0348数理统计网上作业题及答案

1、（0348）数理统计网上作业题及答案03480101论述题1、设一组抽奖券共10000张，其中有5张有奖。问连续抽取3张均有奖的概率为多少？2、考虑如何由样本 的实际背景确定统计模型，即总体x的分布：（1）样本记录随机抽取的n件产品的正品、废品情况。（2) 样本表示同一批 n 个电子元件的寿命（小时）。 （3）样本表示同一批 n 件产品某一尺寸（mm）。   参考答案： 1、 解：不妨设要求该事件的概率，实际上即是求联合概率分布0或1）在处的值。但题中没有说明“连续抽取”是“有放回的”还是“无放回的”，我们不妨都计算一下：（?）无放回时：（?）有放回时：2 、 解

2、：（1）x 服从两点分布，其概率分布为=0，1,所需确定的是参数. （2）x 通常服从指数分布，其密度函数 .所需确定的是参数>0。（3）x通常服从正态分布，其密度函数所需确定的是参数，其中，。第一次作业（1）论述题1、从一批机器零件毛坯中随机抽取8件，测得其重量（单位：kg）为：230，243，185，240，228，196，246，200。 （1）写出总体，样本，样本值，样本容量；（2）求样本的均值，方差及二阶原点距。2、若样本观察值  的频数分别为，试写出计算平均值和样本方差的公式（这里 ）。3、设总体x服从两点分布b（1，p），其中p是未知参数，  是来自总体

3、的简单随机样本。指出之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？ 4、设总体x服从正态分布，其中已知，未知，是来自总体的简单随机样本。 （1）写出样本的联合密度函数；（2）指出之中哪些是统计量，哪些不是统计量。  参考答案：  1、 解：（1）总体为该批机器零件重量x，样本为  ，样本值为230，243，185，240，228，196，246，200，样本容量为n=8； （2）,  ， . 2、 解：。 3、 解：都是统计量，不是统计量，因p是未知参数。 4、 解：（1）因为x服从正态分布，而是取自总体x的样本，所以有服从，即

4、故样本的联合密度函数为。（2） 都是统计量，因为它们均不包含任何未知参数，而 不是统计量。 03480103论述题1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：  日售出台数23456合计天数2030102515100 求样本容量n，经验分布函数，样本均值，样本方差，样本修正方差。2、设总体服从泊松分布p（），  是一样本： （1）写出  的概率分布； （2）计算； （3）设总体容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）试计算样本均值，样本方差和次序统计量的观察值。  参考答案：  1、解：

5、（1）样本容量为 n=100（2）经验分布函数样本均值，样本方差，样本修正方差分别为：2、 解：（1）因为  所以  的概率分布为 （2）因为 ，所以（3）将样本观察值依照从小到大的顺序排列即得顺序统计量  的观察值如下：（1，2，3，3，4，4，4，5，6，8）。 03480104论述题 1、设总体服从参数为 的指数分布，分布密度为 求和。分析：利用已知指数分布的期望、方差和它们的性质进行计算。2、在总体x服从中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值在29到31之间的概率。 3、设总体x服从, 是来自总体x的一个样本， 为样本均值，试问样

6、本容量n应取多大，才能使 （1）; （2）？4、设总体x与y相互独立，而且都服从,  和  是分别来自x和y的样本，求 。5、设  为总体 x 服从的一个样本，求。6、设总体x服从，样本  来自总体x，令, 求常数c，使cy服从- 分布。7、若x服从具有n个自由度的 - 分布，证明的概率密度为, 称此分布为具有n个自由度的-分布。  参考答案： 1、 解：由于，所以 ； ； 。2、 解：因为x服从，样本容量n=16 ，所以样本均值服从，故3、解：（1）因x服从，故 服从， 所以, 从而， 因此取n=40 ； （2）， 即，因 ， 为单

7、调增加函数故由上不等式得 ，即，即样本容量n应取1537。4、 解：由x与y服从正态分布，知分别服从, 由于独立正态随机变量的代数和仍服从正态分布，可见服从, 从而，查表可得 5、 解：因每个 与总体 x 有相同分布，故服从，则服从自由度n=7的- 分布。因为，查表可知, 故 6、 解：因为样本  独立同分布，所以服从，服从，同理服从, 因此服从，服从，且两者相互独立，由-分布的可加性，知y/3服从，所以取c=1/3 。7、 证明：设（1）当 时，显然为 不可能事件，故 ； （2）当 时， 因 x 服从具有 n 个自由度的 - 分布，由定义，有 故当 时 , , 综合可得结论。034

