全国各地中考数学解答题压轴题解析

1、2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（2）1（湖南长沙10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点a（0，2），点p是轴上一动点，以线段ap为一边，在其一侧作等边三角线apq。当点p运动到原点o处时，记q得位置为b。（1）求点b的坐标；（2）求证：当点p在轴上运动（p不与q重合）时，abq为定值；（3）是否存在点p，使得以a、o、q、b为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出p点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）过点b作bcy轴于点c，a(0,2)，aob为等边三角形，ab=ob=2，bao=60°，bc=，oc=ac=1。即b（）。（2）不失一般性，当点p在轴上运动（p

2、不与o重合）时，paq=oab=60°，pao=qab，在apo和aqb中，ap=aq，pao=qab，ao=ab，apoaqb总成立。abq=aop=90°总成立。当点p在x轴上运动（p不与q重合）时，abq为定值90°。（3）由（2）可知，点q总在过点b且与ab垂直的直线上，ao与bq不平行。当点p在轴负半轴上时，点q在点b的下方，此时，若aboq，四边形aoqb即是梯形，当aboq时，bqo=90°，boq=abo=60°。又ob=oa=2，可求得bq=。由（2）可知，apoaqb，op=bq=，此时p的坐标为（）。当点p在轴正半轴上时，

3、点q在点b的上方，此时，若aqob，四边形aoqb即是梯形，当aqob时，abq=90°，qab=abo=60°。又ab= 2，可求得bq=，由（2）可知，apoaqb，op=bq=，此时p的坐标为（）。综上所述，p的坐标为（）或（）。【考点】等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定。【分析】（1）根据题意作辅助线过点b作bcy轴于点c，根据等边三角形的性质即可求出点b的坐标。（2）根据paqoab=60°，可知pao=qab，得出apoaqb总成立，得出当点p在x轴上运动（p不与q重合）时，abq为定值90°。（3

4、）根据点p在的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。2.（湖南永州10分）探究问题：方法感悟：如图，在正方形abcd中，点e，f分别为dc，bc边上的点，且满足eaf=45°，连接ef，求证de+bf=ef感悟解题方法，并完成下列填空：将ade绕点a顺时针旋转90°得到abg，此时ab与ad重合，由旋转可得：ab=ad，bg=de, 1=2，abg=d=90°，abg+abf=90°90°=180°，因此，点g，b，f在同一条直线上eaf=45° 23=badeaf=90°45°

5、;=45°1=2， 13=45°即gaf=_又ag=ae，af=afgaf_=ef，故debf=ef 方法迁移：如图，将rtabc沿斜边翻折得到adc，点e，f分别为dc，bc边上的点，且eaf=dab试猜想de，bf，ef之间有何数量关系，并证明你的猜想问题拓展：如图，在四边形abcd中，ab=ad，e，f分别为dc,bc上的点，满足eaf=dab,试猜想当b与d满足什么关系时，可使得de+bf=ef请直接写出你的猜想（不必说明理由）【答案】解：（1）eaf、eaf、gf。（2）debf=ef。证明如下：假设bad的度数为，将ade绕点a顺时针旋转得到abg，此时ab与a

6、d重合，由旋转可得：ab=ad，bg=de, 1=2，abg=d=90°,abg+abf=90°90°=180°，点g，b，f在同一条直线上。eaf=， 2+3=badeaf，即。1=2， 13=，即gaf=eaf。又ag=ae，af=af，gafeaf（sas）。gf=ef。又gf=bgbf=de+bf， debf=ef。（3）当b与d互补时，可使得debf=ef。【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换（折叠问题），等量代换。【分析】（1）利用角之间的等量代换得出gaf=fae，再利用sas得出gafeaf，得出答案。（2）

7、利用旋转的性质，由已知得出gaf=fae，再证明agfaef，即可得出答案。（3）根据角之间关系，只要满足bd=180°时，就可以得出三角形全等，即可得出答案：如图，将ade绕点a顺时针旋转得到abg后，此时ab与ad重合，由旋转可得：abg=d，abfd=180°，abgabf=180°，点g，b，f在同一条直线上。eaf= , daebaf=badeaf，即。bag =dae bag +baf =，即gaf=eaf。又ag=ae，af=af，gafeaf（sas）。gf=ef。又gf=bgbf=debf， debf=ef。3.（湖南常德10分）如图，已知抛物线

