20122017年高考文科数学真题汇编坐标系和参数方程老师版

1、学科教师辅导教案学员姓名年级局二辅导科目数学授课老师课时数2h第次课授课日期及时段2017 年月日 : : 历年高考试题集锦一一坐标系和参数方程1. （2015年广东文）在平面直角坐标系 x y中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲八x t.,线C1的极坐标方程为cos sin 2,曲线C2的参数方程为 （t为参数），则C1与C2交y 2.2t点的直角坐标为 2, 4 2. （2015年新课标2文）x t cos , 在直角坐标系xOy中，曲线Ci：（t为参数，且t 0）,其中0y tsin ,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ： 2sin ,C3:2J3co

2、s（I）求C2与C3交点的直角坐标；（II）若Ci与C2相交于点A,G与C3相交于点B,求AB最大值.试题分析:I ）把C2与C3的方程化为直角坐标方程分别为x2 y2 2y 0,x2 y2 2向x 0,联立解方程阻可辐交点坐标 （u）先a碇曲蛙q楣坐标力陛为日=工（月号进管求出点a的极坐标 大03口乳g,点B用研，尘标内（工/M名一由此司后卜必- 2sitiCE-20） .在以（II）直线C3的极坐标方程为y = 14 asinf 7.222.2 x y, y sin . .22 sin 1 a 0 即为C1的极坐标方程2C2 :4cos两边同乘得222224 cos Qx y , cos

3、x x y 4x2。即x 2y2 4C3：化为普通方程为 y 2x由题意：Ci和C2的公共方程所在直线即为 C3一得：4x 2y 1 a2 0 ,即为 C31 a2 0 -1 a 1.一 一 . 一 一一 、一一.， 一 22 一、(2016年全国II)在直角坐标系xOy中，圆C的万程为(x 6) y 25.(I)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；x t cos(n)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A,B两点，|AB| J而，求l的斜率.y tsin222x y解：整理圆的方程得x2 y2 12 11 0, 由 cos x 可知圆C的极坐标方程为sin

4、 y212 cos 11 0 .记直线的斜率为k ,则直线的方程为 kx y 0 ,由垂径定理及点到直线距离公式知：=6kL 25 姬 ， 1 k22即*90,整理得k2也则k 、35.7、(2016年全国III)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x 而COs (为参数)，以坐标原点为 y sin极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 G的极坐标方程为sin( -) 2V2 .(I)写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；(II )设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ的最小值及此时 P的直角坐标.僚析】(I) G的首通方也吟 二L G的直角坐标方程为工十 二仇l 11)由题官

5、，口 1设a户的直由坐打力|抬上球/冷山金r因为g是直线,用以I PO 嗜小情,即I为户更C,的高人的最、鹏,当且咐以二工匕工十白建外时，小取得最小值，最情为W init忸寸严的直用坐标为41).平面直角坐标系xyxOy中，已知直线l的参数方程为11t22 t （t为参数）,椭圆C的参数方程为ycos ,2sin （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A, B两点,求线段AB的长.解：椭圆C的普通方程为x2xy1,将直线l的参数方程411t2，代入-3t22y -工1,得4（12t）23 2（5t）2上一1 ,即7t2416t 0,解得 G 0, t211 .所以AB |ti t2|1679. （

6、2013江苏理）在平面直角坐标系 xoy中，直线l的参数方程为t 1 乙（t为参数），曲线C的参数2tx 2 tan2方程为（为参数），试求直线l与曲线y 2 tanC的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。【答案】直线l ： 2x y 2 0 ；曲线C： y2 2x ；10. （2012福建理）在平面直角坐标系中，以坐标原点 直线l上两点M, N的极坐标分别为（2,0）,2 -32一 1它们公共点的坐标为（2,2）、（-, 1）。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知,圆C的参数方程为2 2cos ,L（ 9为参数）.3 2sin设P为线段MN的中点，求直线 OP的平面直角坐标方程;判断

