现代数字信号处理-第三章-3-2016

1、1v谱分解定理谱分解定理 vAR模型法模型法vLevision-Durbin算法算法vAR模型的稳定性及其阶的确定模型的稳定性及其阶的确定vAR谱估计的性质谱估计的性质vAR模型参数提取方法模型参数提取方法vAR谱估计的异常现象及其补救措施谱估计的异常现象及其补救措施3.2 AR模型模型参数谱估计法步骤参数谱估计法步骤l为被估计的随机过程选定一个合理的模型，这有赖于对随机过程进行的理论分析和实验l根据已知观测数据估计模型的参数，这涉及各种算法的研究l用估计得到的模型参数计算功率谱。2322221*1*2*22)()()()()()()()()1()()(ARMA)()()(0)(jjjjxxx

2、xkkkkkkeAeBeHeSzAzAzBzBzHzHzSabzazbzAzBzHnu在下列关系：输出功率和输入功率存）系数。为后馈（）系数，为前馈（其线性系统函数：的白噪声序列，方差为均值为输入为4谱分解定理谱分解定理l任何实平稳随机信号任何实平稳随机信号ynyn的有理功率谱的有理功率谱S Syyyy(z)(z)都可唯一都可唯一地表示成下列最小相位形式地表示成下列最小相位形式 式中，式中， 为常系数，为常系数，B(z)B(z)是有理函数，即是有理函数，即 其中，其中，N(z)N(z)和和D(z)D(z)都是最小相位多项式。都是最小相位多项式。l谱分解定理保证了平稳随机信号模型的存在。任何平谱

3、分解定理保证了平稳随机信号模型的存在。任何平稳随机信号稳随机信号y yn n可以看成是由白噪声序列可以看成是由白噪声序列 激励一个激励一个因果稳定的线性时不变系统因果稳定的线性时不变系统B(z)B(z)产生的输出。产生的输出。21( )( ) ()yySzB z B z2( )( )( )N zB zD z n3.2.1 3.2.1 AR模型法模型法lP阶AR模型差分方程5的逆滤波器。模型就是预测误差滤波器）（)(AR)(A)(),()(.)1 (1)(A00)()()(1)(.Xmin221p21111nA zHzneEkaaZpaZazmmkmrakmramrzAzHXaXapkppkAk

4、pkAkAnpAnpAn6v基本公式基本公式 基于基于ARAR模型的谱估计由下式计算：模型的谱估计由下式计算：)()()(12zAzAzSxx212221)()(pkkjkjjxxeaeAeS故要求知道：模型的阶数故要求知道：模型的阶数p和和p个参数以及激励源方差个参数以及激励源方差2v基本思路基本思路 把这些参数与已知或估计的自相关函数联系起来，把这些参数与已知或估计的自相关函数联系起来，构成著名的构成著名的Yule-Walker方程，迭代求解该方程得到新方程，迭代求解该方程得到新的参数的参数7AR模型法模型法v 推导推导 推导方法推导方法 - 通过对通过对Sxx(z)求求z反变换来获得反变

5、换来获得Y-Wa方程方程 - 直接根据模型的差分方程导出直接根据模型的差分方程导出 具体推导具体推导 考虑考虑) 1 (/1)(0pkkkzazH其差分方程为1)()()(01anuknxanxpkk从而1( )( ) ()() ( ) ()xxpk xxkrmE x n x n ma rm kE x n u n m8AR模型法模型法l具体推导（续）具体推导（续） 考虑上式第二项的计算。设考虑上式第二项的计算。设ARAR模型的脉冲响应为模型的脉冲响应为h(n),h(n),在在方差为方差为 白噪声作用下产生白噪声作用下产生输出输出x(n)x(n)，故有，故有 20,00,)()()(22mmmh

6、mnunxE于是有于是有)2(0, )(0,)()(121mkmramkmramrxxpkkxxpkkxx这就是著名的这就是著名的Y-W方程。方程。0)m(h0:时注m9AR模型法模型法l具体推导（续）具体推导（续） 为求为求AR模型参数，应先由模型参数，应先由(2)式第二式选择式第二式选择m0的的p个方程求个方程求出出p个模型参数，然后代入第一个方程求出个模型参数，然后代入第一个方程求出 。 设已知自相关函数的头设已知自相关函数的头p+1个值为个值为r(0),r(1),r(p)，则，则(2) 式可表示为式可表示为2) 3(001)0()2() 1()() 1() 1 ()0() 1 ()()

