWxo, YWyo)=F(Xo,yo)例1:二十六、已知f(x,y)，求P例1:例2:二十七、求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知数公式：F(+x , + %)=1 , F(- OO , - OO ) = 0 ,F(x ,- O)=0 , F(- O , y)=0+ OOOO龙；f(x,y)dxdy=1例 2 ：二十八、 求均匀分布的 f(x,y) 与 P公式：例 1 ：概率论第六

22、课二十九、 求边缘分布函数公式：F x(x)=F(x,+ x) ,FY(y)=F(+ x ,y)例 1 ：三十、 求边缘密度函数三十一、 判断连续型二维变量的独立性公式：例 1 ：三十二、已知 f(x,y) , Z=X+Y 求？?(z)+x公式：f z(z)= f x f (x,z - x)dx?三十三、已知 f(x,y) , Z=，求？?(z)公式：f Z(z)= /+f (yz,y) |y| dy三十四、已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=max(X,Y)，求?(z)公式：F z(z)= Fx(z) F y(z)例1:设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为x 3+ 2x，求Z=m

23、ax(X,Y)的分布函数。三十五、已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=min(X,Y)，求?(z)公式:F z(z)=1 - 1 - Fx 1 - Fy例1:设随机变量X，丫独立同分布，且X的分布函数为x3+2x，求Z=minX,Y的分布函数。概率论第七课三十六、 求离散型的期望E(X) 公式:E (X) = Eki Pi例1:已知一个工厂一周获利10万元的概率为，获利5万元的概率为，亏损2万元的概率 为，该工厂一周内利润的期望是多少X105-2PE(X = Di Pi = 10 X0.2+ 5 X 0.3+ (- 2) X0.5= 2.5 (万元)三十七、求连续型的期望？?(？?)+ OO公式：E (X) = 4 乂 xf(x)?dx三十八、 已知？ = ?(?)，求？?(？?)f(x)dx+ OO公式：离散型？E(Y) = Sg(xi)Pi，连续型？E(Y) = g(x)例2