7、直线l与圆C的位置关系.【简解】由题意知，M, NP为线段MN的中点，从而点 P的平面直角坐标分别为（2,0）, （0, 2 ）;又3的平面直角坐标为（1,夸）;因为直线l上两点M,3故直线op的平面直角坐标万程为y x .3N的平面直角坐标分别为（2,0）, （0, R3）,所以直线l的平面直角坐标方程3为收3y 2也0 ； ,|2 3 3 3 2 3| d3又圆C的圆心坐标为（2 ,73 ）,半径r = 2 ,圆心到直线l的距离3 ,、r ;故直线l与圆C相父211. （2014福建理）已知直线l的参数方程为x a 2t, （t为参数），圆C的参数方程为 x 4cos , y 4ty 4s

8、in（I）求直线l和圆C的普通方程;（II）若直线l与圆C有公共点，求实数 a的取值范围.【简解】（I）直线l的普通方程为2xy 2a 0.圆C的普通方程为x2y2 16.（II ）因为直线l与圆有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离2a、5t （t为参数）.2tl于点A ,求| PA |的最大值与最小值.12. （2014新标1理）已知曲线C : （I）写出曲线c的参数方程，直线l的普通方程;（n）过曲线C上任一点p作与l夹角为30o的直线，交【简解】.（I ）曲线C的参数方程为:x 2cosy 3sin为参数），直线l的普通方程为：2x y 6 0（n）在曲线 C上任意取一点 P （2cos

9、,3sin ）到l的距离为d5|4cos3sin 6 ,则 |PA |- 255sinsin 305,其中 为锐角.且tan当sin1时，| PA|取得最大值，最大值为当sin1时，| PA |取得最小值，最小值为2.552cost13.（2013新标2理）已知动点 P、Q都在曲线 C:（t为参数）上，对应参数分别为t= 0与t =2sint求M的轨迹的参数方程； （2）将M到坐标原点的距离 点.d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原【简解】 (1)依题意有 P(2cos a, 2sin a), Q(2cos 2 a, 2sin 2 a),因此 M(cos a+ cos 2a, sin

10、a+ sin 2 a).M的轨迹的参数方程为 x=cos a+ cos 2 a,y= sin a+ sin 2 a, （a为参数，0/2兀）（2）M点到坐标原点的距离 d=/x o（0 /2兀）M为PQ的中点. + y2 =42+2cos &0“2兀）当a= & d=0,故M的轨迹过坐标原点.14、已知点A的极坐标为（J2,）,直线l的极坐标方程为cos（） a ,且点A在直线l上.（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；x 1 cos（2）圆c的参数方程为，（ 为参数），试判断直线l与圆的位置关系.y sin【答案】（I） a #,直线l ： x y 2 0 ； （ n）相交 2222-15.

11、 （2012辽宁）在直角坐标xOy中，圆Ci：xy 4 ,圆C2: （x 2） y 4。（I）在以。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆Cl,C2的极坐标方程，并求出圆Cl,C2的交点坐标（用极坐标表示）；（n ）求出Ci与C2的公共弦的参数方程。【答案】（1）Ci： p =2, C2： p =4cos 0，交点极坐标（x(-1)n2,nTt -) , nCZ(2)(-/3 W yW -3 )yx16. （2013新标1）已知曲线C1的参数方程为y5cost.（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半5sin t轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为2sin 。（i）把C1

12、的参数方程化为极坐标方程；（n）求Ci与C2交点的极坐标（0,02 )。【答案】(1)p2 8pcos e 10psin 0 + 16 = 0; (2)L 兀兀42 丁， 2 217. （2013辽宁）在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆Ci,直线C2的极坐标方程分别为p= 4sin 0, pcos 9-7 =2-J2.4求C1与C2交点的极坐标;x= t3+ a,（2）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为 b . .y=33+1(te r 为参数），求a, b的值.【简解】（1）圆C1的直角坐标方程为x2+ (y2)2=4,直

