函数的求导法则91173PPT课件

1、思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义构造性定义 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了证明中利用了两个重要极限两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容本节内容第1页/共32页一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的的和和、 差差、 积积、 商商 (除分母除分母为为 0的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导, 且且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xv

2、xuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和并同时给出相应的推论和例题例题 .)0)(xv第2页/共32页此法则可推广到任意有限项的情形此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设设, 则则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如例如,第3页/共32页(2)vuvuvu )

3、(证证: 设设, )()()(xvxuxf则有则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxvhxvxuhxvxuhxvxuhxvhxuh)()()()()()()()(lim0 v (x)可导可导, 因此连续因此连续, 有有)()(lim0 xvhxvh 第4页/共32页推论推论: )()1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu ( C为常数为常数 ) )(uC)()(uCuCuC )()(vwuwvu)()( vwuv

4、wu) ()( vwwvuvwuuvwwvuvwu同理同理: )(zwvuuvwzzwvuwzvuwzvu )log(xa如axlnlnaxln1., 各因子轮流求导各因子轮流求导项项n第5页/共32页)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC(

5、C为常数 )第6页/共32页 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例1. 求证求证,sec)(tan2xx 证证: .cotcsc)(cscxxx xxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx .tansec)(secxxx 第7页/共32页 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导的某邻域内单调可导, 证证: 在在 x 处给增量处给增量由反函数的单调性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性

6、知且由反函数的连续性知 因此因此,)()(1的反函数的反函数为为设设yfxxfy 在在)(1yf 0 )(1 yf且且 dd xy或或,0 x)()(xfxxfy ,0 xyyx ,00 yx时必有时必有xyxfx 0lim)( lim0 yyx dydx 1 )(1 yf11 )(1 yf11第8页/共32页1例例2 2. 求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设设,arcsin xy 则则,sin yx , )2,2( y)(arcsin x)(sin yycos1 y2sin11 211x 类似可求得类似可求得?)(arccos x,11)(arctan

7、2xx 211)arccot(xx 211x xxarcsin2arccos 利用利用0cos y, 则则第9页/共32页2) 设设, )1,0( aaayx则则),0(,log yyxa)( xa)(log1 ya 1ayln1ayln aaxln xxe)e( 特别当特别当ea时时,第10页/共32页例例3 3).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 第11页/共32页,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1

8、hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf分段函数分段函数求导时求导时, , 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求. .第12页/共32页在点在点 x 可导可导, lim0 xxuxuuf )(xyxyx 0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点在点)(xgu 可导可导复合函数复合函数 fy )(xg且且dxdududyxy dd在点在点 x 可导可导,证证:)(ufy 在点在点 u 可导可导, 故故)(lim0ufuyu uuufy )(（当（当 时时 )0u0故有故有

9、)()(xguf uy)(uf)0()( xxuxuufxy )()(xguf 第13页/共32页例例4. 求下列导数求下列导数:).ln(tan) 1 (xy 解解: 设设,ln uy xutan dxdyydxdududy dxxdduudtanlnxu2sec1 xxx2cos1sincosxxcossin1第14页/共32页;)2( xy 解解: ;lnxexy .ln;xueyu 设设 dxdyydxdududy dxxddudeuln xeu1 xex1ln xx11x第15页/共32页;)()3( xx解解:;ln xxxexy .ln;xxueyu dxdyydxdududy

10、dxxdxdudeuln )1(lnxxxeu ) 1(lnxxx )(xx)(1幂函数幂函数 xxx)(ln指数函数指数函数xxx 第16页/共32页.)(sh)4( x解解: 2)(shxxeex2 xexexch 说明说明: 类似可得类似可得;sh)(chxx )(th xxxxchshth 2shxxeex ;ch12x 第17页/共32页例如例如,)(, )(, )(xvvuufy xydd)()()(xvuf yuvx uydd vuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广：推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广

11、到多个中间变量的情形.)(xfy第18页/共32页例例5. 设, )cos(lnxey 求求.ddxy解解:xydd)cos(1xe )sin(xe xe )tan(xxee xevvuuy;cos;ln设设dxdvdvdududy 第19页/共32页思考思考: 若若)(uf 存在存在 , 如何求如何求)cos(lnxef的导数的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(ln xe)cos(ln)(xeuuf 这两个记号含义不同这两个记号含义不同练习练习: 设设,)(xfffy .,)(yxf 求求可导可导其中其中).( )( )( xfxffxfffy 第20页/共32页例例6.

12、设, )1(ln2 xxy.y求解解: y112xx11212xx2112 x记记, )1(lnarsh2 xxx则则 )(arshx112 x(反双曲正弦反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见其它反双曲函数的导数见 P94例例16. 2shxxeex 的反函数的反函数第21页/共32页四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数 (P94) )(C0 )( x1 x )(sinxxcos )(cosxxsin )(tanxx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )

13、(xexe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsinx211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x 第22页/共32页2. 有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数为常数 )0( v3. 复合函数求导法则复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间都可导初等函数在定义区间都可导. )(C0 )(sinxxcos )(ln xx1由定义证由定义证 ,说明说明: 最基本的公式最基本的公式uyddxudd其它

14、公式其它公式用求导法则推出用求导法则推出.(个别点除外个别点除外).0, | :31点点在在如如xx第23页/共32页例例7. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln第24页/共32页例例9. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构

15、搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导第25页/共32页内容小结内容小结求导公式及求导法则求导公式及求导法则 (见见 P94)注意注意: 1),)(vuuv vuvu 2) 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导由外向内逐层求导 .41143 x1. xx1 431x思考与练习思考与练习对吗对吗? ?2114341xx 第26页/共32页2. 设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,第27页/共32页3. 求下列函数的导数解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln第28页/共32页4. 幂函数在其定义域内幂函数在其定义域内（ ）.正确地选择是正确地选择是（3）例例32)(xxf ),( x在在 处不可导，处不可导，0 x)1(2)(xxf ),( x在定义域内处处可导，在定义域内处处