线性代数与几何：1-5 行列式的按行(列)展开

1、第五节 行列式的按行(列)展开 从行列式的定义可以看出，计算低价从行列式的定义可以看出，计算低价行列式要比计算高价行列式简单，所以我们考行列式要比计算高价行列式简单，所以我们考虑把高价行列式化为低价行列式计算虑把高价行列式化为低价行列式计算.为此我为此我们先引入们先引入余子式与代数余子式的概念.,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa我们先以三价行列式为例我们先以三价行列式为例 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaa

2、a 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式与代数余子式 所以三价行列式的值等于它的第一行的元素分别三价行列式的值等于它的第一行的元素分别乘一些二价行列式，这些二价行列式的特点是：乘一些二价行列式，这些二价行列式的特点是： 在原来的三在原来的三 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素a1i 所在所在的第的第1 行和第行和第i 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 二二 阶行列式阶行列式.在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的

3、余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija有了上述定义后，有了上述定义后，333231232221131211aaaaaaaaa131312121111AaAaAa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 下面我们将要证明对一般的阶行列式，上述性质同样成立。为此我们先证明一个引理.引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数

4、余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ija111111111111112).,(11211)., 1(212222111) 1(.) 1(.) 1(002,22,2AaMaMaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnppppnppppnnnnn再证一般情形再证一般情形, 此时此时nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行对调行对调第第行行第第行行行依

5、次与第行依次与第的第的第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得得1111,11,11,111,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,0.00.0.11.ijjjjnijijiijijinijiijijinn jnn jn jaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaa 12.11nnijijijijijijijijaa Ma Ma A 定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代

6、数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行（列）展开法则nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 3351110043152113D43cc 例例13 计算计算0351010013151113051115113) 1(330510221135122) 1(31. 821rr

7、证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx ）式成立）式成立时（时（当当12 n例例14 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式)1(nijjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD1112112222121).(111, )(21ijjixx，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()

8、()(211312jnijinnxxxxxxxxD).(1jnijixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式例例1521121.12112nD 计算n阶行列式解：按第一列展开解：按第一列展开21221.121121121.122nnnDDD112112322112.12112211nnDDDDDDDDDDnnnnnnn推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( ,11111111nnn