极坐标、参数方程总复习选修4-4

1、定义：设定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中是平面直角坐标系中任意一点，在变换任意一点，在变换(0):(0)xxyy 的作用下，点的作用下，点P(x,y)对应对应P/(x/,y/).称称 为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换。 4注注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。缩变换。0,01)2(032) 1 (32222yxyxyy

2、xx、后的图形。换对应的图形经过伸缩变，求下列方程所、在平面直角坐标系中例2.在同一直角坐标系下，求满足下列在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变变为曲线为曲线x2+y2=13.在同一直角坐标系下，经过伸缩变在同一直角坐标系下，经过伸缩变换换 后，后，曲线曲线C变为变为x29y2 =1，求曲线，求曲线C的的方程并画出图形。方程并画出图形。x=3xy=yx/=1/3x, y/=1/2yx2-y2=1/9二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点MM，用用 表示线段表示线段OMO

3、M的长度，的长度，用用 表示从表示从OXOX到到OM OM 的的角度，角度， 叫做点叫做点MM的的极径极径， 叫做点叫做点MM的的极角极角，有序，有序数对数对（ ， ）就叫做就叫做MM的的极坐标。极坐标。特别强调：特别强调： 表示线段表示线段OM的长度，即点的长度，即点M到到极点极点O的距离；的距离； 表示从表示从OX到到OM的角度，即的角度，即以以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。四、极坐标系下点与它的极坐标的四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况对应情况1给定（给定（ , ）,就可以在就可以在极坐标极坐标平面内确定唯一的平面内确定唯一的一点一点M。2给定平面

4、上一点给定平面上一点M，但，但却有无数个极坐标与之对却有无数个极坐标与之对应。应。 原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)直角坐标系中的点与坐标之间有什么对应关系如果如果限定限定0,02 那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐平面内的点和极坐标标 就可以就可以一一对应一一对应了了.我们约定我们约定,极点的极坐标是极点的极坐标是极径极径=0,极极角是角是任意角任意角.（1）在极坐标系中，极径允许取负值，在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以极角也可以是是任意的正角或负角任意的正角或负角（2）当当 0时，点时，点M 位于极角终边位于极角终边的反向延长线上，且的反向延长

5、线上，且OM= 。 的扩充的扩充（ ， ） （3）M 也可以表示为也可以表示为（ ， ）) 12(,()2,(kk或3、负极径的规定、负极径的规定例例3.设点设点A（2，/3），直线），直线l l为过极点且垂为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直关于极轴，直线线l, l, 极点的对称点的极坐标（限定极点的对称点的极坐标（限定 0.-0)，且垂直，且垂直于极轴的直线于极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点( , )M 为直线为直线L上除点上除点A外的任外的任意一点，连接意一点，连接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cos

6、OMMOAOA即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。练习：练习：设点设点A的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过过点点A且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的的极坐标方程。极坐标方程。 ( ,0)a ll解：如图，设点解：如图，设点( , )M 为直线为直线 上异于的点上异于的点Al连接连接OM， oMx A在在 中有中有 MOA sin()sin()a 即即sin()sina显然显然A点也满点也满足上方程。足上方程。例题例题3设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的

7、极坐标方程。的极坐标方程。 11(,) lloxMP 1 1 解：如图，设点解：如图，设点( , )M 点点P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM为直线上除为直线上除则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知 ,OMxOM1OP 1xOP 设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。则。则在在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理由正弦定理得得11sin()sin() 11sin()sin() 显然点显然点P的坐标的坐标也是它的解。也是它的解。小结：直线的几种极坐标方程小结：直线的几种极坐标方程1、过极点、过极点=(R)2、过某个定点，且垂直于极轴、过某个定点，且垂直于极轴 cos=a4、过某个