8、过点a（0，6），b（2，0），c(7，)。（1）求抛物线的解析式；（2）若d是抛物线的顶点，e是抛物线的对称轴与直线ac的交点，f与e关于d对称，求证：cfe=afe;（3）在y轴上是否存在这样的点p，使afp与fdc相似，若有，请求出所有符合条件的点p的坐标；若没有，请说明理由。【答案】解：（1）设抛物线解析式为，将a、b、c三点坐标代入，得，解得。抛物线解析式为。（2）证明：设直线ac的解析式为，将a、c两点坐标代入，得，解得。直线ac的解析式为 。，d（4，2），e（4，4）。f与e关于d对称，f（4，8）。则直线af的解析式为，cf的解析式为。直线af，cf与轴的交点坐标分别为（，0

9、），（，0）。4=4，两个交点关于抛物线对称轴=4对称。cfe=afe。（3）解：存在设p（0，d），则由点p在点a下方，得ap=6d ，af=，fd=2（8）=6，cf=。当afpfdc时，即，解得d= ；当afpfcd时，即，解得d=2。p点坐标为（0，）或（0，2）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）设抛物线解析式为，将a、b、c三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式。（2）求直线ac的解析式，确定e点坐标，根据对称性求f点坐标，分别求直线af，cf的解析式，确定两直线与轴的交点坐标，判断两

10、个交点关于抛物线对称轴对称即可。（3）存在由cfe=afe=fap，afp与fdc相似时，顶点a与顶点f对应，根据afpfdc，afpfcd，两种情况求p点坐标。4.（湖南郴州10分）如图，在平面直角坐标系中，a、b两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），p是线段ab上的一动点（不与a、b重合），坐标为（m，1m）（m为常数）（1）求经过o、p、b三点的抛物线的解析式；（2）当p点在线段ab上移动时，过o、p、b三点的抛物线的对称轴是否会随着p的移动而改变；（3）当p移动到点（，）时，请你在过o、p、b三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与p、b两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标【答案

11、】解：（1）设抛物线的解析式为，抛物线过原点o（0，0）c=0。把b、p两点的坐标分别代入，得，解得。（2）由（1）可知抛物线的对称轴是。过o、p、b三点的抛物线的对称轴是否会随着p的移动而改变。（3）设抛物线的对称轴与轴交于点k，过点k作pb的垂直平分线交抛物线于q1，q2两点则q1pb，q2pb是等腰三角形。p点的坐标是（，），op的解析式是，且q1q2op，点k（，0），q1q2的解析式是：，抛物线的解析式为：。联立，即得直线和抛物线的交点q1，q2两点的坐标是。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解方程

12、组。【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，b点，p点可列出方程求出，的值确定解析式。（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变。（3）作出对称轴与轴的交点为k，过k点作pb的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求。5.（湖南湘潭10分）已知，ab是o的直径，ab=8，点c在o的半径oa上运动，pcab，垂足为c，pc=5，pt为o的切线，切点为t（1）如图（1），当c点运动到o点时，求pt的长；（2）如图（2），当c点运动到a点时，连接po、bt，求证：pobt；（3）如图（3），设pt2=，ac=，求与的函数关系式及的最小值【答案】解：（1）连接ot， 当c点运动到

13、o点时，pt为o的切线，otpt,在rtpto中，(2)连接at，当c点运动到a点时，pcab，pa是o的切线。pt为o的切线，pa=pt，po平分apt。poat。ab是o的直径，atb是直角，即btat。pobt。连接op、ot，ac=，在rtpco中，在rtpot中，,，即。当=4时，最小其值为9。与的函数关系式为， 的最小值是9。【考点】圆切线的性质，平行的判定，二次函数的最值，勾股定理。【分析】（1）连接ot，根据题意，由勾股定理可得出pt的长。（2）连接at，由poat和btat即可证出结论。（3）连接op、ot，在rtpco和rtpot中应用勾股定理，可得出与之间的关系式，从而求

