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1、1第五章第五章 线性系统的频率特性线性系统的频率特性2 控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输

2、出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。3l在工程实践中在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系统响应的全部过往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析因此

3、，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将本章将详细介绍控制系统的频率特性法。详细介绍控制系统的频率特性法。l控制系统的频率特性分析法是利用系统的控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或频率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的来分析系统性能的方法，方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的等，是工程实践中广泛采用的分

4、析方法，也是经典控制理论的核心内容。核心内容。 4 频率特性分析法频率特性分析法 ，又称为频域分析法，是一种图解的分析，又称为频域分析法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统不需要求解系统的闭环特征根的闭环特征根，具有较多的优点。如：，具有较多的优点。如： 根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的动态性能和稳根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的动态性能和稳态性能态性能, , 得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响或者参数对系统闭环性

5、能的影响, ,并提出改进系统的方法。并提出改进系统的方法。 时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。与设计。 频率特性分析法的特点频率特性分析法的特点5具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的

6、方法去建型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。立数学模型的系统尤其有利。频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。展应用到某些非线性系统中。 本章重点介绍本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。65.1.1 频率响应

7、频率响应 频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应。入信号的稳态正弦响应。即即一个稳定的线性定常系统，在一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入正弦信号频率正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。的函数。 下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概念：下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概念：7示例：示例：如图所示一阶如图所示一阶RC网络，网络，ui(t)与与uo(t)分别为输入与输出信

8、号，分别为输入与输出信号，其传递函数为其传递函数为 RC RC网络网络ui(t)u0(t)i(t)G(s)= 110Ts+=(s)U(s)Ui其中其中T=RC，为电路的时间常数，单位为，为电路的时间常数，单位为s。 8 在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即 ui(t)=Uisin tUi与与 分别为输入信号的振幅与角频率分别为输入信号的振幅与角频率，可以运用时域法求，可以运用时域法求电路的输出。电路的输出。 输出的拉氏变换为：输出的拉氏变换为： Uo(s)=2211iU Ts+s +对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：对上式进行拉氏反变换可

9、得输出的时域表达式：9输出与输入相位差为：输出与输入相位差为： = -arctanT2211A+ T输入信号为输入信号为ui(t)=Uisin t 二者均仅与输入频率二者均仅与输入频率 ，以及系统本身的结构与参数有关。，以及系统本身的结构与参数有关。稳态输出与输入幅值比为：稳态输出与输入幅值比为： 22limsinarctansin()1imootUuttTUt+T 105.1.1 频率特性的定义频率特性的定义 一个线性定常系统，在它的输入加一个振幅为Ar，角频率为和初相为1的正弦信号，那么经过一段过渡过程而达到稳态 后 ， 系 统 的 输 出 端 也 将 输 出 一 同 频 率 的 正 弦信

10、号，只是输出信号的振幅Ac和初相2有所变化。 11 G(j)称为系统的频率特性称为系统的频率特性，它表示了系统在正弦作用下，它表示了系统在正弦作用下，稳态输出的振幅，相位随频率变化的关系。稳态输出的振幅，相位随频率变化的关系。)()()(12AAARCjGrc)()(jGArAcA称为系统的幅频特性幅频特性()= G(j) 称为系统的相频特性相频特性CR表示输出正弦量的相量表示输入正弦量的相量)()()()()(AeAjGj频率特性的复数形式：125.1.2 频率特性与传递函数的关系频率特性与传递函数的关系jssGjG)()(频率特性和传递函数之间的关系频率特性和传递函数之间的关系。135.1

11、.3 频率特性的图示方法频率特性的图示方法也称幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线，就是当从从0变化变化时时，向量向量G(j)的矢端轨迹的矢端轨迹。-90-78.7-76-71.5-63.5-45-260()=-arctanT(度)00.200.240.320.450.710.89102)(11)(TAT21T1T2T3T4T511)(TssGj注意注意: :相角()的大小与正负，要从正实轴开始按送逆时针方向为正，顺时针方向为负进行计算。 14Bode图图也称对数频率特性也称对数频率特性，就是将A()和()分别表示在两个图上，横坐标采用对数刻度横坐标采用对数刻度。L()11)(TssGBode图图

12、对数相频特性：纵轴均匀刻度，标以()值(单位为度)；横轴刻度及标值方法与幅频特性相同。 对数频率特性定义对数频率特性定义为：L()=20lgA() dB L()的图形就是Bode图155.2.1 比例环节比例环节传递函数：G(s)=K频率特性：G(j)=K 幅频特性：A()=K相频特性：()=0对数幅频和相频特性： L()=20lgA()=20lgK ()=0165.2.2 积分环节积分环节传递函数：G(s)=1/s频率特性：G(j)= 幅频特性：A()=相频特性：()=-90对数幅频和相频特性： L()=20lgA()=-20lg ()=-909011j1175.2.3 惯性环节惯性环节传递

