2020_2021学年新教材高中数学单元素养评价第13章立体几何初步含解析苏教版必修第二册

1、单元素养评价(三)(第13章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是()a.矩形b.正方形c.梯形d.平行四边形【解析】选d.棱柱的侧棱平行且相等,故截面为平行四边形.2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()【解析】选a.由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对角线长为2.3.若平面平面,直线a平面,点b平面,则在平面内过点b的所有直线中()a.不一定存在与a平行的直线b.一定不存在与a平行的直线c.存在无数条与a平行的直线d.存在唯一一条与a

2、平行的直线【解析】选d.因为平面平面,直线a平面,点b平面,所以ba,过直线a与点b作平面,则平面与平面的交线即为与a平行的唯一直线.4.在如图所示的四个正方体中,能得出abcd的是()【解析】选a.a中因为cd平面amb,所以cdab;b中,ab与cd成60角;c中,ab与cd成45角;d中,ab与cd夹角的正切值为.5.正六棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm,高是1 cm,则它的侧面积为_cm2()a.b.9c.d.3【解析】选a.棱台的斜高为cm,所以s侧=6(1+2)=(cm2).6.如图,在直三棱柱abc-a1b1c1中,d为a1b1的中点,ab=bc=bb1=2,ac=2,则异

3、面直线bd与ac所成的角为()a.30b.45c.60d.90【解析】选c.如图,取b1c1的中点e,连接be,de,则aca1c1de,则bde即为异面直线bd与ac所成的角.由条件可知bd=de=eb=,所以bde=60.7.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()a.l1l4b.l1l4c.l1与l4既不垂直也不平行d.l1与l4的位置关系不确定【解析】选d.如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,记l1=dd1,l2=dc,l3=da,若l4=aa1,满足l1l2,l2l3,l3l4,此时l1l4,可以排除选项a

4、和c.若l4=dc1,也满足条件,可以排除选项b.8.(2020全国卷)已知abc是面积为的等边三角形,且其顶点都在球o的球面上.若球o的表面积为16,则o到平面abc的距离为()a.b.c.1d. 【解题指南】本题考查球的相关问题,意在考查学生的空间想象能力和运算求解能力.【解析】选c.设abc的外接圆圆心为o1,记oo1=d,圆o1的半径为r,球o的半径为r,abc的边长为a,则sabc=a2=,可得a=3,于是r=,由题知,球o的表面积为16,则r=2,由r2=r2+d2易得d=1,即o到平面abc的距离为1.【方法技巧】解答球的有关问题时,通常要用到截面圆.如图所示,设球o的半径为r,

5、截面圆o的半径为r,m为截面圆上任意一点,球心o到截面圆o的距离为d,则在rtoom中,om2=oo2+om2,即r2=d2+r2.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列说法正确的是()a.垂直于同一个平面的两条直线平行b.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直c.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行d.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直【解析】选abc.d项中一条直线与一个平面内的任一直线垂直,则这条直线和这个平面垂直;或者是一条直线与一个平面内的

6、两条相交直线垂直,则这条直线和这个平面垂直,所以d错误.10.已知m,n是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,下列选项说法正确的为()a.若m,m,则b.若m,n,mn,则c.若,则d.若m,n是异面直线,m,m,n,n,则【解析】选ad.对于a,垂直于同一条直线的两个平面平行,正确;对于b,不满足平面与平面平行的判定定理,错误;对于c,平面,可能相交,错误;对于d,满足平面与平面平行,正确.11.在三棱锥d-abc中,ab=bc=cd=da=1且abbc,cdda,m,n分别是棱bc,cd的中点,下面结论正确的是()a.acbdb.mn平面abdc.三棱锥a-cmn的体积的最大值为d.

