空间点线面位置关系一

1、2.1 空间点、线、平面之间的位置关系空间点、线、平面之间的位置关系1.平面的基本知识平面的基本知识(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念最基本的概念，即为不加定义的原始概念，即为不加定义的原始概念.(2)平面的基本特征是平面的基本特征是无限延展性无限延展性.平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）；平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）；平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的. .光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉

2、的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果的平面概念是现实平面加以抽象的结果. .思考思考: :能不能说一个平面长能不能说一个平面长4 4米米, ,宽宽2 2米？为什么米？为什么? ? 不能不能. .画法画法立体几何中通常用立体几何中通常用平行四边形来平行四边形来表示平面，表示平面， 有时也用有时也用圆或三角形等图形圆或三角形等图形来表示平面来表示平面.画平面水平放置时，画平面水平放置时，常把平行四边形的常把平行四边形的锐角通常画成锐角通常画成45，且横边长等于邻边且横边长等于邻边长的长的2倍倍.水平放置水平放置垂直放置垂直放置为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮

3、为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮挡的部分用挡的部分用虚线虚线画出来画出来.(3)平面的画法及表示平面的画法及表示1.平面的基本知识平面的基本知识画出两个竖直放置的相交平面画出两个竖直放置的相交平面. .练习练习表示方法：表示方法：abcd把希腊字母把希腊字母 等写在代表平面的平行四边形的一个角上，等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如如平面平面 ，平面，平面 ., 用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如如平面平面abcd.用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表用表示平面的平行四边形的相

4、对的两个顶点的大写英文字母表示，如示，如平面平面ac或者或者平面平面bd.(3)平面的画法及表示平面的画法及表示1.平面的基本知识平面的基本知识(1)点、线、面的表示点、线、面的表示点点( (元素元素): ):大写字母大写字母a a、b b、c c、dd直线直线( (点的集合点的集合): ):小写英文字母小写英文字母 或者两个大写英文字母或者两个大写英文字母平面平面( (点的集合点的集合): ):用希腊字母表示用希腊字母表示 ； 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示. ., ,a b c, (2)点、线、面之间的位置关系的表示点、线、面之间的位置关系

5、的表示用集合中的关系符号用集合中的关系符号元素与集合关系：元素与集合关系：集合与集合关系：集合与集合关系：,; 2.点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的位置关系aba点点a在直线在直线a上，记作上，记作点点b不在直线不在直线a上，记作上，记作点点a在平面在平面上，记作上，记作点点b不在平面不在平面上，记作上，记作ab(1)点与直线的位置关系：点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：点与平面的位置关系：aabaab2.点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的位置关系(3)直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类按公共点个数分三类直线直线a与平面与平面有且只有一个公

6、共点有且只有一个公共点，称直线，称直线a与平面与平面相交相交.记为：记为：直线直线a与平面与平面没有公共点没有公共点，称直线，称直线a与平面与平面平行平行. .记为：记为：aa aaa直线直线a与平面与平面有无数个公共点有无数个公共点，称直线，称直线a在平面在平面内，内，或称平面或称平面通过直线通过直线a. .记为：记为：a公理公理1aa/或aaa注注1：情况和统称为直线：情况和统称为直线a在平面在平面外，记作外，记作2.点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的位置关系(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类a当两个不同平面当两个不同平面与平面与平

7、面有公共点有公共点时，它们的公共点组成时，它们的公共点组成直线直线a，称平面，称平面与平面与平面相交相交. .记作：记作：当平面当平面与平面与平面没有公共点没有公共点时，称平面时，称平面与平面与平面平行平行. .记作：记作：公理公理3a /或 注注2：当平面：当平面上的所有点都在平面上的所有点都在平面上时，称平面上时，称平面与平面与平面重合重合.公理公理2（当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合（当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)2.点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的位置关系小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关

8、系：baaabaaab练习练习aabaabaaba/或aaa /或 平面平面与平面与平面重合重合桌面桌面ab观察下列问题，你能得到什么结论？观察下列问题，你能得到什么结论？直尺落在桌面上（直线直尺落在桌面上（直线ab在平面在平面内）内）3.平面的基本性质平面的基本性质,且al blabl 图形语言：图形语言：abl(1)公理公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内则这条直线在此平面内.符号语言：符号语言：该公理反映了直线与平面的位置关系：该公理反映了直线与平面的位置关系：可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用于判定直线是否在平面

9、内，点是否在平面内，又可用直线检验平面可用直线检验平面.3.平面的基本性质平面的基本性质cba观察下列问题，你能得到什么结论？观察下列问题，你能得到什么结论？自行车需要一个支脚架就可以保持平衡自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.3.平面的基本性质平面的基本性质abc(3)公理公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面., ,不共线有且只有一个平面 ，使得a b cabc图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：定义的说明：定义的说明：过不在一条直线上的四点，不一定有平面过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视故要充分重视“不在不在一条

10、直线上的三点一条直线上的三点”这一条件；这一条件；“有且只有一个有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只只有一个有一个”替代；替代；确定一个平面的确定一个平面的“确定确定”是是“有且只有有且只有”的同义词的同义词.3.平面的基本性质平面的基本性质推论推论2 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面. .推论推论3 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面. .baab推论推论1 1 经过一条直线和这条直线外一点经过一条直线和这条直线外一点, ,有且只有一个平面有且只有一个平面. .

11、abca注注3：公理公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.abc公理公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.练习3.平面的基本性质平面的基本性质思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？不会！因为平面是无限延展的不会！因为平面是无限延展的.因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且

12、这些公共点在一条直线上并且这些公共点在一条直线上.3.平面的基本性质平面的基本性质且plplpl(2)公理公理3：若两个不重合的平面有一个公共点，若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线则它们有且只有一条过该点的公共直线.图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：该公理反映了平面与平面的位置关系：该公理反映了平面与平面的位置关系：i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.(找两个面的交线只要找出两个

13、面的两个公共点即可找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)ii)该公理可用以判定点在直线上：该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线点是某两平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则该点在交线上是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.3.平面的基本性质平面的基本性质,d, 例1 已知求证:直线,共面.a b cllad bd cd a b cdl证明与 确定平面:.dlld 又,.a b cl la b c 又即共面.,dbd cd adad bd cd 4.点线共面问题点线共面问题例例2 2 已知三角形已知三角形abcabc的三条边的三条边abab、bcbc、acac与平面

14、与平面分别交于分别交于p p、q q、r.r.求证：求证：p、q、r共线共线.baqrcp证明：证明：同理同理q、r也为公共点，也为公共点， 所以所以p、q、r共线共线.要证明各点共线，只要证明各点共线，只要证明他们是两个相要证明他们是两个相交平面的公共点交平面的公共点.abcabc.平面平面pabpabc.又平面pp5.证明三点共线、三线共点的问题证明三点共线、三线共点的问题例例3 空间四边形空间四边形abcd中，中，e，f分别是分别是ab和和cb上的点，上的点，g，h分别是分别是cd和和ad上的点，且上的点，且eh与与fg相交于相交于k.求证：求证：eh，bd，fg三条直线相交于同一点三条直线相交于同一点.分析：分析：已知已知ehfg=k，要证，要证eh，bd，fg共点共点.即要证明即要证明b，d，k三点共线三点共线.而而bd是面是面abd和面和面cbd的交线的交线.所以所以往证往证k面面abd面面cbd.而显然，由而显然，由eh面面abd，keh，可得，可得k面面abd.同理，由同理，由fg面面cbd，kfg，可得，可得k面面cbd.abcdefhgk5.证明三点共线、三线共点的问题证明三点共线、三线共