北师大版选修2数学归纳法课件

1、数学归纳法数学归纳法 1北师大版选修2数学归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法结论的推理方法，叫归纳法归纳法归纳法 完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法2北师大版选修2数学归纳法一、不完全归纳法一、不完全归纳法特点特点:由特殊由特殊 一般一般 a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d3北师大版选修2数学归纳法二、数学归纳法的概念：二、数学归纳法的概念：证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题, ,可用下列方法可用下列方法来证明它

2、们的正确性来证明它们的正确性: :(1)(1)验证验证当当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立, ,(2)(2)假设假设当当n=k(kn=k(k n n* * ，k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立这种证明方法叫做都成立这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若若当当n=k(n=k(k k n n

3、0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立都成立4北师大版选修2数学归纳法111111证明：证明：1）当n =1式，a = a +(1-1)d = a ,结论成立1）当n =1式，a = a +(1-1)d = a ,结论成立k1k1k+1kk+1kk+11k+111111n1n12)假设n = k式结论成立，即a = a +(k-1)d2)假设n = k式结论成立，即a = a +(k-1)d a= a +d a= a +d a= a +(k-1)d+da= a +

4、(k-1)d+d = a +kd = a +(k+1)-1d = a +kd = a +(k+1)-1d 综合1）、2）知a = a +(n-1)d成立. 综合1）、2）知a = a +(n-1)d成立.所以所以n=k+1时结论也成立时结论也成立那么那么nn1例：已知数列a 为等差，公差为d, :通项公式为a =a +(n-1)d求证求证5北师大版选修2数学归纳法注意注意 1.1.用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个步骤要分两个步骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)

5、(2)(归纳递推归纳递推) )是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明6北师大版选修2数学归纳法证明：证明：当当n=1n=1时，左边时，左边=1=1，右边，右边=1=1，等式成立，等式成立 假设假设n=k(kn ,k1)n=k(kn ,k1)时等式成立时等式成立, ,即：即： 1+3+5+1+3+5+(2k-1)=k+(2k-1)=k2 2， 当当n=k+1n=k+1时：时： 1+3+5+1+3+5+(2k-1

6、)+2(k+1)-1=k+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2， 所以当所以当n=k+1n=k+1时等式也成立时等式也成立 由由和和可知，对可知，对nn nn ，原等式都成立，原等式都成立例例1 1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2（nn nn ）. . 请问：请问：第第步中步中“当当n=k+1n=k+1时时”的证明可否改换为：的证明可否改换为：1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)= = (k+1)2 2 ? ?为什么？为什么？（k+1)1+(2k+1)27北师大版选修2数学归纳法312111nnnn31109nn题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明+ （n1，且）8北师大版选修2数学归纳法)(*nn22 nn题型三、用数学归纳法证明几何问题例4平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于