8、80105论述题1、已知随机变量x服从t分布，自由度为n，证明随机变量f=服从f分布，自由度为（1，n）。  参考答案： 证明：由题设知，随机变量x可以表示为， 其中u服从，服从自由度为n的-分布，且u与相互独立。其次服从自由度为1的-分布，于是f=可表示为，故随机变量f=服从f分布，自由度为（1，n）。第一次作业（2）论述题 1、设总体x服从，  是取自总体 x 的简单随机样本，为样本均值，分别是样本方差和样本修正方差，问下列统计量各服从什么分布。2、设总体x服从，和 为样本均值和样本修正方差，又有服从，且与  相互独立，试求统计量服从什么分布。

9、60; 参考答案：  1、 解：由定理 1.3.6 知  ，服从自由度为n-1的-分布，由定理1.3.6 的系1 得 服从自由度为n-1的t-分布，由服从, 可得服从，服从, 由于  相互独立因此由-分布的可加性，得服从自由度为n的-分布。 2、 解：由服从 ，服从 ，服从，服从 ，又由服从自由度为n-1的-分布，由定理1.3.6 知与相互独立，而与  相互独立，因此与 相互独立。注意t分布的定义服从自由度为n-1的t-分布。由服从， 服从，又由定理1.3.6 知服从自由度为n-1的-分布，由前同理可知与相互独立。注意f分布的定义服从自由度为（

10、1，n-1）的f-分布。第二次作业（1）论述题1、设总体x服从参数为（n，p）的二项分布，其中（n ，p）为未知参数，  为来自总体x的一个样本，求（n，p）的矩法估计。 2、随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）      74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002     求总体均值及方差2的矩估计，并求样本方差s2。3、设x1，x1，xn为总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）其中c>0

11、为已知，>1，为未知参数。 （2）其中>0，为未知参数。 （3）为未知参数。  参考答案：  1、解：因为，只需以分别代解方程组得 。2、解：，2的矩估计是。3、解：（1），得（2）（3）e( x )=mp令mp=，解得。第二次作业（2）论述题 1、设总体x的概率密度为， 其中为未知参数，样本  来自总体x，求未知参数的矩法估计与极大似然估计。2、求均匀分布中参数的极大似然估计。3、设总体服从几何分布，分布律为：，其中为未知参数，且。设为的一个样本，求的矩估计与极大似然估计。  参考答案： 1、 解：首先求数学期望从而解方

12、程得的矩法估计为. 似然函数为, 令, 解得的极大似然估计为。2、 解：先写出似然函数似然函数不连续，不能用似然方程求解的方法，只有回到极大似然估计的原始定义，由似然函数，注意到最大值只能发生在时；而欲最大，只有使最小，即使尽可能小，尽可能大，只能取= ，=。3、 解：（1）因为，所以 的矩估计为； （2）似然函数为：， 取对数：， 求导，令， 解得，的极大似然估计为。03480210论述题 1、设连续型总体x的概率密度为,  来自总体x的一个样本，求未知参数 的极大似然估计量，并讨论 的无偏性。2、设是参数的无偏估计，且有，试证明不是的无偏估计。3、设总体xn （，2），x1， x

13、1， xn是来自x的一个样本。试确定常数c使的无偏估计。  参考答案：  1、解：似然函数为，令，得。由于， 因此的极大似然估计量是的无偏估计量。2、 分析：证明无偏性，可直接按定义：进行证明。证明：由，及（由题意）， 而，可以得出，因此，不是的无偏估计。3、解：由于=当的无偏估计。第二次作业（3）论述题 1、设是取自正态总体 的一个容量为2的样本，试证下列三个估计量都是的无偏估计量： ，并指出其中哪一个估计量更有效。2、设x1，x2，x3，x4是来自均值为的指数分布总体的样本，其中未知，设有估计量 （1）指出t1，t2，t3哪几个是的无偏估计量；（2）在上述的无

14、偏估计中指出哪一个较为有效。  参考答案：  1、 解：由于，且独立，故有 故它们均为的无偏估计，而 又由于1/2 <5/9<5/8，所以第三个估计量更有效。2、 解：（1）由于xi服从均值为的指数分布，所以e( xi)=, d ( xi)= 2, i= 1,2,3,4 由数学期望的性质有 即t1，t2是的无偏估计量 （2）由方差的性质，并注意到x1，x2，x3，x4独立，知d(t1)> d (t2) 所以t2较为有效。 03480212论述题1、设  是取自正态总体的一个样本，试证是的相合估计。2、设  是取自具有下列指数分