7、ad与bc一定不垂直【解析】选abd.设ac的中点为o,连接ob,od,则acob,acod,又obod=o,所以ac平面obd,所以acbd,故a正确;因为mnbd,所以mn平面abd,故b正确;当平面dac平面abc时,va-cmn最大,最大值为va-cmn=vn-acm=,故c错误;若ad与bc垂直,又因为abbc,所以bc平面abd,所以bcbd,又bdac,所以bd平面abc,所以bdob,因为ob=od,所以显然bd与ob不垂直,故d正确.12.如图,在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,点p是对角线ac1上的动点,点p与a,c1不重合,则下面结论中正确的是()a.存在点

8、p,使得平面a1dp平面b1cd1b.存在点p,使得ac1平面a1dpc.s1,s2分别是a1dp在平面a1b1c1d1,平面bb1c1c上的正投影的面积,对任意点p,都有s1s2d.a1dp面积的最小值是【解析】选abd.考查a,连接ad1交a1d于m,连接bc1交b1c于n,再连接pm,d1n,见图(1),则平面ad1c1b平面a1dp=pm,平面ad1c1b平面b1cd1=d1n.由于a1db1c,只要pmd1n能成立,平面a1dp平面b1cd1就成立.易知ap=ac1时,pmd1n,a正确.对b,由于ac1平面b1cd1,当平面a1dp平面b1cd1时,ac1平面a1dp成立,所以b正

9、确.对c,如图(2),a1dp在平面a1b1c1d1的投影是p1a1d1,p1在对角线a1c1上,在平面bb1c1c的投影是p2b1c,p2在对角线bc1上,当动点位于ac1中点时,p1,p2同时是a1c1和b1c的中点.此时b1,p2,c三点共线,p由此向点a移动时,s1逐渐变小,s2逐渐变大.一定有p点使s1=s2,故c错.对d,见图(1),由于a1d平面ad1c1,则a1dpm,a1dp的面积为:a1dpm=pm,在rtad1c1中,mpac1时pm最小,此时pm=,所以a1dp面积的最小值为:=,d正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.如图甲,在正方形sg1g2g3中,e,f分

10、别是边g1g2,g2g3的中点,d是ef的中点,现沿se,sf及ef把这个正方形折成一个几何体(图乙),使g1,g2,g3三点重合于点g,下面结论成立的是_.(填序号)sg平面efg;sd平面efg;gf平面sef;gd平面sef.【解析】在题图甲中,sg1g1e,sg3g3f;在题图乙中,sgge,sggf,gegf=g,所以sg平面efg,故正确,显然错误;若gf平面sef,则gfef,而gf与ef不垂直,故错误;因为sg平面gef,所以sggd,所以gd与sd不垂直,即gd与平面sef不垂直,故错误.答案:14.在空间四边形abcd中,ad=bc=2,e,f分别是ab,cd的中点,ef=

11、,则异面直线ad与bc所成角的大小为_.【解析】取ac中点m,连接em,fm,f为dc中点,m为ac中点,所以fmad,且fm=ad=1,同理embc,且em=bc=1.在emf中作mnef于n.在rtmne中,em=1,en=,所以sinemn=,emn=60,所以emf=120,所以ad与bc所成角为60.答案:6015.棱长为1的正四面体内有一点p,由点p向各个面引垂线,垂线段的长分别为d1,d2,d3,d4,则d1+d2+d3+d4的值为_.【解析】设四面体的高为h则h=,sh= s(d1+d2+d3+d4),所以d1+d2+d3+d4=h=.答案:16.降水量是指水平地面上单位面积降

12、雨的深度,用上口直径为38 cm,底面直径为24 cm,深度为35 cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量,如果在一次降雨过程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的,则水面半径是_,本次降雨的降水量是_(精确到1 mm).【解析】桶内水的深度为35=5(cm),设水面半径为x cm,则有=,解得x=13,v水=5(122+1213+132)=.设单位面积雨水深度为h,则v水=192h,所以192h=,所以h2.2 cm=22 mm.答案:13 cm22 mm四、解答题(共70分)17.(10分)直三棱柱的高为6 cm,底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,将棱柱削成圆柱,求削去部

13、分体积的最小值.【解析】如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的体积最大,削去部分体积才能最小,设此时圆柱的底面半径为r,圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm.因为在abc中,ab=3 cm,bc=4 cm,ac=5 cm,所以abc为直角三角形.根据直角三角形内切圆的性质可得7-2r=5,所以r=1 cm,所以v圆柱=r2h=6(cm3).而三棱柱的体积为v三棱柱=346=36(cm3),所以削去部分的体积为36-6=6(6-)(cm3).18.(12分)如图,正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2.(1)求证:acb1d;(2)求三棱锥c-bdb1的体积.【解析