13、函数：频率特性： 幅频特性：相频特性：对数幅频和相频特性： 11)(TssGTTTjjGarctan)(1111)(22)(11)(TATarctan)(2)(1lg20)(TLTarctan)(185.2.4 微分环节微分环节传递函数：频率特性： 幅频特性：相频特性：对数幅频和相频特性： ssG)(90)(jjG)(A 90)(lg20)(L 90)(195.2.5 振荡环节振荡环节传递函数：频率特性： 幅频特性：相频特性：对数幅频和相频特性： 222)2()(1lg20)(nnL2222)(nnnsssG2222)(1/2arctan)2()(1 1)(nnnnjG222)2()(1 1)

14、(nnA2)(1/2arctan)(nn2)(1/2arctan)(nn205.2.6 延迟环节延迟环节传递函数：G(s)=e-s 频率特性：G(j)=1- 幅频特性：A()=1 相频特性：对数幅频和相频特性： 01lg20)(L)()(211.低频段低频段在在T 1(或或 1(或或 1/T)的区段的区段,可以近似地认为可以近似地认为 L( )为因变量，为因变量，lg 为自变量，因此对数频率特性曲线是一条斜线为自变量，因此对数频率特性曲线是一条斜线, 斜斜率为率为-20dB/dec, 称为高频渐近线称为高频渐近线，与低频渐近线的交点为，与低频渐近线的交点为 T =1/T， T 称称为转折频率为

15、转折频率，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。lg20lg20lg201)(lg20)(2TTTL235一阶微分环节（一阶微分环节（Ts1） 222220 lg120 lg110 lg 1arctanLjTTTT 1. 低频段低频段 在在T 1(或或 1(或或 1/T)的区段的区段,可以近似地认为可以近似地认为高频渐近线是一条斜线高频渐近线是一条斜线, 斜率为斜率为20dB/dec, 当频率变化当频率变化10倍频倍频时时,L( )变化变化20dB。转折频率为转折频率为 T=1/T。24 可知可知,一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯

16、性环节的相应一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节的相应特性互以横轴为镜像。精确曲线的修正方法也与惯性环节相同。但需特性互以横轴为镜像。精确曲线的修正方法也与惯性环节相同。但需要注意到修正值的符号相反。要注意到修正值的符号相反。如转折频率处如转折频率处 T对应的精确值是对应的精确值是L（ T）=0+3=3dB。25 6二阶振荡环节二阶振荡环节 22121TsT s（1）对数幅频特性）对数幅频特性 222222120lg2120lg12LTjjTTT 1.低频段低频段T 1(或或 1(或或 1/T)时时,并考虑到（并考虑到（0 1），有），有L( ) -20lg(T )2= -40lg(

17、T )=-40lgT-40lg dB这说明这说明高频段是一条斜率为高频段是一条斜率为-40dB/dec的斜线的斜线,称为高频渐近线。称为高频渐近线。 T=1/T为低频渐近线与高为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标，频渐近线交点处的横坐标，称为转折频率，也就是环节称为转折频率，也就是环节的无阻尼自然振荡频率的无阻尼自然振荡频率 n。222220lg12LTT 2728（2）相频特性）相频特性 2212arctan)(TT 可知，当可知，当=0时，时， ( )=0；=1/T时，时， ( )=-90；时，时， ( ) -180。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于。与惯性环节相似，振

18、荡环节的对数相频特性曲线将对应于=1/T及及 ( ) =-90这一点斜对称。这一点斜对称。 振荡环节具有振荡环节具有相位滞后的作用，相位滞后的作用，输出滞后于输入的输出滞后于输入的范围为范围为0-180；同时同时 的取值对曲的取值对曲线形状的影响较大。线形状的影响较大。29系统开环幅相曲线的绘制步骤系统开环幅相曲线的绘制步骤1、分别求出、分别求出w=0、 时的时的G(jw)2、画出幅相曲线中间几点、画出幅相曲线中间几点3、确定、确定w=0 时时G(jw)的变化范围的变化范围303132333435363738395.3.1 系统开环幅相频率特性系统开环幅相频率特性设系统开环传递函数为：G(s)

19、=G1(s)G2(s)Gn(s) 对应的频率特性为： G(j)= G1(j) G2(j) Gn(j) = A1()1() A2()2() An()n() = A( ) ()概略绘制幅频率特性曲线的方法是： （1）确定幅相频率的起始点和终止点是：)(limjG起始点： （2）确定曲线实轴的交点，即令ImG(j)=0，得交点频率x, 再代入G(j)，可得交点坐标ReG(jx)。 （3）确定曲线的变化趋势，即()的变化范围。)(lim0jG终止点：40 系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率特性特性（j）与开环频率特性）与开环频率特性Gk

20、（j），分别对应于系统的闭），分别对应于系统的闭环传递函数环传递函数（s）与开环传递函数）与开环传递函数Gk（s）。）。由于系统的开环由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性。性。控制系统的开环频率特性为：控制系统的开环频率特性为：122111221221) 12() 1() 12() 1()()(njnlllljmkkkkmiivkTjTTjjjjKjG由除延迟环节之外的典型环节组成由除延迟环节之外的典

