奥数辅导资料一元一次方程

1、奥数辅导资料一元一次方程【内容综述】一元一次方程是最简单的方程，它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的。本期主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧。只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是1的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式（最简形式）。解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。【要点讲解】§1 含参量的一元一次方程含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论，关于的方程。因为未注

2、明，所以它的解有下面三种情况：（1）当时，方程有唯一解；（2）当时，方程的解为任意数；（3）当，时，方程无解。例1 解关于的方程。思路 这是含参量的一元一次方程，需分类讨论。解： 把原方程变形为即 当，即且时，方程有唯一解；当且，即且时，方程无解；当且，即时，方程的解为任意数。例2 若a，b，c是正数，解方程。解法一：原方程两边乘以abc，得到方程,移项合并同类项得即由，知,即。解法2：对原方程左端的每一项减去1，得即由，知说明 通过细心观察方程的自身特点，巧妙地分析为3个，为3个，使原方程易于求解。例3 k为何正数时，方程的解是正数？ 思路 当方程有唯一解时，此解的正负可由a，b的取值确定：

3、（1）若b=0时，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0成立。（2）若时，则方程的解是正数；反之，若方程的解是正数，则成立。（3）若时，则方程的解是负数；反之，若方程的解是负数，则成立。解：按未知数整理方程得要使方程的解为正数，需要不等式的左端因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，因此或，即为所求。§2 含有绝对值符号的一次方程解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程。其关键是需分情况脱去绝对值符号。例4 若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则m，n，k的大小关系是（ ）（a）；（b）；（c）；（d）；思路

4、 对于方程，当时，此时方程无解；当时，此时方程的解为；当时，此时方程的解为或。解：无解，则有一个解，则有两个解，则。所以，成立，选择（a）。例5 解关于的方程（1）；（2）。思路 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”，即令，分别得到=-2，=3，用-2，3将数轴分成三段：3，-23，-2然后在每一段上去掉绝对值符号再求解。解：（1）当-2时，原方程化为解得=-2；当-23时，原方程化为即5=5，所以-23是原方程的解。当3时，原方程化为解得=3。综合以上得，原方程的解为-23。（2）当2时，原方程化为即由知，若a>1时，解为；当23时，原方程化为即若a=1时，

5、解为23；当a>3时，原方程化为即由知，若a>1时，解为。 综合以上得；当a>1时，解为；当a=1时，解为23；当a<1时，无解。 说明 由绝对值符号内代数式值为零解出分类“零点”；在每种情况下求得的解必须在分类条件内；对含字母的方程需要进行讨论。例6 求关于的方程 的所有解的和。思路 此方程有两层绝对值符号，先由，利用绝对值的定义，去掉外层的绝对值符号，使得方程转化为只含有一个绝对值符号的方程，然后再去掉里层的绝对值符号求解。解：由原方程得即，故§3 含有高斯函数符号的一次方程高斯函数表示不超过的最大整数，如，解含高斯符号的方程的基本方法是，利用定义脱去方括

6、号符号，转化为普通一元一次方程求解。例7 求方程的所有根的和。解：设（t为整数。）则,因为即,t=-2, -3对应的为,。从而原方程所有根的和例8   设n是自然数，表示不超过的最大整数，解方程思路 因，由是n自然数，知n与n+1中必为一奇一偶，所以是整数。因是整数，2，3，4，5，n都是整数，所以由=解：原方程变形为合并同类项得即思维训练题a级1若方程与方程是同解方程，则的值为（ ）（a）4；（b）-4；（c）8；（d）-8。2方程的解是（ ）（a）1996；（b）1997；（c）1998；（d）1999。3是关于的一元一次方程，且有惟一解，则=_。4如果表示不超过的最大整数，那么

7、方程的解=_。5已知方程，当取何值时，方程无解？当取何值时，方程有无穷多个解？当取3时，方程的解是多少？若方程的解是-2，那么的值是多大？b级6已知方程有一个负根而且没有正根，那么的a取值范围是_。7如果关于的方程有无穷多个解，那么参数a的值满足条件_。8若a>0, b<0，则方程的解是什么？9若abc=1，解方程。参考答案:a级1（d）；2（d），提示：利用拆项求和法将原方程化简为。31.5，提示：由题意得3a+2b=0，且a0。4-2，提示：方程变形为，显然只能是整数，且<0。5当时，方程无解；当时，方程有无穷多个解；当=3时，=2；当=-2时，=1。b级6a1，提示：由方程有负根，有，从而，故；若方程有正根，则=+1，即，解出<1，从而方程没有正根应1。7a=