14、】(1)因为abcd-a1b1c1d1为正方体,所以bb1平面abcd.因为ac平面abcd,所以bb1ac.又因为底面abcd为正方形,所以acbd.因为bb1bd=b,所以ac平面bb1d.因为b1d平面bdb1,所以acb1d.(2)连接b1c,=.因为b1b平面abcd,所以b1b是三棱锥b1-bdc的高.因为=sbdcbb1=222=.所以三棱锥c-bdb1的体积为.19.(12分)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是菱形,bad=60, ab=2,pa=1,pa平面abcd,点e是pc的中点,f是ab的中点.(1)求证:be平面pdf;(2)求直线be与平面pad所成角的正

15、弦值.【解析】(1)取pd中点为m,连接me,mf.因为e是pc的中点,所以me是pcd的中位线,所以mecd.因为f是ab的中点且四边形abcd是菱形,abcd,所以meab.所以mefb.所以四边形mebf是平行四边形.从而bemf,因为be平面pdf,mf平面pdf,所以be平面pdf.(2)由(1)得bemf,所以直线be与平面pad所成角就是直线mf与平面pad所成角.取ad的中点g,连接bd,bg.因为底面abcd是菱形,bad=60,所以abd是正三角形,所以bgad,因为pa平面abcd,pa平面pad,所以平面pad平面abcd,且平面pad平面abcd=ad,bgad,所以

16、bg平面pad,过f作fhbg,交ad于h,则fh平面pad,连接mh,则fmh就是mf与平面pad所成的角.又f是ab的中点,所以h是ag的中点.连接mg,又m是pd的中点,所以mgpa.在rtmgh中,mg=pa=,gh=ad=,所以mh=.在正三角形abd中,bg=,所以fh=bg=.在rtmhf中,mf=,所以sinfmh=,所以直线be与平面pad所成角的正弦值为.20.(12分)已知在三棱锥p-abc中,acb=90,bc=4,ab=20.d为ab的中点,且pdb为等边三角形,papc.(1)求证:平面pac平面abc;(2)求二面角d-ap-c的正弦值.【解析】(1)在rtacb

17、中,d是斜边ab的中点,所以bd=da.因为pdb是等边三角形,所以bd=dp=bp,则bd=da=dp,因此apb为直角三角形,即pabp.又papc,pcbp=p,所以pa平面pcb.因为bc平面pcb,所以pabc.又acbc,paac=a,所以bc平面pac.因为bc平面abc,所以平面pac平面abc.(2)由(1)知papb及已知papc,故bpc即为二面角d-ap-c的平面角.由(1)知bc平面pac,则bcpc.在rtbpc中,bc=4,bp=bd=10,所以sinbpc=,即二面角d-ap-c的正弦值为.21.(12分)如图,在平行四边形abcm中,ab=ac=3,acm=9

18、0.以ac为折痕将acm折起,使点m到达点d的位置,且abda.(1)证明:平面acd平面abc;(2)q为线段ad上一点,p为线段bc上一点,且bp=dq=da,求三棱锥q-abp的体积.【解析】(1)由已知可得,bac=90,即baac.又因为baad,acad=a,所以ab平面acd.因为ab平面abc,所以平面acd平面abc.(2)由已知可得,dc=cm=ab=3,da=3.又bp=dq=da,所以bp=2.如图,过点q作qeac,垂足为e,则qedc.由已知及(1)可得,dc平面abc,所以qe平面abc,qe=1.因此,三棱锥q-abp的体积为vq-abp=sabpqe=32sin 451=1.22.(12分)如图,在五面体abcdef中,四边形adef是正方形,fa平面abcd,bcad,cd=1,ad=2,bad=cda=45.(1)求异面直线ce与af所成角的余弦值;(2)证明:cd平面abf;(3)求二面角b-ef-a的正切值.【解析】(1)因为四边形adef是正方形,所以faed.故ced为异面直线ce与af所成的角.因为fa平面abcd,所以facd,故edcd.在rtcde中,cd=1,e