函数极值PPT课件

1、函数极值的概念函数极值的概念设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) f ( x0 )，则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值， 点 x0 是 f ( x )的一个极小点；第1页/共11页取得极值的必要条件：如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f (x0)存在，则必有 f (x0)0。驻点：使导数 f (x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。 说明： 可导函数 f(x)的极值点必定是函数的驻点。但函数 f(x)的驻点却不一定是极值点。x yOf(x)x3第2页

2、/共11页 yxOabyf(x)x1 f (x1)0 x2 f (x2)0 x3 f (x3)0 x4 f (x5)0 x5观察与思考：极值与导数有何关系？ 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点。第3页/共11页函数极值的判定定理函数极值的判定定理设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f (x0) = 0(1)若在点 x0 的左侧近旁 f (x) 恒为正； 在点 x0 的右侧近旁 f (x)恒为负， 则函数 f (x)在点 x0 处取得极大值 f ( x0 ) (2)若在点 x0 的左侧近旁 f (x) 恒为负； 在点 x0 的右侧近旁 f (x)恒为正，

3、则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ( x0 ) 第4页/共11页 yxOx1x2abyf(x)在极大值点附近在极小值点附近 f (x)0 f (x)0 f (x)0第5页/共11页（）极值是一个局部概念并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小注意：第6页/共11页（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的

4、内部，也可能在区间的端点?f(?x?2?)?f(?x?4?)?f(?x?5?)?f(?x?3?)?f(?x?1?)?f(b)?f(a)?x?5?x?4?x?3?x?2?x?1?b?a?x?O?y第7页/共11页例1：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有（?）极小值点有（?） abxy)(xfyO abxy)(xfyOA1个?B2个?C3个?D?4个AB第8页/共11页 函数极值的求法(1) 确定函数的定义域；求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤：(2) 求出导数f(x)； (3) 令f (x)=0，求出 f (x)的全部驻点；(4)用驻点把定义域划分为部分区间， 考察每个部分区间内 f (x) 的符号， 以确定每个驻点是否是极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点。第9页/共11页例:求 (4) 列表讨论，如下：xf (x)f (x)(,2)+20(2 , 3)单调减少30(3 , + )单调增加函数在 x = 2处取得极小值62 在 x = 3处取得极大值16.524182323xxxy的单调区间和极值.解：(1) f (x) 的定义域为(,)；(2) f(x) =3x + 3x +