21、型环节组成5.3.3 开环伯德图的绘制开环伯德图的绘制 415.3.2 系统开环对数频率特性系统开环对数频率特性系统的频率特性为： G(j)= G1(j) G2(j) Gn(j) = A1()1() A2()2() An()n() = A( ) ()则系统的对数频率特性为： L()=20lgA1()+20lgA2 ()+ 20lgAn() ()= 1()+2()+ n() 因此，画出G(j)所含典型环节的对数幅频和相频曲线，对它们分别进行代数相加，就可以得到开环系统的对数幅频特性和相频特性曲线。 421.基本规律基本规律（1）由于系统开环幅频特性的渐近线是由各典型环节的对数）由于系统开环幅频特

22、性的渐近线是由各典型环节的对数幅频特性叠加而成，而直线叠加就是斜率相加，幅频特性叠加而成，而直线叠加就是斜率相加，所以所以L( )的渐近线必为由不同斜率的线段组成的折线。的渐近线必为由不同斜率的线段组成的折线。顺序斜率叠加法顺序斜率叠加法 在绘制系统在绘制系统Bode图时，应先将系统传递函数分解为典型图时，应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘制。环节乘积的形式，再逐步绘制。 不必将各个典型环节的不必将各个典型环节的L() 绘出绘出,而使用从低频到高频逐而使用从低频到高频逐次变换斜率的方法绘出次变换斜率的方法绘出L()曲线曲线, ()曲线描点或叠加求取。曲线描点或叠加求取。43（

23、2）低频渐近线（及其延长线）的确定）低频渐近线（及其延长线）的确定 vkjKjG)()(vkKGA)()(Gk（j）的低频段表达式为）的低频段表达式为122111221221) 12() 1() 12() 1()()(njnlllljmkkkkmiivkTjTTjjjjKjG ( )=-v9044()20lg20lg20lgKLK对数频率特性的低频渐近线表达式为对数频率特性的低频渐近线表达式为可见低频段的对数幅频特性与相频特性均与可见低频段的对数幅频特性与相频特性均与积积分环节的个数分环节的个数v有关。有关。 低频段为一条斜率为低频段为一条斜率为-20vdB/dec的斜线。同时，低频渐近线的斜

24、线。同时，低频渐近线（及其延长线）上在（及其延长线）上在 =1时时,有有L(1)=20lgK。45（3）转折频率及转折后斜率变化量的确定）转折频率及转折后斜率变化量的确定 低频段只与积分环节的个数低频段只与积分环节的个数v 及开环传递系及开环传递系K 有关，而其他典型有关，而其他典型环节的影响是在各自的转折频率处使环节的影响是在各自的转折频率处使L( )的斜率发生相应的变化。的斜率发生相应的变化。在惯性环节在惯性环节的转折频率的转折频率1/T处，处，斜率斜率20dB/dec；11)(TssG在一阶微分环节在一阶微分环节G(s)=( s+1)的转折频率的转折频率1/ 处，处，斜率斜率20dB/d

25、ec；在振荡环节在振荡环节的转折频率的转折频率1/T处，处，斜率斜率 40dB/dec121)(22TssTsG46（4）最终斜率与最终相位滞后与）最终斜率与最终相位滞后与n-m的关系的关系()lim()kn mKGjjmnKA)(当当 时时,由于由于nm，所以高频段的近似表达式为，所以高频段的近似表达式为121222112211(1)()21()()(1)()21mmikkkikknnvjllljljjjKGjjj TTjjT ( )= -（n - m）9047对数频率特性的高频渐近线表达式为对数频率特性的高频渐近线表达式为高频段为一条斜率为高频段为一条斜率为 -20（n-m）dB/dec的

26、斜线。的斜线。说明高频段的对数幅频特性与相频特性均与（说明高频段的对数幅频特性与相频特性均与（n-m）有关。）有关。lg)(20lg20lg20)(mnKKLmnmnKA)( ( )= -（n-m）90482 2绘制步骤绘制步骤利用规律，可以从低频到高频，将利用规律，可以从低频到高频，将L( )整条曲线一次画出，步骤如下：整条曲线一次画出，步骤如下： 1开环传递函数写成开环传递函数写成标准的时间常数表达式，确定各典型环节的转标准的时间常数表达式，确定各典型环节的转折频率。折频率。 2选定选定Bode图坐标系所需频率范围，一般最低频率为系统最低转折图坐标系所需频率范围，一般最低频率为系统最低转折