7、2() 1 ()0(21paarprprprprrrrprrrr10Levision-Durbin算法算法l用线性方程组的常用解法(例如高斯消元法)求解式(3)，运算量较大，利用系数矩阵的特征可构成一些高效算法，Levision-Durbin算法是其中最著名、应用最广泛的一种。它是一种按阶次进行递推的算法。lLevision-Durbin算法的关键是要推导出由AR(k)模型的参数计算AR(k+1)模型的参数的迭代计算公式。有三种方法： 1.根据AR(1)、AR(2)、AR(3)各阶模型的Y-W方程的求解结果归纳出一般的迭代计算公式。 2.引入缺口函数的概念。 3.矩阵扩充法。下面将介绍用这种方

8、法推导Levision算法。11Levision-Durbin算法算法l设已求得k阶Y-W方程 的参数 ，现求解k+1阶Y-W方程v Levision算法的推导算法的推导2,1,1(0)(1)(2)( )(1)(0)(1)(1)0( )(1)(2)(0)0kkk krrrr karrrr kar kr kr kr 2,1,2,kkk kkaaa211,11,1,11(0)(1)( )(1)(1)(0)(1)( )0( )(1)(0)(1)0(1)( )(1)(0)0kkkkkkrrr kr karrr kr kar kr krrar kr krr 12Levision-Durbin算法算法l为

9、此，将k阶方程的系数矩阵增加一列和增加一行，成为下列形式的“扩大方程” 扩大方程中的Dk由下式定义v Levision算法的推导算法的推导2,1,(0)(1)( )(1)1(1)(0)(1)( )0( )(1)(0)(1)0(1)( )(1)(0)0kkk kkrrr kr krrr kr kar kr krrar kr krrD ,00(1),1kkk ikiDa r kia BACK13Levision-Durbin算法算法l利用系数矩阵的Toeplitz性质，将扩大方程的行倒序，同时列也倒序，得到下列“预备方程”l将待求解的k+1阶Y-W方程的解表示成扩大方程的解和预备方程的解的线性组合

10、形式v LevisionLevision算法的推导算法的推导,12(0)(1)( )(1)00(1)(0)(1)( )0( )(1)(0)(1)(1)( )(1)(0)1kk kkkDrrr kr krrr kr kar kr krrar kr krr 1,1,1,11,11,111001kkk kkkkk kkkkaaaaaaa14Levision-Durbin算法算法l或 式中， 是待定系数，称为反射系数。上式各项都右乘以k+1阶系数矩阵，得到 由该式可求出v Levision算法的推导算法的推导1,1,1,1,2,kik ikk kiaaaik 1k221120000kkkkkkDD12

11、kkkD2222111(1)kkkkkkD15Levision-Durbin算法算法l由扩大方程的第一个方程可求出l从上面的推导中可归纳出如下由k阶模型参数求k+1阶模型参数的计算公式：l对于AR(p)模型，递推计算直到k+1=p为止。v Levision算法的推导算法的推导2,1(0)( )kkk iira r i2,1,0012222111,1,11,11(0)( )(1),1(1),1,2, ;kkk iikkk ikikkkkkkkik ikk kikkkra r iDa r kiaDaaaika 功率谱求解步骤功率谱求解步骤l对 x(n) 求系数 a(1).a(p)l计算A， 得到H

12、=1/A(z)l将一个方差为的白噪声通过该系统，所得即为待估计信号X(n)的功率谱。l注意： lA是白化滤波器， 但是输出不总是,只有当X(n)是一个AR过程时，输出白噪声才成立lp,p阶FIR预测误差滤波器退化为IIR预测误差滤波器。 16174.2.4 AR模型的稳定性及其阶的确定模型的稳定性及其阶的确定AR模型的稳定性及其阶的确定lAR(p)模型稳定的充分必要条件是H(z)的极点(即A(z)的根)都在单位圆内。稳定的AR(p)模型将具有以下性质：l(1)H(z)的全部极点或A(z)的所有根都在单位圆内。l(2)自相关矩阵是正定的。l(3)激励信号的方差(能量)随阶次增加而递减，即 。l(