13、线C2的直角坐标方程为x+y4=0.x2+ y-2 2=4,x1= 0,解得x+y4 = 0,y1= 4,x2= 2, 所以y2= 2.C1与C2交点的一个极坐标为 4, 2，（2）由（1）可得，P点与Q点的直角坐标分别为（0,2）,（1,3）.故直线PQ的直角坐标方程为 x y+2=0,由参数方程可得y=b2x- ab+1,所以% = 2,解得 a= - 1, b=2.、 一一 22 .、18. （2014辽宁）将圆x y1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线l ：2x y 2 0与C的交点为P1, P2 ,以坐标原点为极点，x轴正半

14、轴为极坐标建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【简解】（I）设（处, y1）为圆上的点,22由 Xiy11x X1在已知变换下位C上点（x, y）,依题意，得y 2Vl得x2(2)21,即曲线C的方程为1.，故C得参数方程为x= costy=2sin t（t为参数）.2x2y4y 2不妨设F（1,0）, P2（0,2），则线段P1P2的中点坐标为1 ,1-(x -),化极坐标万程，得 2 cos221 1 一一（一,1），所求直线的斜率为k -，于是所求直线方程为2 24 sin 3 ,即 3.4sin 2cos19. （2012新标理）已知曲线C1的参数方程是2

15、cos（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴3sin为极轴建立坐标系，曲线 c2的坐标系方程是ABCD的顶点都在C2上,11解得:0且A,B,C,D依逆时针次序排列，点 A的极坐标为（2,）3（1）求点A, B,C, D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点,求|pA2 |pbpc2 |pd|2的取值范围。【简解】（1）点A, B,C,D的直角坐标为（1炳,（J3,1）,（1, ,3)八 3, 1)x0 2cos(2)设P(x0,yO)；则(为参数)y0 3sint |pa |pb|2 |pc|2 |pd|22224x2 4y2 40 56 20sin256,7620.（2014新标2理）

16、在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C的极坐标方程为2cos ,0,2 .（I ）求C的参数方程;（n ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l : y J3x 2垂直，根据（I ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.22x 1 cost,【简解】(I) C的普通万程为(X 1) y 1(0 y 1).参数方程为(t为参数，0 t x)y sint,(n)设D(1 cost,sin t).由(I)知C是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆。因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线 GD与t的斜率相同,tant 3, t_ . 故D的直角坐标为 333（1

17、cos ,sin ）,即（一,）332 221. (2017 全国I文)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x= 3cos 0,y= sin 0(。为参数)，直线l的参数x= a+ 4t,方程为（t为参数）.y= 1 t(1)若a=1,求C与l的交点坐标；.一、一一x21.解(1)曲线C的普通方程为-+9(2)若C上的点到l的距离的最大值为 57,求a.y2=1.当a=1时，直线l的普通方程为 x+ 4y-3= 0.x+4y-3=0,x= 3,解得或y = 021 x= 25,24 y=25.从而C与l的交点坐标为(3,0),21 24 25 25 .(2)直线l的普通方程为x+4y-a-

18、4=0,故C上的点(3cos 0, sin。)到l的距离为13cos 9+ 4sin （一 a 4|17.当aA 4时d的最大值为0=9 .由题设得:差=/6，所以a= 8;当a0).由题设知OP|= p, |OM|=acos u由|OM| |OP=16得C2的极坐标方程p= 4cos 1仍0).因此C2的直角坐标方程为(x- 2)2+ y2= 4(xw 0)(2)设点B的极坐标为(但，取但0).由题设知|OA|=2,3= 4cos %于是 4AB 的面积 S= ；|OA| pesin/AOB=4cos 犷 sin a-3 =2 sin 2 a3w 升 3.当 后12时，S取得最大值2 + V

19、3所以AOAB面积的最大值为2 + 43.x= 2+ t,23. (2017 全国出文，22)在直角坐标系xOy中，直线li的参数方程为(t为参数)，直线12的参y= ktx= 2+ m,数方程为m(m为参数).设li与12的交点为P,当k变化时，P的轨迹为曲线C.y=k(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设13： p(cos。+ sin。)一 J2=0, M为|3与C的交点，求M的极径.13.解(1)消去参数t,得li的普通万程li: y=k(x-2);消去参数 m,得12的普通万程l2： y= -(x+2).ky= k x 2 ,设P(x, v),由题设得 消