27、频率的频率的1/10左右，而最高频率为最高转折频率的左右，而最高频率为最高转折频率的10倍左右。倍左右。确定坐标比确定坐标比例尺，由小到大标注各转折频率。例尺，由小到大标注各转折频率。 3确定低频渐近线确定低频渐近线（由积分环节个数（由积分环节个数v与开环传递系数与开环传递系数K决定），决定），找找到横坐标为到横坐标为 =1、纵坐标为、纵坐标为20lgK 的点，过该点作斜率为的点，过该点作斜率为 -20vdB/dec 的的斜线。斜线。 4.由低频向高频延伸，每到一个转折频率由低频向高频延伸，每到一个转折频率,斜率根据具体环节作相应的斜率根据具体环节作相应的改变，改变，最终斜率为最终斜率为-20

28、（n-m）dB/dec。495如有必要，可对分段直线进行修正，以得到精确的对数如有必要，可对分段直线进行修正，以得到精确的对数幅频特性，其方法与典型环节的修正方法相同。通常只需修幅频特性，其方法与典型环节的修正方法相同。通常只需修正各转折频率处以及转折频率的二倍频和正各转折频率处以及转折频率的二倍频和1/2倍频处的幅值倍频处的幅值就可以了。就可以了。 系统开环对数幅频特性系统开环对数幅频特性 L( ) 通过通过0分贝线分贝线,即即 L( c)=0或或A( c)=1时的频率时的频率 c称为幅值穿越频率称为幅值穿越频率。幅值穿越频率。幅值穿越频率 c 是分是分析与设计时的重要参数。析与设计时的重要

29、参数。50 6在对数相频特性图上，分别画出各典型环节的对数相频在对数相频特性图上，分别画出各典型环节的对数相频特性曲线（可用模型板画），将各典型环节的对数相频特性特性曲线（可用模型板画），将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向迭加，便可得到系统的对数相频特性曲线。曲线沿纵轴方向迭加，便可得到系统的对数相频特性曲线。也可求出也可求出 ( )的表达式，逐点描绘。的表达式，逐点描绘。低频时有低频时有 ( )=-v(90 )，最终相位为最终相位为 ( )=-(n-m)90 。 7.若系统串联有延迟环节，不影响系统的开环对数幅频特性，若系统串联有延迟环节，不影响系统的开环对数幅频特性，只影响系统的对数

30、相频特性，则可以求出相频特性的表达式，只影响系统的对数相频特性，则可以求出相频特性的表达式，直接描点绘制对数相频特性曲线。直接描点绘制对数相频特性曲线。 51 绘制绘制Bode图图 确定典型环节及其转折频率确定典型环节及其转折频率已知开环传递函数 试绘制系统开环对数频率特性)642 .3)(5 .0()2(64)(2ssssssG写出系统标准开环传递函数写出系统标准开环传递函数) 105. 064)(12() 12(4)(2ssssssG123比例环节dBK12lg20微分环节900:)(21122122T惯性环节900:)(5.0211111T振荡环节1800:)(88111333T积分环节

31、90)(0525.3.3 最小相位和非最小相位系统最小相位和非最小相位系统 在s右半平面上既无极点，又无零点的传递函数，称为最最小相位传递函数小相位传递函数，否则，为非最小相位传递函数非最小相位传递函数，具有最小具有最小相位传递函数的系统，称为相位传递函数的系统，称为最小相位系统最小相位系统。 对于最小相位系统，根据系统的对数幅频特性就可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。因此，从系统建模与分析设计的角度看，只要绘出系统的幅频特性，就可以确定出系统的数学模型（传递函数）。11sTii1(Ti= )系统对数幅频曲线斜率变化了-20，则存在惯性环节i 为转折处的频率1sii1(i= )i 为转折

32、处的频率系统对数幅频曲线斜率变化了20，则存在微分环节系统对数幅频曲线斜率变化了-40，则存在振荡环节n 为转折处的频率12122nnss53由对数频率特性确定最小相位系统的传递函数由对数频率特性确定最小相位系统的传递函数系统，系统，不含不含积分环节积分环节系统，含一个系统，含一个积分环节积分环节系统，含二个系统，含二个积分环节积分环节系统系统(0分贝线分贝线高度高度20 lgK)系统系统(K K )系统系统(K K 2)545.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据55 系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征根都具有负实部，系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征根都具有负实部，即位于即位于s左半平

33、面。左半平面。在时域分析中判断系统的稳定性，一种方法在时域分析中判断系统的稳定性，一种方法是求出特征方程的全部根，另一种方法就是使用劳思是求出特征方程的全部根，另一种方法就是使用劳思-赫尔维茨赫尔维茨稳定判据（代数判据）。然而，这两种方法都有不足之处，对稳定判据（代数判据）。然而，这两种方法都有不足之处，对于高阶系统，非常困难且费时于高阶系统，非常困难且费时,也不便于研究系统参数、结构对也不便于研究系统参数、结构对稳定性的影响。稳定性的影响。 特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性，特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性，还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断

34、闭环系还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断闭环系统的稳定性。统的稳定性。而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。获取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。 56 除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为奈奎斯除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为奈奎斯特（特（Nyquist）判据。）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特于稳定判据是奈奎斯特于1932年提出年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的

