高等数学同济第六版课件第六章1.元素法几何应用

1、abxoyix1x1 ix1 nx(1)将将a,b分成分成n个小区间个小区间(2)任取任取i xi-1, xi, 计算计算f(i)xi(3)作和作和 iinixfs )(1(4)取极限取极限 i iinixf )(lim10 badxxf)()(xfy (1)将将a,b分成分成n个小区间个小区间(2)任取任取i xi-1, xi, 计算计算f(i)xi(3)作和作和 iinixfs )(1(4)取极限取极限 iinixf )(lim10 badxxf)(abxoy)(xfy 设想设想a,b分的无限细，分的无限细，xdxx (1)(2)两步合为：两步合为：计算计算 dxxf)(3)(4)两步合为

2、：两步合为： badxxf)(（1）选取一个变量）选取一个变量 x为积分变量，为积分变量，（2）设想把区间）设想把区间a,b分的无限细，分的无限细， badxxfu)(3) 在区间在区间a,b上作定积分，得上作定积分，得 并确定它的变化区间并确定它的变化区间a,b；在任一小区间在任一小区间求出部分量求出部分量: du=f(x)dx； x,x+dx上，上，即得所求的量即得所求的量 xyo)(1xfy )(2xfy abdxdxxfxfda)()(12 badxxfxfa)()(12xyo)(1ygx )(2ygx cddydyygygda)()(12 dcdyygyga)()(12解解).4 ,

3、 8(),2, 2( 422xyxy选选 y 为积分变量为积分变量4, 2 ydyyyda)24(2 xy22 4 xy例例1 计算由曲线计算由曲线 和直线和直线xy22 4 xy所围成的图形的面积所围成的图形的面积. dyyya 422)24(4232642 yyy=18dy选选 x 为积分变量为积分变量dxxda221 dxxxda)42(2 dxxa 2022dxxx)42(82 xy22 4 xydxdx解解椭圆方程椭圆方程 tbytaxsincos aydxa04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab taxcos 令令0 tax20 tx例例2 求椭圆求

4、椭圆12222 byax的面积的面积. 写出下列图形的面积的定积分表示式：写出下列图形的面积的定积分表示式：2.由由 y =ex与该曲线过原点的切线及与该曲线过原点的切线及y轴围成的图形。轴围成的图形。 1.由曲线由曲线xxeyey ,及直线及直线x=1所围成的图形所围成的图形其中其中 连续连续xo d d 面积元素面积元素 dda2)(21面积面积.)(212 da)( 设由曲线设由曲线)( 与与)( 0)( 及射线及射线围成一曲边扇形，求其面积围成一曲边扇形，求其面积例例3 求阿基米德螺线求阿基米德螺线 (a 0)上相应于上相应于 从从0到到 的一段与极轴围成图形的面积的一段与极轴围成图形

5、的面积 a 2-30-20-10010203040-30-20-100102030o a解解.)(21220 daa 20326a解解.232a daa202)cos1(212 da)coscos21(202 02sin2a例例4 求心形线求心形线)cos1( a所围图形的面积所围图形的面积( a 0) da)2cos1(2102 2a 221a 022sin21a小小 结结面积的求法：面积的求法：一、直角坐标：一、直角坐标：（1）选择合适的积分变量，写出面积元素）选择合适的积分变量，写出面积元素 （2）积分计算。）积分计算。先画出图形先画出图形二、极坐标：二、极坐标：（1）转化成曲边扇形问题

6、）转化成曲边扇形问题（2）利用曲边扇形面积公式：）利用曲边扇形面积公式：.)(212 da写出下列图形面积在极坐标下的定积分表示式：写出下列图形面积在极坐标下的定积分表示式：1. 由由 及及 所确定图形所确定图形. cos3 cos1.cos9232 d 302)cos1(da2.螺线螺线 a的第一与第二圈之间及极轴所围图形的第一与第二圈之间及极轴所围图形 -30-20-10010203040-30-20-100102030o xoabxdxx 若一个立体在若一个立体在x轴上的投影区间为轴上的投影区间为a,b, ,)(dxxadv .)( badxxava(x)为过点为过点x且垂直于且垂直于x

7、轴的截面面积，轴的截面面积，a(x)在在a,b上连续上连续, 求立体体积求立体体积v.rr xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222ryx x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xrxa立体体积立体体积dxxrvrr tan)(2122.tan323 r例例5 一平面经过半径为一平面经过半径为r的圆柱体的底圆中心，的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角并与底面交成角, 计算这平面截圆柱体计算这平面截圆柱体所得立体的体积所得立体的体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222ryx xyorx截面面积截面面积22)(xrhyhxa 立体体积立体体积dxxrh