14、得的最小值6.（湖南张家界12分）如图，抛物线经过点a（4，0）、b（2，2），连接ob、ab，（1）求该抛物线的解析式.（2）求证：oab是等腰直角三角形.（3）将oab绕点o按逆时针方向旋转135°，得到oab，写出ab的中点p的坐标，试判断点p是否在此抛物线上.（4）在抛物线上是否存在这样的点m，使得四边形abom成直角梯形，若存在，请求出点m坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）由a（4，0）、b（2，2）在抛物线图象上，得： ，解之得，。 该函数解析式为： 。（2）过点b作bc垂直于轴，垂足是点c。 易知：线段co、ca、cb的长度均为2， abc

15、和obc为全等的等腰直角三角形。 且abo=900。oab是等腰直角三角形。（3）如图，将oab绕点o按逆时针方向旋转135°，得到oab其中点b正好落在轴上且ba轴又b和ab的长度为ab中点p的坐标为，显然不满足抛物线方程。点p不在此抛物线上。（4）存在。过点o，作omab交抛物线于点m易求出直线om的解析式为：联立抛物线解析式得： 解之得，点m（6，6）。显然，点m（6，6）关于对称轴的对称点m（2,6）也满足要求，故满足条件的点m共有两个，坐标分别为（6，6）和（2，6）。sabom=sabosaom =×4×2+×4×6=16。【考点】

16、二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定，旋转的性质。【分析】（1）将a（4，0）、b（2，2）代入抛物线解析式，列方程组求、的值即可。（2）根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，判断三角形的形状。（3）根据oab的形状，旋转方向，旋转角，画出图形，可求a、b的坐标，根据中点坐标公式求p的坐标，代入抛物线解析式进行判断。（4）存在过点o，作omab交抛物线于点m，根据oab为等腰直角三角形，可求直线om的解析式，与抛物线解析式联立，可求m点坐标，同理，过点a，作amob交抛物线于点m，联立方程组可求m的坐标，由图形的特殊性可知，两种情况下，梯形面积相等，根据梯形面积公

17、式求解。7. （湖南衡阳10分）已知抛物线（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与轴总有两个不同的交点（2）如图，当抛物线的对称轴为直线=3时，抛物线的顶点为点c，直线=1与抛物线交于a、b两点，并与它的对称轴交于点d抛物线上是否存在一点p使得四边形acpd是正方形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由；平移直线cd，交直线ab于点m，交抛物线于点n，通过怎样的平移能使得以c、d、m、n为顶点的四边形是平行四边形【答案】解：（1）当=0时，得关于的一元二次方程该方程根的判别式=m24m+7=（m2）2+30方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个不同的交点。（2）由直线=1与抛物线

18、交于a点，且在轴上，点a（1，0）代入二次函数函数式则m=3。二次函数式为：。当抛物线的对称轴为直线=3时，则=2，即顶点c为（3，2）。把=3代入直线=1则=2，即点d（3，2）。则ad=ac=2。设点p（，），由直线ad的斜率与直线pc的斜率相等，得。解得：=3或=5则点p（3，2）（与点d重合舍去）或（5，0）。经检验点（5，0）符合，所以点p（5，0）。设直线cd平移个单位可使得c、d、m、n为顶点的四边形是平行四边形，则m（3，2），n（3，（3）23（3）。根据平行四边形对边平行且相等的判定，只要mn=dc=4。（）当点m在点n上方，得（2）=4，整理，得22=0，解得，=0（与d

19、c重合，舍去），=2。（）当点m在点n下方，得（2）=4整理，得2216=0，解得，=。综上所述，直线cd向右平移2或个单位或向左平移个单位，可使得c、d、m、n为顶点的四边形是平行四边形。【考点】二次函数综合题，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的判定，平移的性质，平行四边形的判定，解一元二次方程。【分析】（1）从函数的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得。 （2）由直线=1与抛物线交于a、b两点，求得点a，代入抛物线解析式得m，由直线ad的斜率与直线pc的斜率相等，求得点p坐标。设定m、n的坐标，从mn与cd的位置关系解得。8.（湖南

