函数的求导法则89923PPT课件

1、1一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu第1页/共44页2(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()

2、()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. .第2页/共44页3hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf第3页/共44页4推论推论; )( )()(niiniixfxf111);( )()2(xfCxCf . )()()()()()()()( )()(ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf11212113第4页/共44页5例例1 1 解解23xy x4 例

3、例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin 2xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2.cos x .2sin1ln2cos2xxxx.5cossin223的导数的导数求求 xxxy第5页/共44页6例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos .seccosxx221.sec)(tanxx2.csc)(cot2xx 同理可得第6页/共44页7例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(se

4、c xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得xxxtansec)(sec第7页/共44页8例5例5).4(,11)(ftttf求求已知已知解解.)1 (21)1 ()1 (21)(2ttttttf.181) 4( f第8页/共44页9二、反函数的导数定理定理) 0)(.)(1)(,)(,)(yyxfyxxfy 且有且有导导在对应区间内也可在对应区间内也可那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.第9页/共4

5、4页10证证xx 以增量以增量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有,1yxxy ,)(连续连续由由xf),(00 xy 0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(因此因此yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即第10页/共44页11例例1.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yx, 0cos)(sin yy且且内有内有故在故在),(11)(sin1)(arcsinyxycos1y2sin11.11)(arccos2xx同理可得.112x211)(arcsinxx第11页/共44页12;11)(arc

6、tan2xx.11)cot(2xx arc例例2 2.,arctanyxy求求,tanarctanyxxy的反函数为的反函数为解解上单调、可导，上单调、可导，且在且在)2,2( ,sec)(tan02yy.sec1)(tan1)(arctan2yyx故故22211xyytansec而而同理可得第12页/共44页13例例3.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且,),(内内有有所所以以在在0)(1)(logyaaxaayln1.ln1ax解解,),(内单调、可导内单调、可导在在因为因为yax特别地.1)(lnxx axxaln1)(log第13页/共44页14三、复

7、合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )第14页/共44页15证证,)(0可可导导在在点点由由uufy ).(lim00ufuyu 得得).lim()(000 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim因此因此)(limxuxu

8、ufx 00 xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 第15页/共44页16推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例4 4.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuydxdududydxdyxucos1 xxsincos .cot x第16页/共44页17例例5 5.)tan(的导数的导数求函数求函数xy1解解xuuy1,tandxdududydxdyxu212 sec).(secxx1212第17页/共44页18例例6 6.)1(102的导数

9、的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例7 7解解, )(ln12xxy.y求求112xxy)(xx212112.112x第18页/共44页19例例8 8. )0()(11xxx ）证证明明：（)()(lnxex 证明证明）（1xeln )ln(x xx .1 x.）求（）求（xx2)()(lnxxxex)2(xxeln)ln(xxxx).ln(1x第19页/共44页20例例9 9.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),ln()ln(2311212xxy)(231211212xxxy.)(23112x

10、xx例例1010.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 第20页/共44页21四、初等函数的求导问题xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 第21页/共44页222211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.

11、函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu 可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数) )C 第22页/共44页233.复合函数的求导法则).()()()(),(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数设设 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意注意 初等函数的导数仍为初等函数.第23页/共44页24五、小结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu.)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时, 分界点

12、导数用左右导数求.反函数的求导法则（注意成立条件）;第24页/共44页25复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构.第25页/共44页269622P习题习题) 9 , 7 , 5 , 3 , 1 (12, 9),10, 8 , 6 , 4 , 2( 8),9 , 7 , 5 , 3 , 1 ( 7) 9 , 7 , 5 , 3 , 1 ( 6, 5),3 , 2( 3),10, 8

13、 , 6 , 4 , 2( 2第26页/共44页27思考题思考题幂函数在其定义域内（ ）.（1） 必必可可导导； （2）必必不不可可导导；（3）不不一一定定可可导导；第27页/共44页28思考题解答思考题解答正确地选择是（3）例32)(xxf ),( x在 处不可导，0 x )1(2)(xxf ),( x在定义域内处处可导， )2(第28页/共44页29一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设nxxyln ，则，则y = =_._.2 2、 设设xy1cosln ，则，则y = =_._.3 3、 设设xxy ，则，则y = =_._.4 4、 设设tttteeeey ，则，则y = =_._

14、.5 5、 设设)999()2)(1()( xxxxxf则则 )0(f = =_._.二、二、 求下列函数的导数：求下列函数的导数：1 1、 )1tanh(2xy ；2 2、 ysinhar)1(2 x；练练 习习 题题第29页/共44页30 3 3、 ycoshar)(2xe； 4 4、xxeycoshsinh ； 5 5、2)2(arctanxy ； 6 6、xey1sin2 ； 7 7、212arcsintty . .第30页/共44页31一、一、1 1、1ln1 nxxn； 2 2、xx1tan12； 3 3、xxxx 412； 4 4、t2cosh1； 5 5、-999!.-999!

15、.二、二、1 1、)1(cosh222xx ； 2 2、22224 xxx；3 3、1242 xxee； 4 4、)sinh(cosh2coshxxex ；5 5、2arctan442xx ； 6 6、xexx1sin222sin1 ；练习题答案练习题答案第31页/共44页327 7、 1,121,122222tttty. .第32页/共44页33思考题思考题 若若)(uf在在0u不可导，不可导，)(xgu 在在0 x可导，且可导，且)(00 xgu ，则，则)(xgf在在0 x处处（ ）（1）必可导；）必可导；（2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；第33页/共44页34

16、思考题解答思考题解答正确地选择是（3）例|)(uuf 在 处不可导，0 u取xxgusin)( 在 处可导，0 x|sin|)(xxgf 在 处不可导，0 x )1(取4)(xxgu 在 处可导，0 x44|)(xxxgf 在 处可导，0 x )2(第34页/共44页35一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设4)52( xy, ,则则y = =_._.2 2、 设设xy2sin , ,则则y = =_._.3 3、 设设)arctan(2xy , ,则则y = =_._.4 4、 设设xycosln , ,则则y = =_._.5 5、 设设xxy2tan10 ，则，则y = =_._.6

17、6、 设设)(xf可导，且可导，且)(2xfy ， 则则dxdy= =_._.7 7、 设设xkexftan)( , ,则则)(xf = =_， 若若ef 4 ，则，则 k_._.练练 习习 题题第35页/共44页36二、二、 求下列函数的导数：求下列函数的导数：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 设设)(xf，)(xg可导，且可导，且0)()

18、(22 xgxf, ,求函数求函数)()(22xgxfy 的导数的导数 . .四四、设设)(xf在在0 x处处可可导导，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x处处可可导导，证证明明 )(xfF在在0 x处处也也可可导导 . .第36页/共44页37一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、xxkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、122 xxx； 2 2、22sin2cos2xxxx

19、 ；3 3、221xa ； 4 4、xcsc； 5 5、242arcsin2xx ； 6 6、)1(2arctanxxex ；练习题答案练习题答案第37页/共44页38 7 7、22)(arccos12xx ； 8 8、)1(2)1(1xxx . .三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf . .第38页/共44页39思考题思考题 求曲线 上与 轴平行的切线方程.32xxy x第39页/共44页40思考题解答思考题解答232xy 令0 y0322 x321 x322 x切点为 964,32 964,32所求切线方程为964 y964 y和第40页/共44页41一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设xxysin ，则，则y = = _._.2 2、 设设xeayxx23 ，则则dxdy=_.=_.3 3、 设设)13(2 xxeyx, ,则则0 xdxdy=