8、定点，且与极轴成一定的角度、过某个定点，且与极轴成一定的角度3.过定点与极轴平行过定点与极轴平行 sin=a（二）（二）曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程定义：定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程f( , )=0有如下关系有如下关系()曲线上任一点的坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标中至所有坐标中至少有一个少有一个)符合方程符合方程f( , )=0 ；()方程方程f( , )=0的所有解为坐标的点都在的所有解为坐标的点都在曲线上。曲线上。 则曲线的方程是则曲线的方程是f( , )=0 。求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程()圆圆心在极点，半径为心在极点，半径为r；()圆圆心在心在(

9、a,0)，半径为，半径为a；()圆圆心在心在(a, /2)，半径为，半径为a；()圆圆心在心在(a, )，半径为，半径为a r 2acos 2asin 圆心的极径与圆的半径相等0cos()a222223020 xyxyxyxyx（）直角坐标方程的极坐标方程为（）直角坐标方程 的极坐标方程为（）直角坐标方程的极坐标方程为（）直角坐标方程的极坐标方程为例：cos3sin0 cossin103cos35 3co3s5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐标例 ：和半径。5),25,235(25)25()235(535sin5cos35sin5cos3522222半径是所以圆心为化为标准方程是即化为直角坐

10、标为得两边同乘以解：yxyxyx 设设P P是空间任意一点，是空间任意一点，在在oxy平面的射影为平面的射影为Q， 用用(,)(0,(,)(0,002)2)表示点表示点Q在平面在平面oxyoxy上的极坐标，上的极坐标， 点点P P的位置可用有的位置可用有序数组序数组(,z)(,z)表示表示. .xyzoP(,Z)Q 把建立上述对应关系的坐标系叫做把建立上述对应关系的坐标系叫做柱柱坐标系坐标系. . 有序数组有序数组(,Z)(,Z)叫点叫点P P的的柱柱坐标，坐标，记作记作(,Z). (,Z). 其中其中0, 00, 0 2, -2, -Z Z+ 柱坐标系又称半极坐标系，它是由柱坐标系又称半极坐

11、标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的一部分建立起来的. . 空间点空间点P P的直角坐标的直角坐标(x, y, z)(x, y, z)与柱坐与柱坐标标 (,Z) (,Z) 之间的变换公式为之间的变换公式为 zzyx sincosxyzoPQr设设P是空间任意一点，是空间任意一点，连接连接OP，记记| OP |=r，OP与与OZ轴正向所轴正向所夹的角为夹的角为.在在oxy平面的射影为平面的射影为Q， 设设P在在oxy平面上的射影为平面上的射影为Q， Ox轴按逆时轴按逆时针方向旋转到针方向旋转到OQ时所转过的最小正角时所转过的最小正角为为.

12、这样点这样点 P 的位置就可以用有序数的位置就可以用有序数组组(r,)表示表示.(r,) 我们把建立上述我们把建立上述对应关系的坐标系对应关系的坐标系叫做叫做球坐标系球坐标系 (或或空间极坐标系空间极坐标系) .有序数组有序数组(r,)叫做点叫做点P的球坐标，的球坐标，其中其中20,0, 0rxyzoP(r,)Qr 空间的点与有序数组空间的点与有序数组(r,)之间建立了一种之间建立了一种对应关系对应关系. 空间点空间点P的直角坐标的直角坐标(x, y, z)与球坐标与球坐标(r,)之间的变换关系为之间的变换关系为cossinsincossinrzryrxxyzoP(r,)QrP(x,y,z)x

13、yzxyzoP(,Z)QxyzoP(r,)Qr一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标任意一点的坐标x,y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方都在这条曲线上，那么方程程(2)就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变，联系变数数x,y的变数的变数t叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数，相对，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做的方程叫做普通方程普

14、通方程。)2.(.)()(tgytfx2.、参数方程、参数方程注：注：x,y的范围由的范围由t确定确定参数方程求法参数方程求法: （1）建立直角坐标系）建立直角坐标系, 设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为(x,y) （2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义物理意义, 建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化1、准确把握曲线参数方程中的参数的意、准确把握曲线参数方程中的参数的意