15、布的一个样本， 证明是的无偏、相合、有效估计。3、设 是独立同分布随机变量都服从几何分布  , 则是 的充分统计量。 4、设 是独立同分布随机变量，其分布是均匀分布，其密度函数 ，试证（1）  是 的无偏估计；（2）是的umvue。  参考答案：  1、 证明：由于服从自由度为n-1的-分布，故 ， 从而根据车贝晓夫不等式有 ， 所以是的相合估计。2、证明：首先由于，故， 即样本均值是的无偏估计。又 所以 ，故. 而 ， 故c-r下界为， 因此样本均值是的有效估计 另外由车贝晓夫不等式 , 所以样本均值还是的相合估计。3、 证明：由于 的联合密

16、度函数为  取  ， 则由因子分解定理知是的充分统计量。 4、 证明：（1）由 知  是的无偏估计； （2）由于 ， 则由因子分解定理知是的充分统计量，其密度函数为， 又若， 则 ， 即，两边对求导得 故，所以是完备充分统计量，由此得出是的umvue。03480213论述题1、随机地从一批钉子中抽取 6枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设钉长服从正态分布，试求总体均值 的0.9的置信区间。（1）若已知

17、=0 . 01 （厘米），（2）若未知。  参考答案： 解：（1）  ，置信度0.9，即=0.1，查正态分布数值表，知, 即, 从而， 所以总体均值 的0.9的置信区间为. （2）未知  , 置信度0.9，即=0.1，自由度n-1=15，查t-分布的临界值表 所以置信度为0。9的的置信区间是 第二次作业（4）论述题1、某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田18块，每块面积1/20亩进行试验，试验结果：不施肥的10块试验田的收获量分别为8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5（单位：市斤），其余

18、 8 块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三次氮肥，其收获量分别为12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.5，10.6，12.2。假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率0.95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产的幅度。2、岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得s=0.2，求的置信区间（=0.1）。 3、随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差为11（米/秒）。设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹速度的标准差的0.9的置信区间。   参考答案：  1、 解：设正态总体x，y分别表示施

19、肥和不施肥的每1/20亩的水稻收获量，据题意，有对1-=0.95，即=0.05，查t分布表（自由度为 n+m-2=16 ），得，于是 所以在置信概率0.95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产0.6到2.8市斤。2、 解：n=12，=0.10，s=0.2查分布表（自由度为 n-1=11），得 , 因此。所以的置信区间为0.022335，0.09628。 3、 解：s=11 置信度0.9，即=0.1，自由度n-1=8，查分布的临界值表，得 ， 所以，置信度为0.9的炮口速度的标准差的置信区间是 。某厂生产的钢丝。其抗拉强度，其中均未知，从中任取9根钢丝，测得其强度（单位：kg）为：

20、 578，582，574568，596，572，570，584，578求总体方差、均方差 的置信度为0.99的置信区间。分析：由于参数均未知，故取统计量，从而得、置信度为的置信区间分别为 、 。解：， ， 所以方差的置信度为0.99的置信区间为： ，即（26.96，440.48）； 均方差的置信度为0.99的置信区间为： ，即（5.19，20.99）。作业03480318论述题1、分别在两种牌号的灯泡中各取样本容量为的样本，测得灯泡的寿命（以小时计）的样本方差分别为。设两样本独立，两总体分别为，分布，均未知。试检验假设（）：。  参考答案： 解：这是一个两个正态总体的方差之

21、比的检验问题，属于右边检验。检验统计量为代入本题中的具体数据得到。 检验的临界值为。因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为第一个总体的方差不比第二个总体的方差大。 03480319论述题1、统计了日本西部地震在一天中发生的时间段，共观察了527次地震，这些地震在一天中的四个时间段的分布如下表： 时间段0点6点6点12点12点18点18点24点次数123135141128  试取检验假设：地震在各个时间段内发生时等可能的。  参考答案： 解：根据题意，要检验以下假设： 检验统计量为，其中。 代入本题中的数据得到，检验的临界值为。因为，所以样本值没有落