13、4)反射系数的模恒小于1，即 。222120p1,1,2,.,kkp18AR模型的稳定性及其阶的确定模型的稳定性及其阶的确定l通常事先并不知道AR模型的阶。阶选得太低，功率谱受到的平滑太厉害，平滑后的谱可能会分辨不出真实谱中的两个峰。阶选得太高，固然会提高谱估计的分辨率，但同时会产生虚假的谱峰或谱的细节。l因此，要估计AR(p)过程，就应该把AR(k)模型的阶选得等于或大于p,即 ，但k不能太大。当选择 时，如果自相关函数的估计是精确的，那么AR(k)模型参数的估计为l式中， 是模型参数的精确值。这样，用AR(k)模型能够得到AR(p)过程的精确谱估计( )。v讨论如何确定讨论如何确定AR模型

14、的阶模型的阶kpkp,1,2,0,1,2,p ik iaipaippk,p iakp19AR模型的稳定性及其阶的确定模型的稳定性及其阶的确定l实际上自相关函数估计是有误差的，那么AR(k)模型的阶究竟选择得偏高好还是偏低好？这主要应从谱估计的质量来考虑。lAR模型谱估计方法，既要估计AR模型参数，又要估计模型的阶。l一种简单而直观的确定AR模型的阶的方法，是不断增加模型的阶，同时观察预测误差功率，当其下降到最小时，对应的阶便可选定为模型的阶。l另一种简单方法是观察各阶模型预测误差序列的周期图，当它最接近于平坦(白色谱)时即对应于最佳的阶。另外还可用其他几种不同的误差准则来作为确定模型阶的依据,

15、见图p130。v讨论如何确定讨论如何确定AR模型的阶模型的阶l准则l最终预测误差准则lAIC准则l自回归传递函数准则(CAT)l经验法： N/3 N/2 之间20214.2.3 AR谱估计的性质谱估计的性质l能够对自相关函数进行外推，是AR谱估计分辨率高的根本原因。l设要估计一个AR(p)过程的谱，已知它的自相关函数的p+1个取样值的估计值为 ，将它们代入Y-W方程，用Levision算法求解，得到AR(p)模型参数的估计值，然后将其代入谱计算公式，便得到AR(p)过程的谱估计，即l另一方面，谱与自相关序列之间存在傅立叶变换关系，可以得到vAR谱估计隐含着自相关函数的外推谱估计隐含着自相关函数

16、的外推(0), (1), ( )rrr p12*( )( )()ARSzA z A z( )( )mARmSzr m z(1)(2)22l比较以上(1)和(2)二式，可得到l假定滤波器 是因果的，且有h(0)=1，则上式左端 。l上式右端 ， 这里 是 的系数。l因此得到l对于 ，上式变为l或写成 这里假设vAR谱估计隐含着自相关函数的外推谱估计隐含着自相关函数的外推1211*( )( )()mmA zr m zA z 1( )( )H zA z2*2()( ),0hmm m 0()()( ) (),0pla mr ma l r mlm( )a m( )A z20()( ) (),0plma

17、l r mlm mp0( ) ()0,pla l r mlmp1( )( ) (),plr ma l r ml mp (0)1a(3) 见(2)(4)参见(2)23AR谱估计的性质谱估计的性质l对于m=0,1,2,p，式(3)为l或写成l可以看出，式(5)与前面的Y-W方程相同，只是这里用 代替了Y-W方程中的 。式(4)说明对于在mp范围内的 值，现在我们并没有认为它们等于零，而认为它们的值应按该式进行外推。vAR谱估计隐含着自相关函数的外推谱估计隐含着自相关函数的外推20 ,0( ) ()0,1,2,plma l r mlmp211( ) (),0()( ) (),1,2,plpla l