20、怀化10分）在矩形aobc中，ob=6，oa=4，分別以ob，oa所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系f是bc上的一个动点（不与b、c重合），过f点的反比例函数的图象与ac边交于点e（1）求证：aeao=bfbo；（2）若点e的坐标为（2，4），求经过o、e、f三点的抛物线的解析式；（3）是否存在这样的点f，使得将cef沿ef对折后，c点恰好落在ob上？若存在，求出此时的of的长：若不存在，请说明理由【答案】解：（1）证明：e，f点都在反比例函数图象上，根据反比例函数的性质得出，aeao=bfbo。（2）设经过o、e、f三点的抛物线的解析式为，点e的坐标为（2，4），aeao=bfb

21、o=8。bo=6，bf=，f（6，），把o、e、f三点的坐标分别代入二次函数解析式得：，解得：。经过o、e、f三点的抛物线的解析式为。（3）如果设折叠之后c点在ob上的对称点为c'，连接c'e、c'f，过e作eg垂直于ob于点g，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有：设bc'=，bf=，则c'f=cf=点的坐标f（6，），e（1.5，4）。ec'=ec=，在rtc'bf中， 。rtegc'rtc'bf，（）：（）=4：=（）： 。解得：，f点的坐标为（6，）。of= 。【考点】相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的

22、坐标特征，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）的性质，勾股定理。【分析】（1）根据反比例函数的性质得出，即可得出aeao=bfbo。（2）利用e点坐标首先求出bf= ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。9.（湖南益阳12分）图是小红设计的钻石形商标，abc是边长为2的等边三角形，四边形acde是等腰梯形，aced，eac=60°，ae=1（1）证明：abecbd；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现am=mn=nc，请证明此结论；（4）求线段bd的长【答案】解：

23、（1）证明：abc是等边三角形，ab=bc，bac=bca=60°。四边形acde是等腰梯形，eac=60°，ae=cd，acd=cae=60°。baccae=120°=bcaacd。即bae=bcd。在abe和bcd中，ab=bc，bae=bcd，ae=cd，abecbd（sas）。（2）存在答案不唯一如abncdn证明如下：ban=60°=dcn，anb=dnc，anbcnd其相似比为：。（3）由（2）得 ，cn=an=ac同理am=ac，am=mn=nc。（4）作dfbc交bc的延长线于f，bcd=120°，dcf=60

24、6;。在rtcdf中，cdf=30°，cf=cd=。在rtbdf中，bf=bccf=，df=， 。【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰梯形的性质。【分析】（1）由abc是等边三角形，得ab=bc，bac=bca=60°，由四边形acde是等腰梯形，得ae=cd，acd=cae=60°，利用“sas”判定abecbd。（2）存在可利用abcd或aebc得出相似三角形。（3）由（2）的结论得 ，即cn=ac，同理，得am=ac，可证am=mn=nc。（4）作dfbc交bc的延长线于f，在rtcdf中，由c

25、df=30°，cd=ae=1，可求cf，df，在rtbdf中，由勾股定理求bd。10.（湖南邵阳12分）如图所示，在平面直角坐标系o中，已知点a(，0)，点c(0，3)，点b是轴上一点(位于点a的右侧)，以ab为直径的圆恰好经过点c（1）求acb的度数；（2）已知抛物线经过a、b两点，求抛物线的解析式；（3）线段bc上是否存在点d，使bod为等腰三角形若存在，则求出所有符合条件的点d的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：(1) 以ab为直径的圆恰好经过点c ， acb=900。(2) aocabc，oc2=ao·ob。a(，0)，点c（0，3）， ao=，oc=3。 32

26、=ob，ob=4。b（4，0）。设抛物线的解析式为把 c点坐标代入得 ，解得抛物线的解析式为，即。(3) 存在。分两种情况讨论： od=ob , d在ob 的中垂线上，过d作dhob,垂足是h ，则h 是ob 中点。dh=oc，oh=ob 。d（2，）。 bd=bo，过d作dgob,垂足是g，则oc=3，ob=bd=4，bc=5，cd=1，dgcoog:ob=cd:cb，即og:4=1:5，og=； dg:co=bd:bc，即dg:3=4:5，dg=。d(，)。综上所述，线段bc上存在点d，使bod为等腰三角形，点d的坐标为（2，），(，)。【考点】二次函数综合题，圆周角定理，相似三角形的判定

