线性代数与几何：2-4 矩阵的分块法

1、第四节 矩阵的分块法一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵 ，为了，为了简化运算，经常采用简化运算，经常采用分块法分块法，使大矩阵的，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算运算化成小矩阵的运算. . 具体做法是：将具体做法是：将矩阵矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵，每一个小矩阵称为 的的子块子块，以子，以子块为元素的形式上的矩阵称为块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵. .AAA,321 BBB bbaaA110101000001例例 A001aba110000b110 1B2B3B即即 bbaaA1101010

2、00001,4321 CCCC A1a1C002C10010a3Cbb11004C即即, BEOA ,4321AAAA bbaaA110101000001 bbaaA110101000001 aaA01其中其中 bbB11 1001E 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004 有有相相同同的的分分块块法法采采用用列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与设设矩矩阵阵,1BA那那末末列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA二、分块矩阵的运算规则 srsrsrsrBBBBBAAAAA111

3、11111, 那末那末为数为数设设,21111 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA 分分块块成成矩矩阵阵为为矩矩阵阵为为设设,3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行数数的的列列数数分分别别等等于于其其中中,2121ijjjitiiBBBAAA srsrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBACkjtkikij 其其中中 即即是是方方阵阵且且非非零零子子块块都都其其余余子子块块都都为为零零矩矩阵阵上上有有非非零零子子块块角角线线的的分分块块矩矩阵阵只只有有在在主主对对若若阶阶矩矩阵阵为为设设.,5AnA,21 sAAAA

4、OO ,411 srAAA设设rA11sA.11 TsrTTAAA则则TsA1TrA1,21 sAAAAOO ., 2 , 1对对角角矩矩阵阵为为分分块块那那末末称称都都是是方方阵阵其其中中AsiAi .21sAAAA 分块对角矩阵的行列式具有下述性质分块对角矩阵的行列式具有下述性质: 并并有有则则若若, 0, 2 , 10 AsiAi.21 sAAAAoo ,621 sAAAA设设oo1 1 1 1 ssBBBAAA00000000000072121.0000002211 ssBABABA例例1 设设,1000010042103101A,1020013600020021B.,ABBAkA求解

5、解分块成分块成把把BA,1000010042103101EOCEA,1020013600020021EFODBkkkkkkkkkEOkCkEEOCEkkA000000420300020003642123122OFCDEEFODEOCEBA214172123602212036423102210CFDEFCCFDEFDEOCEAB10200136422143117AB解解,21 AOOA,10111A;101111A例例2 .12001300001000111AA，求设1200130000100011A设;321112 A 12111AOOAA3200110000100011,12132 A例3,0都都是是可可逆逆方方阵阵和和其其中中设设CBCDBA .,1 AA并求并求可逆可逆证明证明证证, 可逆可逆由由CB, 0 CBA有有.可逆可逆得