18、r mlmr ma l r mlmp( )r m( )r m( )r m(5)24AR谱估计的性质谱估计的性质l最大熵谱估计是基于将一段已知的自相关序列进行明显地外推，以得到未知的自相关取样值，从而去除因对自相关序列加窗而使谱估计特性变坏的弊端。l若已知 如何外推求得r(p+1),r(p+2),?最合理的方法：外推后的自相关序列所对应的时间序列应当具有最大熵。这意味着，在具有已知的p+1个自相关取样值的所有时间序列中，该时间序列将是最随机或不可预测的，或者说它的谱是最平坦或最白的。通过由这样的外推得到的自相关序列求出的谱称为最大熵谱估计(MESE)。l选择最大熵准则的合理性在于：对未知自相关值

19、所加的约束最少，因而对应的时间序列的随机性越大，故可得到一个具有最小偏差的解。vAR谱估计与最大熵谱估计谱估计与最大熵谱估计(MESE)等效等效(0), (1), ( )rrr p25AR谱估计的性质谱估计的性质l高斯随机过程最大熵谱估计可由下式表示 式中，a(m)可根据Y-W方程由已知的p1个自相关函数取样值求取。l由上式可以看出，在已知 的情况下，对于高斯随机过程，MESE与AR(p)是等效的。vAR谱估计与最大熵谱估计等效谱估计与最大熵谱估计等效2221( )1( )MESEpjfmmSfa m e(0), (1), ( )rrr p26AR谱估计的性质谱估计的性质 AR(p)参数可以作

20、为参数可以作为p阶线性预测系数来求取，准则是阶线性预测系数来求取，准则是使预测误差功率最小。使预测误差功率最小。x(n)的线性预测值为的线性预测值为预测误差为预测误差为预测误差功率为预测误差功率为根据梯度为根据梯度为0，可以得到与，可以得到与Y-W方程类似的方程。方程类似的方程。 vAR谱估计等效于预测滤波谱估计等效于预测滤波1( )()pkkx na x nk ( )( )( )e nx nx n2( )minE en11(0)(1)(2)( )(1)(0)(1)(1)0( )(1)(2)(0)0prrrr parrrr par pr pr pr 27AR谱估计的性质谱估计的性质l容易知道，

21、当 时， 刚好对应于最佳预测误差滤波器。lAR模型法和预测误差滤波法互为逆滤波，AR模型是把一个白噪声序列作为系统的激励得到x(n)，而预测误差滤波可以看作是把x(n)作为系统的激励而得到一个白噪声序列的输出，所以预测误差滤波器也是白化滤波器，它去掉了AR过程的相关性，从而在输出端得到白噪声。vAR谱估计等效于预测滤波谱估计等效于预测滤波kkaa228等同于线性预测等同于线性预测 102, 01minpkpkx nkx nke nx nx nk x nkEenk ARAR模型参数与线性预测器参数相同模型参数与线性预测器参数相同29等同于最优白化滤波等同于最优白化滤波1 21 21 21 2ex

22、plnthe geometric mean of , 01the arithmetic mean of xxxxxxxxxSfdfSfdfSfSfAR模型参数也可以通过最大化预测误差滤波器模型参数也可以通过最大化预测误差滤波器Prediction Error Filter (PEF)输出信号的谱平坦度输出信号的谱平坦度spectral flatness来获得。来获得。PEF(0)max min(0)(0)xxexeeeeRRR预测误差谱平坦度预测误差谱平坦度最大等效于最小相最大等效于最小相位滤波器位滤波器30AR 谱估计可以被看作是最优白化操作的结谱估计可以被看作是最优白化操作的结果果( )e

23、 n( )x n111/ ( ) 1/(1( )pkA zk zAR modelPrediction Error Filter31格形滤波器格形滤波器l将AR(p)模型参数ak,i看成一个序列(这里i=0,1,k)，并用多项式表示为 它的倒序多项式为 于是，Levinson算法中，由AR(k)的参数ak,i计算AR(k+1)的参数ak+1,i的递推公式 可用多项式表示为l或,00( ),1kikk ikiA za za1( )()RkkkAzzA z1,1,11,11,1,2, ;kik ikk kikkkaaaika 111( )( )( )RkkkkAzA zz Az111( )( )(