35、主要特点有有1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。 575.4.1 奈奎斯特（奈奎斯特（Nyguist）稳定判据）稳定判据 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据：系统闭环稳定的充分必要条件是，当频率从0 ，系统的开环幅相频率特性曲线逆时针绕(-1

36、，j0)点的角度为p。其中p为系统开环传递函数G(s)位于s右半平面的极点数。 也可以叙述为：闭环系统稳定的充要条件是当由0时，开环幅相频率特性在点(-1，j0)左侧负实轴上正、负穿越的次数之差为p/2，p为开环传递函数正实部极点个数 。 值得说明的是，当开环幅相频率特性起始于负实轴上或终止于负定轴上时，穿越次数定义为1/2次。若开环幅相频率特性在点（1，j0）左侧负实轴上负穿越的次数大于正穿越的次数，则闭环系统一定不稳定。 58这些开环幅相特性曲线的闭环系统稳定吗？595.4.3 简化奈奎斯特稳定判据简化奈奎斯特稳定判据 1. 绘制绘制 由由0变到变到+ 时的开环幅相频率特性时的开环幅相频率

37、特性G(j ) 由由0变到变到+ 时的开环幅相频率特性时的开环幅相频率特性 G(j ) 逆时针逆时针包围包围(-1,j0)点的圈数点的圈数为为 N ， 已知系统开环右极点数为已知系统开环右极点数为 P ，则系统闭环右极点个数为，则系统闭环右极点个数为 Z （不包括虚轴上的极点）（不包括虚轴上的极点）： Z = P -2 N 当当Nyquist曲线曲线G(j) 通过通过(-l, j0)点时点时,表明在表明在s平面虚轴上有平面虚轴上有闭环极点，系统处于临界稳定状态，属于不稳定。闭环极点，系统处于临界稳定状态，属于不稳定。60 开环频率特性曲线逆时针穿越（开环频率特性曲线逆时针穿越（-，-1）区间时

38、，随）区间时，随增加，频率特增加，频率特性的相角值增大，称为一次性的相角值增大，称为一次正穿越正穿越N+。 反之，开环频率特性曲线顺时针穿越（反之，开环频率特性曲线顺时针穿越（-，-1）区间时，随）区间时，随增加，增加，频率特性的相角值减小，则称为一次频率特性的相角值减小，则称为一次负穿越负穿越N-。 频率特性曲线包围频率特性曲线包围(-1,j0)点的情况，就可以利用频率特性曲线在负实点的情况，就可以利用频率特性曲线在负实轴（轴（-，-1）区间的正、负穿越来表达。）区间的正、负穿越来表达。2.采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的计算采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的计算 由由0变到变到+ 时

39、开环频率特性曲线要形时开环频率特性曲线要形成对成对(-1,j0)点的一次包围，势必点的一次包围，势必穿越（穿越（-，-1）区间一次。）区间一次。61 由由0变到变到+ 时的开环幅相频率特时的开环幅相频率特性性G(j )对对(-1,j0)点的总包围次数为点的总包围次数为 N = （ N+ - N- ） 利用正、负穿越情况的奈奎斯特利用正、负穿越情况的奈奎斯特稳定判据叙述为：稳定判据叙述为： Z = P -2（ N+ - N- ） 注意奈氏曲线在注意奈氏曲线在 (-1,j0)点以右负实轴上相位有变化不算穿点以右负实轴上相位有变化不算穿越。越。623.半次穿越半次穿越 奈氏曲线始于或至于奈氏曲线始于

40、或至于(-1,j0)点以点以左负实轴，称为一个半次穿越，如左负实轴，称为一个半次穿越，如图所示图所示。例例5.9某系统开环传递函数如下，某系统开环传递函数如下，试判断闭环系统的稳定性。试判断闭环系统的稳定性。13)()(ssHsG由于曲线始于（由于曲线始于（-3，j0）点，故顺时针包围（）点，故顺时针包围（-1，j0）点的次数为）点的次数为1/2，N-=1/2。由于开环右极点数为。由于开环右极点数为P=0，故，故 Z = P-2（ 0 - N- ） = P-2N- =1闭环系统有一个右极点，闭环不稳定。闭环系统有一个右极点，闭环不稳定。635.4.2 奈奎斯特对数稳定判据奈奎斯特对数稳定判据

41、当由0变化时，在开环对数幅频率特性曲线L()0dB的频段内，相频特性曲线()对-180线的正穿越与负穿越次数之差为p/2（p为s平面右半部分开环极点数目），则闭环系统稳定；否则系统不稳定。 奈奎斯特对数稳定判据奈奎斯特对数稳定判据645.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性65 当系统处于稳定状态，且接近临界稳定状态时，虽然从理论当系统处于稳定状态，且接近临界稳定状态时，虽然从理论上讲，系统是稳定的上讲，系统是稳定的,但实际上，系统可能已处于不稳定状态。其但实际上，系统可能已处于不稳定状态。其原因可能是在建立系统数学模型时，采用了线性化等近似处理方原因可能是在建立系统数学模型时，采用了