27、和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定，平行的性质。【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到acb的度数。（2）利用三角形相似求出点b的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式。（3）分别以ob为底边和腰求出满足bod是等腰三角形的点d的坐标。11.（湖南岳阳10分）九 （1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践应用探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式（2

28、）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：i如图，在抛物线内作矩形abcd，使顶点c、d落在拋物线上，顶点a、b落在轴 上设矩形abcd的周长为，求的最大值ii如图，过原点作一条=的直线om，交抛物线于点m，交抛物线对称轴于点n，p 为直线0m上一动点，过p点作轴的垂线交抛物线于点q问在直线om上是否存在点p，使以p、n、q为顶点的

29、三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出p点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25）， 设抛物线的解析式为。图象过（10，0）点，解得。抛物线的解析式为。（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，=2把=2代入解析式得：=0.25（25）2+6.25，=4。43.5=0.5，隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶。（3）i假设ao=，可得ab=102，ad=0.25（5）2+6.25。矩形abcd的周长为为：=2+2（102）=0.52+20=0.5（1）2+20.5。l的最大值为20.5。ii当以p、n、q

30、为顶点的三角形是等腰直角三角形，p在=的图象上，设p（，）。过p点作轴的垂线交抛物线于点qpoa=opa=45°，n点的坐标为（5，5）q点的坐标为（，5）。把q点的坐标代入，得，解得。使以p、n、q为顶点的三角形是等腰直角三角形，p点的坐标为：（，）或（，）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点和最值，等腰直角三角形的性质。【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可。（2）根据已知得出当=2时，正好是两辆汽车的宽度，求出即可。（3）i首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出。ii利用等腰直角三角形的性质，以及p在=的图象上，即可得

31、出p点的坐标。12.(湖南湘西20分)如图.抛物线与轴相交于点a和点b,与轴交于点c.(1)求点a、点b和点c的坐标.(2)求直线ac的解析式.(3)设点m是第二象限内抛物线上的一点,且smab=6求点m的坐标.(4)若点p在线段ba上以每秒1个单位长度的速度从a运动(不与b,a重合),同时,点q在射线ac上以每秒2个单位长度的速度从a向c运动.设运动的时间为t秒,请求出apq的面积s与t的函数关系式,并求出当t为何值时, apq的面积最大,最大面积是多少?【答案】解：（1）令，解得，a(3，0)，b.(1，0)。令，得，c(0，3)。(2)设直线ac的解析式为，将a、c的坐标代入，得 ， 解

32、之得。直线ac的解析式为。(3)设m点的坐标为(,)，m在第二象限, >0。 又ab=4，由smab=6，得，解之，得,。当=0时，=3(不合题意，舍去)，当=-2时，=3，m点的坐标为(2，3) 。 (4)由题意，得ab=4，pb=4t, aq=2t，ao=3，co=3，abc是等腰直角三角形。由aq=2t和q点在上，得q点的纵坐标为t。s= 。又s=当t=2时apq最大，最大面积是2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，诗定系数法，解一元二次方程和二元一次方程组，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）令=0求得抛物线与轴的交点坐标，令=0求得图象与

33、轴的交点坐标。（2）利用已知的两点的坐标用待定系数法求得一次函数的解析式。（3）设出点m的坐标为(,)，然后表示出其面积 ，解得即可。（4）用t表示出apq的底边和高，即可求出s与t的函数关系式，利用二次函数的性质求出s的最大值。13.（湖南娄底10分）在等腰梯形abcd中，adbc，且ad=2，以cd为直径作o1，交bc于点e，过点e作efab于f，建立如图所示的平面直角坐标系，已知a，b两点的坐标分别为a（0，2），b（2，0）（1）求c，d两点的坐标（2）求证：ef为o1的切线（3）探究：如图，线段cd上是否存在点p，使得线段pc的长度与p点到轴的距离相等？如果存在，请找出p点的坐标；如