22、入拒绝域，因此接受原假设，即认为地震在各个时间段内发生时等可能的。第三次作业（1）论述题1、为了检验某药物是否会改变人的血压，挑选10名试验者，测量他们服药前后的血压 ，如下表所列：  编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 服药前血压 134 122 132 130 128 140 118 127 125 142 服药后血压 140 130 135 126 134 138 124 126 132 144 假设服药后与服药前血压差值服从正态分布，取检验水平为0.05，从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论？2、某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布，

23、某日开工后，随机抽查 10 箱，重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9，问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100有显著差异（给定水平=0.05，并认为该日的仍为1.15）？3、打包机装糖入包，每包标准重为100斤，每天开工后，要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准（100斤），某日开工后，测得9包糖重如下（单位：斤）：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，打包机装糖的包重服从正态分布，问该天打包机工作是否正常（=0.05 ）？ &

24、#160; 参考答案：  1、 解：以x记服药后与服药前 血压的差值，则x服从，其中均未知，这些资料中可以得出x的一个样本观察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2待检验的假设为这是一个方差未知时，对正态总体的均值作检验的问题，因此用t检验法当时，接受原假设，反之，拒绝原假设。依次计算有  ， ， 由于，t的观察值的绝对值. 所以拒绝原假设，即认为服药前后人的血压有显著变化。2、 解：以该日每箱重量作为总体x，它服从，问题就归结为根据所给的样本观察值对方差已知的单个正态总体检验，可采用u-检验法。 由所给样本观察值算得，于是 ， 对于=0.05，查标准正

25、态分布表得，因为，所以接受，即可以认为该日每箱重量的数学期望与100无显著差异，包装机工作正常。 3、 解：由题意已知：x服从，并已知，n=9，=0.05假设 在成立的条件下，所选统计量t服从自由度为9-1=8的t-分布， 查表求出， 因为0.05<2.306 ，所以接受，即可以说该天打包机工作正常。03480321论述题1、设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量为 500 克，标准差不得超过 10 克，某天开工后从包装好的食盐中随机抽取 9 袋，测得其净重如下（单位：克）497,507,510,475,484,488,524,491,515. 问此时包装机工作是否正常

26、？  参考答案： 解：， 选取检验统计量：  ，计算得，在n=9,=0.05时，。拒绝域，因此 此时包装机工作是否正常。第三次作业（2）论述题1、由累积资料知道甲、乙两煤矿的含灰率分别服从. 现从两 矿各抽n=5, m=4个试件，分析其含灰率为（%） 甲矿 24.3 20.8 23.7 21.3 17.4 乙矿 18.2 16.9 20.2 16.7   问甲、乙两矿所采煤的含灰率的数学期望有无显著差异（显著水平=0.05）？2、某种羊毛在处理前后，各抽取样本测得含脂率如下（%）： 处理前 19 18 21 30 66 42 8 12 30 27 处理后

27、 15 13 7 24 19 4 8 20     羊毛含脂率按正态分布，问处理后含脂率有无显著差异（ =0.05 ）？3、使用a与b两种方法来研究冰的潜热，样本都是的冰。下列数据是每克冰从变为的水的过程中的热量变化（cal/g）：方法一 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02 方法二 80.02 79.97 79.98 79.97 79.94 80.03 79.95 79.97 假定用每种方法测得的数据都具有正态分布，并且它们的方差相等，试在=0.05下可否

28、认为两种方法测得的结果一致？  参考答案：  1、 解：分别以甲乙两矿所采煤的含灰率作为总体x和总体y，问题归结为根据所给的样本观察值对方差已知的两个正态总体检验，可采用u-检验法。 由所给样本观察值算得, 于是 , 对于=0.10，查标准正态分布表得, 因为, 所以拒绝，即可以认为 有显著差异。2、解：已知 n=10，m=8，=0.05，假设，自由度为n+m-2=16，查表，选取统计量 ， 由于   因为，所以否定，即可以认为处理后含脂率有显著变化。3、 解：两个总体，且，用 t 检验法： 检验假设，选取统计量 ，计算统计量的值  

29、 =0.05 ，自由度为n+m-2=19，方差未知，查表得 , 因 , 故否定 , 即在检验水平=0.05 下可以认为两种方法测得值（均值）不等。第三次作业（3）论述题1、两台车床生产同一种滚珠（滚珠直径按正态分布见下表），从中分别抽取8个和9个产 品，比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否相等（=0.05）？ 甲床 15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8 乙床15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8 2、同一型号的两台车床加工同一规格的零件，在生产过程中分别抽取n=6个零件和m=9个零件，测得各零