42、线性化等近似处理方法；或系统参数测量不准确；或系统参数在工作中发生变化等。法；或系统参数测量不准确；或系统参数在工作中发生变化等。 因此要求系统保有一定的因此要求系统保有一定的相对稳定性（稳定裕度）相对稳定性（稳定裕度），这样才，这样才可以保证不致于分析设计过程中的简化处理，或系统的参数变化可以保证不致于分析设计过程中的简化处理，或系统的参数变化等因素而导致系统在实际运行中出现不稳定的现象。等因素而导致系统在实际运行中出现不稳定的现象。 系统稳定裕度系统稳定裕度用于表征系统的相对稳定程度，经常作为控制用于表征系统的相对稳定程度，经常作为控制系统的系统的频率域性能指标频率域性能指标。66可知：可

43、知：K值较小时，系统稳定；值较小时，系统稳定；K值较大时，系统不稳定的；值较大时，系统不稳定的；K 取 两 者 间 的 某 个 值 时 ，取 两 者 间 的 某 个 值 时 ，Nyquist曲线通过曲线通过(-1,j0)点，系点，系统处于临界稳定状态。统处于临界稳定状态。系统系统Nyquist曲线与实轴交点坐标离曲线与实轴交点坐标离(-1, j0)点的距离，可作为表征点的距离，可作为表征系统相对稳定性的一个指标。系统相对稳定性的一个指标。通常用通常用相角裕量相角裕量和和幅值裕量幅值裕量hg表示系统稳定裕度。表示系统稳定裕度。 67 相角稳定裕度的物理意义在于：对于闭环稳定的最小相相角稳定裕度的

44、物理意义在于：对于闭环稳定的最小相位系统，在位系统，在 = c处，系统的相角如果再减小处，系统的相角如果再减小 角度，系统将处角度，系统将处于临界稳定状态；减小的角度大于于临界稳定状态；减小的角度大于 后，系统将不稳定。为了后，系统将不稳定。为了使最小相位系统是稳定的使最小相位系统是稳定的, 必须为正值。必须为正值。 稳定系统稳定系统 0, 越大越大,系统相对稳定性越高。系统相对稳定性越高。 相位裕度是设计控制系统时的一个重要依据，描述系统相位裕度是设计控制系统时的一个重要依据，描述系统的阻尼程度。的阻尼程度。685.5.3 幅值裕量幅值裕量 1()gghA Nyquist曲线与负实轴曲线与负

45、实轴交点处幅值的倒数称为交点处幅值的倒数称为幅幅值裕量值裕量，记为，记为hg。69 幅值稳定裕度的物理意义为：对于闭环稳定的最小相位系幅值稳定裕度的物理意义为：对于闭环稳定的最小相位系统，若系统在相角穿越频率统，若系统在相角穿越频率 g 处幅值增大处幅值增大hg 倍（或对数幅值倍（或对数幅值上升上升Lh分贝），则系统将处于临界稳定状态。分贝），则系统将处于临界稳定状态。稳定系统稳定系统hg 1, Lh(dB)0, hg越大，相对稳定性越高。越大，相对稳定性越高。 对非最小相位系统，只有对非最小相位系统，只有0且且hg1时，才能判断系统的时，才能判断系统的稳定性。对最小相位系统，有时仅需两者之一

46、即可，一般取稳定性。对最小相位系统，有时仅需两者之一即可，一般取。以分贝数表示时：以分贝数表示时： 20lg20lg()hgggLdBhAL 70系统的系统的Nyquist图和图和Bode图的对应关系图的对应关系 Bode图与图与Nyquist图之间具有对应关系，所以在图之间具有对应关系，所以在Nyquist图图上的分析结论可以移植到上的分析结论可以移植到Bode图上加以应用。图上加以应用。 c 为幅值穿越频率为幅值穿越频率(或幅值交接频率或幅值交接频率),特性曲线与单位圆特性曲线与单位圆（0dB线）交接处的频率；线）交接处的频率； g为相位穿越频率为相位穿越频率(相位交接频率相位交接频率),

47、特性曲线与负实轴（特性曲线与负实轴（-180o线）交接处的频率。线）交接处的频率。 71 由图可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，由图可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于当开环传递系数增加时，由于L( c) 曲线上升，导致幅值曲线上升，导致幅值穿越频率穿越频率 c 右移右移，从而使得相位裕度与幅值裕度都下降，从而使得相位裕度与幅值裕度都下降，甚至使系统不稳定。甚至使系统不稳定。725.5.4 系统的稳定裕量系统的稳定裕量 仅用相位裕量或幅值裕量都不足以充分说明系统的稳定性。仅用相位裕量或幅值裕量都不足以充分说明系统的稳定性。对于最小相位系统，只有当对于最小相位