34、果不存在，请说明理由【答案】解：（1）连接de，cd是o1的直径，debc。四边形adeo为矩形oe=ad=2，de=ao=2。在等腰梯形abcd中，dc=ab，ce=bo=2，co=4。c（4，0），d（2，2）。（2）连接o1e，在o1中，o1e=o1c，o1ec=o1ce。在等腰梯形abcd中，abc=dcb，o1eab。又efab，o1eef。e在ab上，ef为o1的切线。（3）存在满足条件的点p如图，过p作pm轴于m，作pn轴于n，依题意得pc=pm，在矩形ompn中，on=pm，设on=，则pm=pc=，cn=4，在rtabo中，tanabo=，abo=60°，pcn=a

35、bo=60°。在rtpcn中，cospcn=，即，。pn=cntanpcn=。满足条件的p点的坐标为（）。【考点】坐标与图形性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，等腰梯形的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）连接de，由等腰梯形的对称性，根据线段的等量关系可求c，d两点的坐标。（2）连接o1e，由半径o1e=o1c，得o1ec=o1ce，由等腰梯形的性质，得abc=dcb，故o1ec=abc，可证o1eab，由efab，证明o1eef即可。（3）存在过p作pm轴于m，作pn轴于n，由pc=pm，设on=，则pm=pc=，cn=4，在rtabo和rtp

36、cn中，由锐角三角函数定义即可求。14.（湖南株洲10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点o，两直角边与该抛物线交于a、b两点，请解答以下问题：（1）若测得oa=ob=（如图1），求的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过b作轴于点f，测得of=1，写出此时点b的坐标，并求点的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点o旋转任意角度时惊奇地发现，交点a、b的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标【答案】解：（1）设线段ab与轴的交点为c，由抛物线的对称性可得c为a

37、b中点， oa=ob=，aob=900，ac=oc=bc=2。b(2，2)。 将b(2，2)代入抛物线得，。（2）过点a作轴于点e，点b的横坐标为，b (1，)。bf=。又aob=900，易知aoe=obf。又，aeo=ofb=900，aeoofb，。 ae=2oe。设点a（，）（），则，。，即点a的横坐标为4。 （3）设a（，）（），b（，）（），设直线ab的解析式为：， 则 ，得，。又易知aeoofb，。由此可知不论为何值，线段ab恒过点（，2）。【考点】二次函数综合题，抛物线的对称性，等腰直角三角形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。

38、【分析】（1）先求出b点坐标，代入抛物线得的值。（2）过点a作ae轴于点e，可证aeoofb，得出ae=2oe，可得方程点a的横坐标。（3）设a（，）（），b（，）（），易知aeoofb，根据相似三角形的性质可知交点a、b的连线段总经过一个固定的点（0，2）。15.（湖北武汉12分）如图1，抛物线经过a（3，0），b（1，0）两点.   （1）求抛物线的解析式；    （2）设抛物线的顶点为m，直线与轴交于点c，与直线om交于点d.现将抛物线平移，保持顶点在直线od上.若平移的抛物线与射线cd（含端点c）只有一个公共点，求它

39、的顶点横坐标的值或取值范围；    （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于e，f两点.问在y轴的负半轴上是否存在点p，使pef的内心在轴上.若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）抛物线经过a（3,0），b（1,0）两点  ，解得。抛物线的解析式为。（2）由（1）配方得，抛物线的顶点m（2，,1）。直线od的解析式为。设平移的抛物线的顶点坐标为（h，h），平移的抛物线解析式为.当抛物线经过点c时，c（0，9），h2+h=9，   解

40、得h=。 当 h< 时，平移的抛物线与射线cd只有一个公共点。 当抛物线与直线cd只有一个公共点时， 由y 得，=（2h2）24（h2h9）=0，  解得h=4。 此时抛物线y=（x4）22与射线cd唯一的公共点为（3，3），符合题意。综上所述：平移的抛物线与射线cd只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或h<.（3）将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为设ef的解析式为=k+3（k0）.    假设存在满足题设条件的点p（0，