8、vrr 22.212hr 例例6 求以半径为求以半径为r的圆为底、平行且等于底圆的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2)()(xfxa xxyo体积为体积为dxxfvba)(2 )(xfy 求由连续曲线求由连续曲线 y=f(x)、直线、直线 x=a、x=b 及及x 轴轴所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周轴旋转一周而成的旋转体体积？而成的旋转

9、体体积？积分变量为积分变量为 xa,b截面面积：截面面积：例例7 证明底圆半径为证明底圆半径为r高为高为h的圆锥体的体积为：的圆锥体的体积为：hrv231 证证建立坐标系如图建立坐标系如图yrhpxoxhry 直线直线op方程为方程为dxxhrvh20 hxhr03223 .32hr a aoyx解解,323232xay 332322xay ,aax dxxavaa33232 .105323a 例例8 求星形线求星形线 ( a 0 )绕绕 x 轴旋转轴旋转323232ayx 构成旋转体的体积构成旋转体的体积. 旋转体的体积旋转体的体积xyo)(yx cddyyvdc2)( 直线直线 y=c,

10、y=d 及及 y 轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形)(yx 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线绕绕 y 轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为:解解dxxyvax)(220 022)cos1(2ta 0323)coscos3cos31(2dtttta.532a a 2a )(xy分别绕分别绕 x 轴、轴、),sin(ttax )cos1(tay 例例9 求摆线求摆线的一拱与的一拱与 y=0 所围成的图形所围成的图形,y 轴旋转构成旋转体的体积轴旋转构成旋转体的体积.绕绕 x 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 dtta)cos1( dyyxvay)(2202

11、dyyxa)(2201 oyxa 2abca2)(2yxx )(1yxx 222)cos1()sin(tadtta 022)cos1()sin(tadtta 2023sin)sin(tdttta.633a 绕绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 练练 习习1.由由)0( 22 ppxy),2(pp处的法线所处的法线所和它在和它在围成的图形绕围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积. .2.由由xy22 和和x=0, y=1围成的图形绕围成的图形绕y=1旋转所得旋转体的体积旋转所得旋转体的体积. .小小 结结一、旋转体体积一、旋转体体积 由连续曲线由连续曲线 y=f(x

12、)、直线、直线 x=a、x=b 及及x 轴所围轴所围成的曲边梯形，成的曲边梯形，1.绕绕 x 轴旋转一周而成的旋转体：轴旋转一周而成的旋转体：dxxfvba2)( 2.绕绕 y 轴旋转一周而成的旋转体：轴旋转一周而成的旋转体：dxxfxvbay| )(|2 二、平行截面面积已知立体体积二、平行截面面积已知立体体积 平行截面面积为：平行截面面积为：a(x) 体积体积.)( badxxavxoyab1m2m1 nm,10mma 依次连接相邻分点依次连接相邻分点,接折线，其长为接折线，其长为且每个小弧段的长度都趋向于零时且每个小弧段的长度都趋向于零时,得内得内0m nm 称此曲线弧为称此曲线弧为可求

13、长的可求长的。|11 niiimm的极限存在，的极限存在，设曲线弧设曲线弧ab,在弧上插入在弧上插入分点分点称此称此极限极限为曲线弧为曲线弧 ab的弧长的弧长当分点无限增多当分点无限增多,|11 niiimmbmn ,xnmtrxdxx yodydxds22)()(dydxds 弧微分：弧微分：是否所有的曲线弧是否所有的曲线弧都是可求长的？都是可求长的？定理：光滑或分段光滑定理：光滑或分段光滑的曲线弧是可求长的。的曲线弧是可求长的。如何求弧长如何求弧长xy1sin xoyabxdxx 22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 设曲线弧为设曲线

14、弧为 y=f(x)(bxa 其中其中 y=f(x) 在在 a,b上有一阶上有一阶连续导数连续导数, 取积分变量为取积分变量为 x在在a,b上任取小区间上任取小区间 x, x+dx小切线段的长小切线段的长: x=g(y)(dyc x=g(y)在在c,dy在在c,d y, y+dydyx21 dyxds21 .12dyxsdc 解解,21xy ,1dxxds 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab bax23)1(32 例例10 计算曲线计算曲线 2332xy 相应于相应于x从从a到到b的一段弧的长度的一段弧的长度.曲线弧为曲线弧为,)()( tytx)( t22)()(dydxds 2222)()(dttdtt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 其中其中 在在 上具有连续导数上具有连续导数 )(),(tt , 解解 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a a aoyx例例11 求星形线求星形线 ( a 0)的全长的全长 323232ayx 曲线弧为曲线弧为)( )( sin)(cos)(yx)( 22)()(dydxds ,)()(22 d弧长弧长.)()(22 ds)( 其中其中 在在 上具有连续导数上具有连续导数 )( , 例例