48、系统，只有当、Lh均为正时，系统才是稳定的。均为正时，系统才是稳定的。为了确保系统的相对稳定性，使系统具有满意的性能，为了确保系统的相对稳定性，使系统具有满意的性能，、Lh都都应该有合适的取值。应该有合适的取值。73 从控制工程实践得出，系统应具有从控制工程实践得出，系统应具有30 60 的相位裕量，的相位裕量，幅值裕量幅值裕量大于大于6dB（即（即Kg2）。对于最小相位系统。对于最小相位系统,开环对数幅开环对数幅频特性和相频特性之间有确定的对应关系。频特性和相频特性之间有确定的对应关系。 要求相位裕量应在要求相位裕量应在30 60 之间之间,意味着开环对数幅频特性意味着开环对数幅频特性在穿越

49、频率在穿越频率 c 上的斜率必须小于上的斜率必须小于-40dB/十倍频十倍频, 通常取通常取-20dB/dec，且具有一定的宽度，且具有一定的宽度。 适当的相位裕量和幅值裕量适当的相位裕量和幅值裕量,可以防止系统中元件的参数和可以防止系统中元件的参数和特性在工作过程中的变化对系统稳定性产生不良的影响，并可特性在工作过程中的变化对系统稳定性产生不良的影响，并可以提高系统抗高频干扰的能力。以提高系统抗高频干扰的能力。74 根据稳定裕量的概念，当某系统结构、参数给定时，还可根据稳定裕量的概念，当某系统结构、参数给定时，还可根据要求的稳定裕量如根据要求的稳定裕量如的取值确定系统的开环传递系数。的取值确

50、定系统的开环传递系数。 首先，根据开环传递系数的某个取值绘出开环伯德图，首先，根据开环传递系数的某个取值绘出开环伯德图， （ ）曲线上相位大于）曲线上相位大于-180，并与，并与-180距离正好为距离正好为所对应的那所对应的那一点的频率就是所需的幅值穿越频率一点的频率就是所需的幅值穿越频率 c。 然后将然后将L（ ）在坐标系中上下平移，使之正好在此点穿越）在坐标系中上下平移，使之正好在此点穿越0分贝线，就确定了满足要求的系统开环伯德图，其相位裕量为分贝线，就确定了满足要求的系统开环伯德图，其相位裕量为要求的取值。最后，求出此刻要求的取值。最后，求出此刻L（ ）所对应的开环传递系数。）所对应的开

51、环传递系数。755.6 闭环系统频率特性闭环系统频率特性 76 开环频率特性来分析和设计系统，是工程设计中开环频率特性来分析和设计系统，是工程设计中常用的方法。在进一步的分析和设计系统时，也常常用的方法。在进一步的分析和设计系统时，也常要利用闭环系统的频率特性。由于闭环系统的闭环要利用闭环系统的频率特性。由于闭环系统的闭环零极点较难获取，因此一般无法直接根据闭环传递零极点较难获取，因此一般无法直接根据闭环传递函数绘制闭环频率特性。系统闭环频率特性的求取函数绘制闭环频率特性。系统闭环频率特性的求取有不同的方法，但一般是利用系统开环频率特性来有不同的方法，但一般是利用系统开环频率特性来求闭环频率特

52、性。求闭环频率特性。 7778 幅值穿越频率幅值穿越频率 c与相位穿越频率与相位穿越频率 g，相位裕量，相位裕量 与幅值裕量与幅值裕量都是控制系统的开环频域指标，频域指标是表征系统动态性能都是控制系统的开环频域指标，频域指标是表征系统动态性能的间接指标。由于的间接指标。由于时域指标（稳态误差时域指标（稳态误差ess、最大超调量、最大超调量%、调节时间调节时间ts 等）等）反映系统性能更为直接、正确。因此需要探讨反映系统性能更为直接、正确。因此需要探讨开环频域指标与时域指标之间的关系，以便于由开环频域指标开环频域指标与时域指标之间的关系，以便于由开环频域指标分析闭环系统的性能。分析闭环系统的性能

53、。 对于最小相位系统来说，对数幅频特性与对数相频特性存对于最小相位系统来说，对数幅频特性与对数相频特性存在着一一对应的关系，反映系统的结构与参数，能够据此推出在着一一对应的关系，反映系统的结构与参数，能够据此推出系统的传递函数。因此，根据系统的开环对数幅频特性系统的传递函数。因此，根据系统的开环对数幅频特性L( )，就能了解系统的静态和动态性能。就能了解系统的静态和动态性能。79 本节介绍开环对数幅频特性本节介绍开环对数幅频特性L( )的形状与系的形状与系统性能的关系，并研究频域指标与时域指标的统性能的关系，并研究频域指标与时域指标的关系，以及根据频域指标估算系统的时域响应关系，以及根据频域指