41、t），如图，过p作gh轴，分别过e，f作gh的垂线，垂足为g，hpef的内心在y轴上，gep=epq=qpf=hfp。gephfp。 。  2ke·f=（t3）（ef）  由，=k+3.得2k3=0， e+f=k, e·xf=3。2k（3）=（t3）k。k0,t=3。y轴的负半轴上存在点p（0，3），使pef的内心在y轴上。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，平移的性质，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，三角形内心的性质，相似三角形的判

42、定和性质，一元二次方程根与系数的关系。【分析】（1）根据抛物线经过点a（-3，0），b（-1，0）两点，代入解析式求出即可。（2）由（1）配方得，利用函数平移当抛物线经过点c时，当抛物线与直线cd只有一个公共点时，分别分析求出。（3）由三角形内心的性质，应用相似三角形的判定和性质和一元二次方程根与系数的关系，即可求得。16.（湖北黄石10分）已知二次函数（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。（2）以抛物线的顶点a为一个顶点作该抛物线的内接正三角形amn（m，n两点在抛物线上），请问：amn的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。（3）若抛物线与轴交点的横坐标

43、均为整数，求整数的值。【答案】解：（1），的对称轴为。又当时，函数值随的增大而减小，由题意得，。（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与mn交于点b，则。设，。又 。 ，。为定值。（3）令，即时，有，由题意，为完全平方数，令，即。为整数，的奇偶性相同。或，解得或。综合得，。【考点】二次函数综合题。【分析】（1）求出二次函数的对称轴，由于抛物线的开口向上，在对称轴的左边随的增大而减小，可以求出的取值范围。（2）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，得到三角形amn的面积是无关的定值。（3）当时，求出抛物线与轴的两个交点的坐标，然后确定整数的值。1

44、7.（湖北十堰12分）如图，已知抛物线与轴交于点a（1，0）和点b，与y轴交于点c（0，3）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），已知点h（0，1）.问在抛物线上是否存在点g（点g在轴的左侧），使得sghc=sgha？若存在，求出点g的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图（2），抛物线上点d在轴上的正投影为点e（2，0），f是oc的中点，连接df，p为线段bd上的一点，若epf=bdf，求线段pe的长.【答案】解：（1）抛物线经过a（1，0）和点c（0，3）， ，解得。 抛物线的解析式是。(2)假设抛物线上存在点g，设g（m，n）,显然，当n=3时，agh不存在。当n3时，可求得gh与

45、轴的交点坐标（，0），可得sagh= ，sghc= m。由sagh= sghc得， mn1=0。，解得 m= ,n= ,或m= , n=。点g在y轴的左侧，g（，）、当4n<3时，可得sagh=, sghc= m。由sagh= sghc得，3mn1=0。，解得 或 。点g在y轴的左侧，g（1，4）。存在点g（，）或（1，4）。(3) 如图，e(2,0), d点的横坐标是2，点d在抛物线上，d（2，3）。f是oc中点，f（0，）。直线df的解析式为= 。则它与轴交于点q（2，0），则qb=qd=5，be=1，bd=，df=。由qb=qd，得qbd=qdb。bpe+epf+fpd=dfp+p

46、df+fpd=180°，epf=pdf，bpe=dfp。可证pbefdp，得pb·dp=，pb+dp=bd=。pb=。即p是bd的中点，连接de ，在rtdbe中，pe=bd=。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】（1）由抛物线与轴交于点a（1，0）和点b，与y轴交于点c（0，3）。利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。（2）设g（m，n），分n3和4n<3两种情况讨论即可。（3）利用待定系数法求得直线df的解析式，即可证得pbefdp

47、，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。18.（湖北荆州12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形oabc与cdef的边oc、oa所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系（o、c、f三点在x轴正半轴上）.若p过a、b、e三点(圆心在轴上)，抛物线经过a、c两点，与轴的另一交点为g，m是fg的中点，正方形cdef的面积为1.（1）求b点坐标；（2）求证：me是p的切线；（3）设直线ac与抛物线对称轴交于n，q点是此对称轴上不与n点重合的一动点，求acq周长的最小值；若fq，sacq，直接写出与之间的函数关系式.【答案】解：（1）如图，连接pe、pb，设pc，正方形cdef面积为1，cdcf1。根据