24、)RRkkkkAzz AzA z(1)(2)32格形滤波器格形滤波器l将式(1)和式(2)写成矩阵形式 上式由低阶到高阶进行递推运算，称为前向递推运算。lx(n)前向预测值为 前向预测误差为 或lx(n-k)的后向预测值为 后向预测误差为 或111111( )( )1( )( )kkkRRkkkAzA zzAzAzz,1( )()kk iix na x n i,1()()kk iix n ka x n ki (4)(3)(6)(5)(7),00( )( )( )(),1kkk ikie nx nx na x n ia( )( )( )kkEzA z X z,00 0( )()()()(),1k

25、kkk ik k ikiie nx n kx n ka x n k iax n ia ( )( ) ( )RkkE zA z X zBACK33格型滤波器的性质格型滤波器的性质l各级参数(反射系数)的模小于1，一般情况下可以保证滤波器稳定l级间是去耦的，因此当各级分布调到最佳时可以使滤波器达到全局最佳。343.2.5 AR模型参数提取方法模型参数提取方法l在实际应用中，常需根据信号的有限个取样值来估计AR模型的参数，应用较多的有三种方法：Y-W法或自相关法；协方差法；Burg法。这三种方法都可以用由时间平均代替集合平均的最小平方准则推到得到。l理论上，AR模型参数是根据预测误差功率最小的准则来

26、确定的，该准则表示为 或l即有 式中， 是x(n)的p1阶自相关矩阵，R,1,1Tpp paaa(9)BACK2( )minpEen 2( )minpEen 22( )( )TppEenEena Ra35从有限数据集合提取模型参数从有限数据集合提取模型参数(1) 前向预测误差和后向预测误差前向预测误差和后向预测误差.(2) Yule-Walker法法(3) 协方差法协方差法(4) Burg法法理论上，理论上，ARAR模型参数是根据模型参数是根据预测误差功率预测误差功率最小的准则确定最小的准则确定 2minminnen e n e n 120minNpnen 12minNnpen 122minN

27、npenen数据加窗，效率高数据加窗，效率高,保证保证PEF最小相位最小相位不加窗，效率高不加窗，效率高, ,潜在不潜在不稳定因素稳定因素不加窗，更多数据不加窗，更多数据- -更好的估计和更低误差；更好的估计和更低误差；最小化复合全局误差。最小化复合全局误差。（自相关法）（自相关法）3611xnxnxnpxnp,1,1pppppaaa ,1,1,pppppaaa ,1pp iix nax ni ,1pp iix npax npi ,00( )( ), 1ppp ipienx nx nax nia ,00 ,00()(), 1, 1ppp ipippi replace ip pipienx np

28、x npax npiaax nia 前向预测误差前向预测误差：后向预测误差后向预测误差37AR模型参数提取方法模型参数提取方法l用最小平方的时间平均准则代替集合平均准则，有 或 上式中， 可由式(4)得到l 是由长度为p1的预测误差滤波器冲激响应序列1,ap,1,ap,p与长度为N的数据序列x(0),x(1),x(N-1)进行卷积得到的，所以它的长度为N+p，这决定了上式中的求和项数。vY-W法（自相关法）法（自相关法） ,00( )(),1ppp ipienax nia(11)(10)BACK1201( )minNppnenN 120( )minNppnen ( )pen( )pen38AR

29、模型参数提取方法模型参数提取方法l将式(11)代入式(10)，得 式中， 是由取样自相关序列 构成的N阶取样自相关矩阵。式(12)和式(9)等效，只是用取样自相关矩阵 取代了自相关矩阵的 。l因此，用时间平均最小化准则同样可以导出Y-W方程组，只是方程组中的 要用 取代。vY-W法法R(12)RRRR10( )( ) (),01Nkkr kx n x nkkN 12,0,0( )()NppTpp ip jni jena r ij a a Ra39 0 0 0 (1) 1 1 (0) 0 0 0 x Nx n x nx n px n px ,1,1,1 pppppaaa ,1,1,1 pp pp

