高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念优质课件 新人教A版选修2-2

1、1第一章1.1变化率与导数1.1.1变化率问题 1.1.2导数的概念2学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.3问题导学达标检测题型探究内容索引4问题导学5知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数yf(x)表示.自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).思考思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案答案自变量x的改变量为x

2、2x1，记作x，函数值的改变量为y2y1，记作y.6思考思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？7梳理梳理函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(2)实质： 的增量与 的增量之比.(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢.(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点，则平均变化率 表示割线P1P2的 .函数值自变量斜率8思考思考2当t趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？知识点二瞬时速度思考思考1物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2.试求物体在1,1t这段时间内的平均速度.9梳理梳理瞬时速度(1)物体在 的

3、速度称为瞬时速度.(2)一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物体在t0到t0t这段时间内某一时刻极限10知识点三函数在某点处的导数f(x0)或0|x xy111.在平均变化率中，函数值的增量为正值.()2.瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量.()3.函数yf(x)在xx0处的导数值与x的正、负无关.()思考辨析 判断正误12题型探究13类型一函数的平均变化率解答14解解在x1附近的平均变化率为在x2附近的平均变化率为在x3附近的平均变化率为15由于k1k2v乙B.v甲v乙C.v甲v乙D.大小关系不确定解析解析设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的

4、几何意义知，s1(t)在0，t0上的平均变化率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平均变化率v乙kBC.因为kACkBC，所以v甲v乙.解析答案23类型二求瞬时速度物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.解答例例3某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度.24引申探究引申探究1.若例3中的条件不变，试求物体的初速度.解解求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度.解答物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.252.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/

5、s.解解设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.解答则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.26反思与感悟反思与感悟(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误.(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)；27跟踪训练跟踪训练3一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.解解质点M在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率.质点M在t2附近的平均变化率为解答28类型三导数定义的应用解析答案29解答30

6、反思与感悟反思与感悟(1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤求函数的增量yf(x0 x)f(x0)；(2)瞬时变化率的变形形式31跟踪训练跟踪训练4已知f(x)3x2，f(x0)6，求x0.解答又f(x0)6，6x06，即x01.32达标检测331.设函数yf(x)x21，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为 A.2.1 B.1.1 C.2 D.0解析12345答案34A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度B.18 m/s是物体从3 s到(3t)s这段时间内的速度C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度D.18 m/s是物体从3 s到(3t)s这段时间内

7、的平均速度12345答案353.设函数f(x)ax3，若f(1)3，则a等于 A.2 B.2 C.3 D.312345解析答案因为f(1)3，所以a3.36答案解析4.如图，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是_.解析解析由平均变化率的定义可知，函数yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上平均变化率分别为 结合图象可以发现函数yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x4.12345x3，x437123455.一物体的运动方程为s(t)7t213t8，则t0_时该物体的瞬时速度为1.答案解析114t0131，得t01.38理解平均变化率要注意以下几点：规律与方法(3)函数的