48、圆和正方形的对称性知oppc，bc2pc2。而pbpe，。解得 (舍去) 。bcoc2。 b点坐标为。（2）如图，由（1）知a，c，a，c在抛物线上，。抛物线的解析式为，即。抛物线的对称轴为即ef所在直线。c与g关于直线对称，cffg1、fmfg。在rtpef与rtemf中， ，pefemf 。epffem，pempef+fempef+epf90°。me与p相切。（3）如图，延长ab交抛物线于a，连接ca交对称轴于q，连接aq，则有aqaq，acq周长的最小值为（ac+ ac）的长。a与a关于直线对称，a，a。ac。而ac= ，acq周长的最小值为。当q点在f点上方时，； 当q点在线

49、段fn上时，；当q点在n点下方时，。 【考点】二次函数综合题，圆和正方形的性质，勾股定理，曲线上点的坐标 与方程的关系，相似三角形的判定和性质，直线和圆相切的判定，轴对称和中心对称的性质。【分析】（1）如图甲，连接pe、pb，设pc=，由正方形cdef的面积为1，可得cd=cf=1，根据圆和正方形的对称性知：op=pc=，由pb=pe，根据勾股定理即可求得的值，从而求得b的坐标。（2）由（1）知a（0，2），c（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得fm的长，则可得pefemf，则可证得pem=90°，即me是p的切线。（3）如图乙，延长ab交抛物线于a，连ca交对称轴于q，连接

50、aq，则有aq=aq，acq周长的最小值为ac+ac的长，利用勾股定理即可求得acq周长的最小值。分别当q点在f点上方，在线段fn上时，在n点下方时去分析即可求得答案：当q点在f点上方时，如上图，=saofqsaocsqcf =（+2）×3×2×2×1×=1；当q点在线段fn上时，如右图，=sahqsaocsocqh =（+2）×3×2×2×（23）×=1；当q点在n点下方时，如右图，=saqisaifcscfq =（+2）×3×（13）×2×1×

51、;=1。19.（湖北宜昌11分）已知抛物线与直线=m+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，）和（m，m2m+n），其中 ，m，n为实数，且，m不为 0（1）求的值；（2）设抛物线与轴的两个交点是（1，0）和（2，0），求12的值；（3）当11时，设抛物线上与轴距离最大的点为p（0，0），求这时|0丨的最小值【答案】解：（1）（0，）在上， ， 。（2）（0，）在=m+n上， n。抛物线与直线另一交点的坐标为（m，m2m） 点（m，m2m+n）在上， m2m（m）2（m），（1）（m）20。若（m）0，则（m， m2mn）与（0，）重

52、合，与题意不合。 1。抛物线，就是。 2424×（）0， 抛物线与轴的两个交点的横坐标就是关于的方程的两个实数根，由根与系数的关系，得12。（3）抛物线的对称轴为，最小值为。设抛物线在轴上方与轴距离最大的点的纵坐标为h，在轴下方与轴距离最大的点的纵坐标为h。当<1，即2时，在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），ho。在轴下方与轴距离最大的点是（1，o），hyo。 hh这时o的最小值大于。 当10，即02时，在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），hyo，当0时等号成立。在轴下方与轴距离最大点的是 （，），h，当0时等号成立。这时o的最小值等

53、于。 当01，即20时,在轴上方与轴距离最大的点是（1，yo），hyo1（1）。在轴下方与轴距离最大的点是 （，），hyo。 这 时 o的 最 小 值 大 于 。 当1，即2时，在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），h。在轴下方与轴距离最大的点是(1，o)，h（），hh。这时o的最小值大于。综上所述，当0，00时，这时o取最小值，为o。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值。【分析】（1）把点（0，）代入抛物线可以求出的值。（2）把点（0，）代入直线得n=，然后把点（m，m2m+n）代入抛物线，整理后可确定的值，把，的值代入抛物线，当=0时由一元二次方程根与系数的关系可以求出12的值。（3）求出抛物线的顶点（，），分<1，10，01和1四种情况讨论，确定|0|的最小值。2