线三等角典型例题

1、线三等角典型例题-作者 : _-日期 : _“一线三等角 ”模型在初中数学中的应用一、 “一线三等角 ”模型的提炼例 1、（ 2015 年山东 德州卷）(1)问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点， DPC= A= B=90.求证：ADBC=APBP.(2)探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当 DPC=A= B=时，上述结论是否依然成立？说明理由 .(3)应用：请利用 (1)、 (2)获得的经验解决问题：如图 3，在 ABD 中， AB=6 ，AD=BD=5. 点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边 AB 向点 B

2、运动，且满足 DPC= A. 设点 P 的运动时间为 t （秒），当以 D 为圆心，以 DC 为半径的圆与 AB 相切，求 t 的值 .变式 1 ( 2012 年烟台 ) ( 1) 问题探究如图 6，分别以 ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向 ABC 外作正方形 ACD E11和正方形 BCD2 2，过点 C 作直线 KH 交直线 AB 于点 H，使 AHK = ACD 1 作ED1M KH ，D2N KH ，垂足分别为点 M 、N 试探究线段 D1M 与线段 D2N 的数量关系，并加以证明( 2) 拓展延伸1如图 7，若将 “问题探究 ”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线 K1H1

3、，K2 2，分别交直线 AB 于点 H1、H2，使 AH1K1=22=ACD1 作D1M1 1，2H2，垂足分别为点 M 、N D12BHKK H2HN是否仍成立?若成立，给出证明;若不成立，说明理D NKM = D由2如图 8，若将 中的 “正三角形 ”改为 “正五边形 ”，其他条件不变D1M = D2N 是否仍成立 ? ( 要求 :在图 8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)二、添加辅助线后运用基本图形例 1、在 ABC 中， AB =2 ， B = 45 ，以点 A 为直角顶点作等腰 tADE ，点 D 在 BC 上，点 E 在 AC 上，若 CE=5，求 CD 的长。例 2

4、、 ( 2013 年海淀区一模 22 题最后一问 ) 如图， l1、 l2 、l3 是同一平面内的三条平行线， l1、 l2 之间的距离是 21/5， l2、l3 之间的距离是 21/10，等边 ABC 的三个顶点分别在 l1、l2、l3 上，求 ABC 的边长例 3、 如图，在矩形纸片 A 中，在 边上取点，现将纸片沿翻折，使点 落在 边上的点 处，当时，求 的长。三、应用举例1、等腰三角形底边上的一线三等角例 1、如图 5，在 三角形 ABC 中， AB=AC,D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作 MDN= B.(1) 如图 5，当射线 DN 经过 A 时， DM 交 AC边于点 E,不

5、添加辅助线，写出图中所有与三角形的三角形。(2) 如图 6，将 MDN 绕点 D 逆时针方向旋转， DM,DN 分别交线段 AC,AB于 E,F 点，（ E 和ADE相似 A 点不重合），不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。(3) 在图 6 中，若 AB=AC=10， BC=12，当三角形 DEF的面积等于三角形面积的1/4 时，求线段 EF的长。例 2、 如图 8，在 Rt ABC 中， AB = AC =2 ， A = 90 ，现取一块等腰直角三角板，将 45角的顶点放在 BC 中点 O 处，三角板的直角边与线段AB 、AC 分别交于点 E、F，设 BE =x， CF = y，

6、 BOE = ( 45 90 )( 1)试求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 ;( 2)试判断 BEO 与 OEF 的大小关系 ?并说明理由 ;( 3)在三角板绕 O 点旋转的过程中， OEF 能否成为等腰三角形 ? 若能，求出对应x 的值 ; 若不能，请说明理由【例 3】（ 2012 四川 成都卷）如图， ABC 和 DEF 两个全等的等腰直角三角形，BAC= EDF=90，DEF 的顶点 E 与 ABC 的斜边 BC 的中点重合将 DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q（1） 如图 ，当点 Q 在

7、线段 AC上，且 AP=AQ时，求证： BPE CQE；（2） （ 2）如图 ，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证： BPE CEQ；并求当 BP=a， CQ=9a/2时， P、Q 两点间的距离（用含 a 的代数式表示）6、（东城一模 24.） 等边 ABC 边长为 6， P 为 BC 边上一点， MPN=60，且 PM、 PN 分别于边AB、 AC 交于点 E、F.（1）如图 1，当点 P 为 BC 的三等分点，且 PEAB 时，判断 EPF 的形状；（2）如图 2，若点 P 在 BC 边上运动，且保持PEAB，设 BP=x，四边形 AEPF 面积的 y，求 y 与 x的函数关系式，

8、并写出自变量x 的取值范围；（3）如图 3，若点 P 在 BC 边上运动，且 MPN 绕点 P 旋转，当 CF=AE=2 时，求 PE 的长 .2、四边形中的一线三等角例 1、如图，正方形ABCD 的边长为 1cm，M 、N 分别是 BC、 CD 上两个动点，且始终保持 AM MN ，设 BM 的长为 x cm，CN 的长为 y cm.求点 M 在 BC 上的运动过程中 y 的最大值例 2例 3、如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD BC，BC = 4AD = 4 2 ， B = 45 ，点 E、F 分别在边 BC、CD 上移动，且 AEF = 45 ，则点 E 移动过程中，线段 AF 长的

9、最小值是（ ）例 4如图 ,在梯形 ABCD 中， AD BC ， AB DCAD 6，ABC 60 ，点 E，F 分别在线段AD， DC 上（点 E 与点 A，D 不重合），且 BEF120 ，设 AEx ， DF y 求 y 与 x 的函数表达式；当 x 为何值时， y 有最大值，最大值是多少？tan4CAD例 4、如图，在直角梯形 ABCD 中， ADBC， B=90，AB=8，3 ，CA=CD， E、 F 分别是线段 AD、AC 上的动点（点 E 与点 A、D 不重合），且 FEC=ACB，设 DE=x ，CF=y . （1）求 AC 和 AD 的长；（2）求 y 与 x 的函数关系式；（3）当 EFC 为等腰三角形时，求x 的值 .BCFAED3、函数问题中的一线三等角例 1、在直角坐标系中，点 A 是抛物线 y= x 2 在第二象限上的点，连结 OA ，过点 O 作 OB OA ，交抛物线于点 B，以 OA 、OB 为边构造矩形 AOBC 如图，当点 A 的横坐标为 1/2 时，求点 B 的坐标例 2、如图，已知直线 y = kx 与抛物线 y = 4/27 x2 + 22/3 交于点 A( 3，6) 若点 B 为抛物线上对称