15、义及义及取值范围。取值范围。2、参数方程化普通方程的技巧：、参数方程化普通方程的技巧：（1）代入消去发。（）代入消去发。（2)加减消去法。加减消去法。（3）恒等式法：）恒等式法：cos2+sin2=1、 1+tan2=sec2、1+cot2=csc2、等、等3、普通方程化参数方程要恰当设参数。、普通方程化参数方程要恰当设参数。步骤：步骤：1、消掉参数消掉参数(代入消元，三角变形，配代入消元，三角变形，配方消元方消元)2、写出定义域写出定义域（x的范围）的范围）参数方程化为普通方程的步骤参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须在参数方程与普通方程的互化中，必须使使x,y前后的

16、取值范围保持一致。前后的取值范围保持一致。注意：注意：)(21112为参数）（表示什么曲线？普通方程，并说明各、把下列参数方程化为例ttytx2sin1cossin2yx）、（)() 1 , 1 () 1( 32, 1132,211111包括端点为端点的一条射线这是以普通方程是所以与参数方程等价的又得到代入有）由解：（xxytxxytyxttxyxo(1,-1)这是抛物线的一部分。普通方程为所以与参数方程等价的所以又得到平方后减去把.2,2,2,2),4sin(2cossin,2sin1cossin)2(22xyxxxyxyxxoy22练习4与普通方程与普通方程xy=1表示相同的参数方程（表示

17、相同的参数方程（t为为参数）的是（参数）的是（ ）Ax=t 2y=t -2Bx=sin ty=csc tCx=costy=sectDx=tan ty=cot t练习5若曲线x=1+cos2y=sin2(为参数），则点（x,y)的轨迹是（ ）A、直线x+2y-2=0 B.以（2,0）为端点的射线C.圆（x-1)2+y2=1D、以（2,0）和（0,1）为端点的线段D什什么么特特点点？）该该参参数数方方程程形形式式上上有有（的的取取值值范范围围是是什什么么？）参参数数（？些些是是变变量量？哪哪些些是是常常量量）直直线线的的参参数数方方程程中中哪哪注注：（321t标准方程标准方程一般方程一般方程x=x

18、0+l ty=y0+mtl l 的方向向量的方向向量 a = (l l , m)(1)写出过点（写出过点（2,1），倾斜角为），倾斜角为2/3的直的直线的参数方程。线的参数方程。（2）写出过点（）写出过点（-1，3），倾斜角为），倾斜角为arctan2的直线的参数方程。的直线的参数方程。(3)直线x=-2+tcos30y=3 - tsin60(t为参数）的倾斜角等于（ ） A. 30 B. 60 C. - 45 D. 135 D(4)把x=5+3ty=10-4t化成标准方程的形式。化成标准方程的形式。. 00000tMMteMMteMMMMttt重合时，与取负数；当点异向时，与数；当取正同向时

19、，与的距离。当到定点对应的点表示参数的几何意义是：直线的参数方程中参数例例1、已知直线、已知直线 l l 过点过点M0(1,5),倾斜角为倾斜角为 /3，且交直线且交直线x - y - 2=0于于M点，则点，则 MM0 = 三、例题讲解三、例题讲解136tMM0的应用直线上两点间的距离直线上两点间的距离 三、例题讲解三、例题讲解例例2、已知直线、已知直线 l l : x+y-1=0与抛物线与抛物线y=x2交交于于A,B两点。两点。(1)求线段求线段AB的长和点的长和点M(-1,2)到到A,B两点的两点的距离之积距离之积.(2)求求AB中点的坐标。中点的坐标。的参数方程？）如何写出直线（l1?2

20、21ttBA，所所对对应应的的参参数数，）如如何何求求出出交交点点（2, 22121t ttt有有什什么么关关系系？，与与、）（213ttMBMAAB （4）AB的中点的参数的中点的参数t和和t1, t2 有什么关系？有什么关系？221ttt21ttAB21,tMBtMA直线直线 l l 与曲线相交于与曲线相交于M1,M2两点其对两点其对应的参数分别为应的参数分别为t1,t2,则有则有（1）曲线的弦长）曲线的弦长2121ttMM（2）弦M1M2的中点M=221tt 结论：结论： 例1、直线过点A（1,3），且与向量（2，-4）共线。 （1）写出直线的参数方程。 （2）求点P（- 2，- 1）到