30、 paaa ,1,1,1 pp pp paaa (1 ) (2) (1 ) 1 1 ( ) (1 ) (1 ) (0)xNxNxN px n x nx n px n pxpxpx x ,1,1,1 pp pp paaa ,1,1,1 pp pp paaa ,1,1,1 pp pp paaa 自相关法自相关法(Yule-Walker法法)计算前向预测误差原理计算前向预测误差原理: :协方差法计算前向预测误差原理协方差法计算前向预测误差原理: :(0)e( )e n(1 )e N p ( )e p( )e n(1 )e N两端加零两端加零两端不加零两端不加零两端加零两端加零注意点：注意点： 40l

31、41AR模型参数提取方法模型参数提取方法l用下列时间平均的最小平方准则代替集合平均的最小平方准则： 该式与自相关法的主要区别是求和范围不同。现在的求和范围是p(N-1)。这意味着没有“加数据窗”的不合理假设。l与式(12)类似，可推导出 其中，自相关矩阵的估计为 这里，自相关序列的估计为l一般情况下， 不是Toeplitz的， 半正定，这是与自相关法不同的, 无法保证最小相位，无法保证极点都在单位圆内。v协方差法协方差法R( , )r i jR1( , )() ()Nn pr i jx ni x nj(13)BACK12( )minNpn pen12( )NTpn pena Ra42AR模型参

32、数提取方法模型参数提取方法l自相关法的计算效率高，且能保证预测误差滤波器是最小相位的，但数据两端要附加零取样值，实际上是数据加窗，这将使参数估计的精度下降。特别当数据段很短时，加窗效应就更加严重。协方差法计算效率也高，但潜在着不稳定因素。自相关法和协方差法都是直接估计AR参数。lBurg法则一方面希望利用已知数据段两端以外的未知数据(但它对这些未知数据不作主观臆测)，另一方面又总是设法保证使预测误差滤波器是最小相位的。Burg法与自相关法和协方差法不同，它不直接估计AR参数，而是先估计反射系数，然后利用Levinson递推算法由反射系数来求得AR参数。vBurg法法43AR模型参数提取方法模型

33、参数提取方法lBurg法首先要估计反射系数，所使用的准则是前向和后向预测误差功率估计的平均值最小准则。在这里，预测误差功率估计仍然用时间平均来代替集合平均。Burg法估计反射系数的准则表示为l该式的求和范围与协方差法相同。前向和后向预测误差滤波器的工作都是在数据段上进行的(数据段两端不需要补充零)。l由式(14)，求 对 的偏导数并令其等于0，即vBurg法法(修正协方差法修正协方差法)(14)p(15)122( )( )minNppn penen1( )( )2( )( )0Nppppn ppppe ne ne ne n44AR模型参数提取方法模型参数提取方法l由于滤波器运算未超出已知数据段

34、的范围，因此，式(8b)对pnN-1是成立的，由式(15)得到 或者写成 由上式解出 可以证明 ，这就保证了预测误差滤波器具有最小相位性质。vBurgBurg法法111( )(1)( )( )0Nppppn pen enen en1111111( )(1)(1)(1)( )( )0Nppppppppn penenenenen en111122112( )(1)( )(1)Nppn ppNppn pen enenen1p45AR模型参数提取方法模型参数提取方法l综上，Burg法估计AR(p)模型参数的具体计算步骤如下：l(1)确定初始条件l(2)确定k-1阶AR参数(迭代计算时，k的值从1开始选

35、取) 、 ( )l(3)利用下式计算vBurg法法00( )( )( ),01e ne nxnn N 122001( )NnxnN1( )kAz21k11knN 111122112( )(1)( )(1)Nkkn kkNkkn ken enenenk46AR模型参数提取方法模型参数提取方法l(4)用下式计算l(5)用下式计算 和 ( )l(6)计算k阶均方误差l(7)回到步骤(2)，进行下一次迭代。vBurg法法( )kA z,1,1,1,2,1;k ikikkk ik kkaaaika 111( )( )1( )(1)kkkkkkenenenen( )ken( )ken1k n N 2221