54、标估算系统的时域响应性能的方法。性能的方法。80开环频率特性频段的划分开环频率特性频段的划分 低频段低频段开环频率特性第一个转折点前的部分中频段中频段开环频率特性截止频率c前后的区间高频段高频段开环频率特性 10c后的区间点点看815.5.1 开环频率特性低频段与系统稳态误差的关系开环频率特性低频段与系统稳态误差的关系 系统系统(0分贝线高分贝线高度度20 lgK)系统系统(K Kn )-20n825.6.2 开环对数幅频特性开环对数幅频特性L（ )中频段与系统动态性能关系中频段与系统动态性能关系 由开环频率特性来研究系统的动态性能由开环频率特性来研究系统的动态性能,一般是用对数幅频一般是用对

55、数幅频特性的特性的幅值穿越频率幅值穿越频率 c和相位裕量和相位裕量 这两个特征量，这两个特这两个特征量，这两个特征量都与系统中频段的形状有关。征量都与系统中频段的形状有关。 开环对数幅频特性开环对数幅频特性L( )的中频段是指的中频段是指L( )曲线在幅值穿曲线在幅值穿越频率越频率 c附近的区段，在波德图一般是附近的区段，在波德图一般是L( )从大约从大约+30dB过渡过渡到约到约-15dB的范围内。的范围内。 下面以一例题来说明系统开环波德图中频段形状与系统下面以一例题来说明系统开环波德图中频段形状与系统稳定性之间的关系。稳定性之间的关系。83例例5.15某单位负反馈系统开环传递函数如下（某

56、单位负反馈系统开环传递函数如下（T1 T2） ，分析中频段形，分析中频段形状与相位裕量状与相位裕量 间的关系。间的关系。解：绘制系统开环解：绘制系统开环L( )如图所示，如图所示，调节开环传递系数调节开环传递系数K的大小，使的大小，使L( )以不同的斜率穿越以不同的斜率穿越0分贝线。分贝线。由图可见，此系统不仅增加放大由图可见，此系统不仅增加放大系数时会降低系统的稳定性系数时会降低系统的稳定性,降降低放大系数也将降低系统的稳定低放大系数也将降低系统的稳定性。性。 ) 1() 1()(221sTssTKsGk84 当当 1、 2确定，确定， c处于处于 1、 2之间的几何中心点时，之间的几何中心

57、点时， 值有极大值。值有极大值。21h12c 1arctanarctanmhh L( )在低频段与高频段的斜率为在低频段与高频段的斜率为-40dB/dec，这两段所对应，这两段所对应的的 ( )相位值较小，相位值较小，所以当以斜率所以当以斜率-20dB/dec穿越穿越0分贝线时，分贝线时，所对应的所对应的较大。较大。同时希望同时希望 受其他斜率段的影响较小，所以受其他斜率段的影响较小，所以 c应应该远离其他斜率段，该远离其他斜率段，即即中频段也应该有一定的宽度，保证对应的中频段也应该有一定的宽度，保证对应的值值(对其他系统同样适用对其他系统同样适用)。855.5.2 开环频率特性中频段与系统暂

58、态性能指标的关系开环频率特性中频段与系统暂态性能指标的关系 1422arctan42%100%21e越小，%越大； 越大，%越小。为使二阶系统不致于振荡得太厉害以及调节时间过长，一般希望30 70 tgtcs6如果两个二阶系统的相同，则它们的最大超调量也相同，c较大的系统，调节时间ts较短。 86 对于二阶系统，开环频域指标与时域指标之间有准确的数学关系。对于二阶系统，开环频域指标与时域指标之间有准确的数学关系。 二阶二阶系统开环频率特性为系统开环频率特性为nnjj221. 二阶系统二阶系统与系统平稳性之间的关系与系统平稳性之间的关系%100%21e 根据给定的相角裕度根据给定的相角裕度可以查

59、得反映系统动态特性的可以查得反映系统动态特性的时域指标最大超调量时域指标最大超调量% ，反之亦然，二者之间为一一对，反之亦然，二者之间为一一对应的确定的关系。应的确定的关系。增大，增大，随之增大，随之增大， %减小。减小。1422arctan42872.二阶系统二阶系统 c 、与系统快速性之间的关系与系统快速性之间的关系tan6cst 当要求系统具有相当的灵敏度时当要求系统具有相当的灵敏度时， c应该较大应该较大。从物理从物理意义上解释，意义上解释， c越大，说明系统能够响应的输入信号的频率越大，说明系统能够响应的输入信号的频率越高，也就是跟踪输入信号的速度越快，系统的惯性较小，越高，也就是跟踪输入信号的速度越快，系统的惯性较小，即快速性好。即快速性好。 由以上分析可知，对二阶系统，由以上分析可知，对二阶系统，ts c与与成反比；成反比；当当给定后，给定后，ts与与 c成成反比；反比；883高阶系统开环频域指标与时域指标之间的关系高阶系统开环频域指标与时域指标之间的关系 高阶系统的开环频域指标（高阶系统的开环频域指标（、 c）与时域指标（）与时域指标（%，ts）之间的对应）之间的对应关系比较复杂，通常采用经验公式来近似。这样在实际应用中，仍然可关系比较复杂，通常采用经验公式来