21、此直线的距离。52x=1+2ty=3 - 4t思考与探索思考与探索P38 四、课堂练习四、课堂练习轴上的椭圆。，焦点在这是中心在原点为参数是的轨迹，它的参数方程点旋转一周时，就得到了绕点当半径xObyaxMOOA)(sincos)2 , 0范围是的通常规定参数在椭圆的参数方程中，的意义类似吗？中参数为参数程的意义与圆的参数方椭圆的参数方程中参数思考：)(sincosryrx的旋转角。是半径的旋转角，参数是，不的离心角称为点的旋转角或径所对应的圆的半是点由图可以看出，参数OMOMMOBOAM)()(3cos ,2sin )(2,3),(3,0)(1,3),(0,)21PABCD当参数 变化时，动

22、点所确定的曲线必过、点、点、点、点例、它的焦距是多少？它的焦距是多少？( )B522224 cos2 sin3cos0,()_?xyxy已知圆的方程为为参数，那么圆心的轨迹的普通方程为练习：14)(sincos21)sin()cos2(0cos3sin2cos42222222yxyxyxyxyx化为普通方程是为参数所以圆心的参数方程为可以化为解：方程4cos()2 3sin()33xPyOP OP是椭圆为参数 上一点，且在第一象限，为原点 的倾斜角为，则点例 、的坐标为)1554,554(),3,2(、BA)3,4(),3,32(、DC( )B5154sin32,554cos4552sin,5

23、5cos, 1cossincos2sin3cos4sin3233tan322yxPxykkOPOPOP从而有在第一象限且点又又的倾斜角为解： 221942210 0 xyMMxy在椭圆上求一点 ，使点 到直线的距离最小，并求出例、最小距离二、圆锥曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程22221(0)xyabab2.椭圆的参数方程：cossin()xayb为 参 数为 离 心 角22221(0)yxabab椭圆的参数方程：cossin()xbya为 参 数 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 sec()tanxayb为参数2a222xy-= 1 ( a 0 , b 0 ) 的 参 数 方 程 为 ：

24、b2222221sectan1xyab注意：双曲线：的参数方程实质是由三角恒等式而代换得来的sec()tanyaxb为参数2a222yx-=1(a0,b0)的参数方程为：bxyoM(x,y)22.(5)tan.(6)ypxMyx设抛物线的普通方程为因为点在 的终边上，根据三角函数的定义可得22tan(5),(6),()2tan(5)()pxx ypy由解出，得到为参数这就是抛物线不包括顶点 的参数方程21,(,0) (0,),tan2()2ttxpttypt 如果令则有为参数(0,0)0(,)ttt ，由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点因此当时，参数方程就表示抛物线。参数 表示抛物线上除顶

25、点外的任意一点与原点连线的当时斜率的倒数。2121212121212121,1,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx、所在直线的斜率是则弦所对应的参数分别是，两点上异于原点的不同为参数、若曲线( )c12121222111222,(2,2),(2,2)M MttMMMptptMptpt解：由于两点对应的参数方程分别是 和 ，则可得点和的坐标分别为112222121222122M Mptptkptpttt的轨迹方程。的中点，求点为线段，点上的动点，给定点为抛物线、设PMMPMxyM002)0 , 1(22的轨迹方程。，求点相交于点并于且上异于顶点的两动点，是抛物线是直角坐标原点，、如图例MMABABOMOBOAppxyBAO,)0(2,32xyoBAM2211221212, ,( , )(2,2),(2,2)(,0)M A Bx yptptptptttt t解：根据条件，设点的坐标分别为且则221122222121( , ),(2,2),