36、(1)kkk47AR谱估计的异常现象及其补救措施谱估计的异常现象及其补救措施l虚假谱峰 补救措施：模型的阶不宜选得太高，最高不应超过数据记录长度的一半。l谱线分裂 补救措施：同时调整所有反射系数，使预测误差功率真正达到最小。l噪声对AR谱估计的影响 AR谱估计对观测噪声比较敏感，噪声会使谱峰展宽，从而导致分辨率下降，而且会使谱峰偏离正确的位置。 为减小噪声对AR谱估计的恶化影响，一般可使用下列四种方法:(1)采用ARMA谱估计方法；(2)对数据进行滤波，减小噪声；(3)采用高阶AR模型；(4)补偿自相关函数或反射系数估计中噪声的影响。3.3 3.3 最大熵谱估计法最大熵谱估计法l48*(k)(

37、e )(x)110 ,(x)2(e )(k)(e )11ee0,(k)2(e )为最大化，令， 则上式变为ejwxjwexejwjkwjkwxjwexrPHdwkprPrPdwkprPl49l502221112212211221(e )()(u)e(p+1)P() 1e e(p+1)PppjwmemHpHpwwppHwwPe aPeP3.4 3.4 最大似然估计法最大似然估计法l51Maximum Likelihoodl523.5 互协方差估计与互谱估计互协方差估计与互谱估计l533.6 特征分解法谱估计特征分解法谱估计l54l55求解过程求解过程l56二阶二阶l57l58211(e)jwMH

38、iiipPa e v3.6 Pisarenko 谐波分解谐波分解l59l用Pisarenko 求解噪声中估计两个复指数分量频率和功率，假设两个复指数加噪声的随机过程自相关序列的前三个值为60(0)6xr(1)1.927054.58522xrj(2)3.427053.49541xrj l6161.927054.585223.427053.495411.927054.5852261.927054.585223.427053.49541 1.927054.585226xjjRjjjj1=15.89512=1.10493=1.00001230.57630.00000.27400.65180.27850

39、.30060.22440.53420.00010.01000.32090.74920.40340.41160.28300.64800.40970.0058jjjVv vvjjjjjjl最小的特征值为1， 其对应的特征矢量l求根得到62min0.27850.30060.32090.74920.40970.0058jvjj /310.50.8660jzje2 /520.30990.9511jzje13w225wlV1,V2 对应的功率功率方程：其中 ： 得到 63121()2.9685jwV e221()2.9861jwV e222()0.0139jwV e122()0.0315jwV e2112

40、222.96852.98610.03150.0139wwPP 2min1w12P 23P l不实用原因l已知复指数个数l假设噪声为加性白噪声l需要求解自相关矩阵的最小特征值和特征矢量，计算量高l改进： MUSIC算法6465带噪声经过MMSE处理66四、四、MA模型谱估计模型谱估计67RMSE68/htakeda/kernelreg/kernelreg.htm697071MA模型谱估计模型谱估计lMA谱估计以全零点模型为基础，将其用于估计窄带谱时得不到高分辨率，但用于MA随机过程时，由于MA随机过程的功率谱本身具有宽峰窄谷的特点，故能得到精确估计

41、。l对于ARMA模型差分方程 其中，输入激励u(n)是均值为0、方差为 的白噪声序列。输出功率谱和输入功率谱之间存在下列关系010( )()(),1pqkkkkx na x nkb u nka 设2*2*2*1( )()1( )( )()1( )()xxB z BzSzH z HzA z Az(1)72MA模型谱估计模型谱估计l由式(1)可得 对上式两端取逆Z变换，分别得到 这里，假设h(n)是实序列。由上两式得到lh(n)是因果序列，即n0时h(n)0，故上式右端有*22*1()1( ) ( )( )() ( )1()xxBzSz A zB zHB zzAz10( ) ( )( )*()pxxxxmk xxkZSz A zrmaa rmk12*22*01() ( )()*()qmkkZHB zhmbb h kmz200()()pqk xxkkka rmkb h km(2)00()( ),0,1,()0,1qq mqkkmk mkkkb h kmbh kmqb h kmmq或(3)73MA模型谱估计模型谱估计l将式(3)代入式(2)，得 这就是ARMA模型参数与自相关函数之间的关系式。l当a0=1且ak=0(k=1,2,p)时，由式(4)可得出MA模型参数与信号的自相关函数之间的关系式。注意此时h(k)=bk,故有2101()( ),0,1,( )(),1pq m