高等数学第8章空间直线及其方程

1、高等数学 课程相关 教材及相关辅导用书 高等数学第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8. 高等数学精品课程下册第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7.高等数学第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7.高等数学学习辅导与习题选解（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版社,2014.8. 第八章 空间解析几何与向量代数 8.1 向量代数 8.2 数量积 向量积 混合积 8.3 空间曲面及其方程 8.4 空间曲线及其方程 8.5 平面及其方程 8.6 空间直线及其方程空间直线及其方程 8.7 综合例题平面及其方程内容回顾1.平

2、面基本方程平面基本方程:一般式一般式点法式点法式截距式截距式0 dczbyax)0(222 cba1 czbyax三点式三点式0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000 zzcyybxxa)0( abc0212121 ccbbaa212121ccbbaa 2.平平面面与平面与平面之间的关系之间的关系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夹角公式夹角公式:2121cosnnnn 021 nn021 nn, 0:22222 dzcybxa ),(2222cban , 0:11111 dzcybxa ),(1111cban 第六节 空间直线及其方程一般方

3、程对称式方程与参数方程两直线的夹角直线与平面的夹角平面束点到直线的距离xyzo1 2 若空间直线若空间直线l为两平面为两平面0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa111122220:0a xb yc zdla xb yc zdl一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程与与则方程组则方程组的交线，的交线，称为空间直线的称为空间直线的一般一般方程方程。xyzo 如果一个如果一个非零非零向量平行于直线向量平行于直线l，这，这个向量就称为直线个向量就称为直线l的一个的一个方向向量方向向量sl,),( 0000lzyxm 设设0m m lzyxm),(smm0/二、空间直线的对

4、称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程的的一一个个方方向向向向量量，则则为为 ),(lpnms pzznyymxx000 直线直线l的的点向式点向式方程方程或或对称式对称式方程方程。直线直线 l的一组的一组方向数。方向数。0 / /m ms又又直线的直线的参数参数方程方程。0m mts，即即),(),( 000pnmtzzyyxx ptzzntyymtxx000得得:l例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 00

5、0 zy得直线上的一点得直线上的一点),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直故可取故可取21nns ,3, 1, 4 因此，所求直线的对称式方程为因此，所求直线的对称式方程为,321041 zyx参数方程为参数方程为.3241 tztytx例例 2 2 一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( a，且且和和 y 轴轴垂垂直直相相交交，求求其其方方程程.解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( b取取bas ),4, 0, 2( 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx，则则，、若若21222

6、21111),(),( mmlzyxmzyxm :l121121121zzzzyyyyxxxx 两点式两点式方程。方程。注：注：例例 3 3 求求过过)3 , 1 , 2(m且且与与 l:12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程. 解解先作过点先作过点m且与已知直线且与已知直线 l 垂直的平面垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点n,，由由 tztytx1213lm n代入平面方程，得代入平面方程，得,73 t交点交点)73,713,72( n取方向向量取方向向量mn)373, 1713, 272( ),4 , 1, 2(

7、76 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx:1l:2l22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 两直线的方向向量的夹角两直线的方向向量的夹角（锐角）（锐角）称为称为两直线的夹角两直线的夹角.两直线的夹角公式。两直线的夹角公式。三、两直线的夹角三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm ,111111pzznyymxx ,222222pzznyymxx 直线直线:1l直线直线:2l,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 s

8、s,21ss 例如，例如，.21ll 即即例例4 4 求直线求直线113:141xyzl和和22:221xyzl的夹角的夹角. .22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax),(pnms ),(cban 四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 0.2 ),(2ns ),(2 ns 或或直线与平面的夹角公式。直线与平面的夹角公式。222222|sinpnmcbacpbnam | ),cos(

9、|sinns 解解),2, 1, 1( n(2,1,1),s 222222|sinpnmcbacpbnam |12( 1) 112|66 1.2 1arcsin26 为所求夹角为所求夹角直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： l)1(.pcnbma l)2(/. 0 cpbnam典型习题：如习题8.6的第5题。 五、平面束 通过空间一直线可作无数多个平面，通过同通过空间一直线可作无数多个平面，通过同一直线的所有平面构成一个平面束一直线的所有平面构成一个平面束.设空间直线设空间直线l的的一般方程为一般方程为111122220,0,a xb yc zda xb yc zd 则方程则方程111

10、12222()()0a xb yc zda xb yc zd 称为过直线称为过直线 l 的平面束方程，其中的平面束方程，其中为参数为参数.解 设过直线l 的平面束 的方程为(26)(2)0,xyzxyz 即(1)2(1)(1)60.xyz 显然平面 的法向量应垂直于平面 的法向量，于是(1)4(1)(1)0, 解得2, 故所求平面方程为:3260.xyz 容易验证，平面20 xyz 不是所求平面.1( )练习：1、空间直线的、空间直线的一般一般方程方程.2、空间直线的、空间直线的对称式对称式方程、方程、参数参数方程方程.3、两直线的夹角、两直线的夹角.4、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）六、小结六、小结 5、平面束1. 空间直线方程一般式对称式参数式0022221111dzcybxadzcybxatpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 ,1111111pzznyymxxl：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxl：212121ppnnmm2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21ll 21/