30、件的质量指标数值分别为  及  ，并计算得到下列数据： 假定零件的质量指标服从正态分布，给定显著性水平=0.05，试问两台车床加工的精度有无显著差异？3、两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件测量其长度，计算得，假设零件长度服从正态分布，问：是否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异（）？ 分析：问题为在未知的条件下，检验.  参考答案：  1、 解：已知 n=8，m=9，=0.05，假设，=0.05，/2 =0.025，第一自由度n-1=7，第二自由度m-1=8，在成立的条件下选取统计量服从自由度分别为7，8的f分布  &

31、#160;查表：, 因为f=3.69<4.53, 所以接受假设，即可以认为两台车床生产的滚珠直径的方差相等。2、解：这是两个正态总体的方差是否相等的显著性检验，运用f统计量。用x表示第一台车床加工的零件指标，设x服从 ；用y表示第二台车床加工的零件指标，设y服从。 假设在成立的条件下选取统计量服从自由度分别为5，8的f分布 计算f统计量的观察值： , 当为真时，f服从f（5，8）分布，并有，由于0.148 < 1.03 < 4.82 ，所以接受 ，即认为两台车床加工精度没有显著性差异。 3、 解：检验假设选择统计量，因为， 而，所以有 ，故接受，即认为两台机床加工的零件长度的

32、方差无显著差异。03480324论述题1、在的前800位小数的数字中，0，1，9分别出现了74，92，83，79，80，73，77，75，76，91次，能否断定这10个数字在的小数中是均匀出现的？（=0.05）  参考答案： 解：以x需要检验的假设为表示的小数部分出现的数字，这就是总体，它的分布列为  样本来自总体 x ，需要检验的假设为  这是一个显著性假设检验问题，用检验法，以表示  中 i 出现的个数，i=0,1,9, 见下表： i074360.45001921441.800028390.1125 37910.0125 48000.000

33、0 573490.6125 67790.1125 775250.3125 876160.2000 9911211.5125 在原假设成立时，服从自由度为9的-分布。故=5.1250 ，而. 所以接受原假设，认为出现在的小数部分中的各数字个数服从均匀分布。 第三次作业（4）论述题1、为了研究患慢性支气管炎与吸烟量的关系，调查了272个人，结果如下表：  吸烟量（支/日）   09101920     求和患者数229825145非患者数228916127求和4418741272试问患慢性支气管炎是否与吸烟量相互独立（显著水平=

34、0.05 ）？  参考答案： 解：令x=1表示被调查者患慢性气管炎，x=2表示被调查者不患慢性气管炎，y表示被调查者每日的吸烟支数。 原假设：x与y相互独立。根据所给数据，有对于 =0.05 ，由自由度（r-1）（s-1）=（2-1）（3-1）=2，查 - 分布表 . 因为 =1.223<5.991 ，所以接受 ，即认为患慢性气管炎与吸烟量无关。 03480428论述题1、设某地区酿酒公司下属有、共4个酒厂。公司总经理为提高酒的质量，开展质量评优活动，随机地从4个酒厂各抽取3瓶样酒，指定同一名品酒员按事先规定的色、香、味质量标准评分，评分结果的原始数据如下表所示。 &

35、#160;厂别试验序号1 5 87 112 6 98103 6 8612试问：不同酒厂对酒的质量有无显著影响（）？  参考答案： 解：（1）提出待检假设h 0：； （2）列方差计算表，如表9-4所示。利用表中最后一列，即（）列的数据计算表9-4  水平试验序号 1 5 8 7 11 2 6 9 8 10 3 6 8 6 12 （ ） 17 25 21 33 =96 289 625 441 1089 =2444 97 209 149 365 =820  （3）选 f 统计量并求 f 计算值和临界值 又 （4）比较得出结论 因为，拒绝h 0，即表示不同酒厂对酒的质量有显著影响。这里，可认为因素水平影响特别显著，事实上由原始数据可见，评分特别高，直观上已可判断有显著差异，说明分析的结论是符合实际情况的，也证明了方差分析的科学性。03480429论述题1、对于四种不同种源的油松种子，在三种不同土质的土壤上进行育苗试验，两年后测定苗木高度，所得试验数据如表所示。假定试验数据满足正态、等方差条件试在检验水平0.05下，分析种源、土质对油松苗木高度的影响？ 因素b因素a 数据因素 b     b1 b2 b3 因素aa1 44 53 47 14