独家整理柯西积分公式

1、第五节第五节 柯西积分公式柯西积分公式 一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考一、问题的提出 . , 0中中一一点点为为为为一一单单连连通通域域设设bzb ,d)( 0 czzzzf一一般般不不为为零零所所以以 .)( , )( 00不解析不解析在在那末那末内解析内解析在在如果如果zzzzfbzf 根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 c 的变化而改变的变化而改变, 求这个值求这个值. .0的闭曲线的闭曲线内围绕内围绕为为zbc, , 00 zzzc的正向圆周的正向圆周半径为很小的半径为很小的为中心为中心取作以取作以积分曲线积分曲线 ,

2、 )( 的连续性的连续性由由zf , )( 0处的值处的值接近于它在圆心接近于它在圆心的缩小而逐渐的缩小而逐渐的值将随着的值将随着上函数上函数在在zzfc )(.d)( d)(000缩缩小小将将接接近近于于 cczzzzfzzzzf czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfc 二、柯西积分公式定理定理 czzzzfizfczddcdzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数d 0zc证证 , )( 0连续

3、连续在在因为因为zzf, 0 则则, 0)( d 0zck , 0时时当当 zz . )()(0 zfzf, :)( , 00的的内内部部全全在在的的正正向向圆圆周周半半径径为为为为中中心心设设以以crzzkrrz r czzzzfd)( 0则则 kzzzzfd)(0 kkzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 kzzzzfzfzifd)()()(2000 kszzzfzfd)()(00.2d ksr上不等式表明上不等式表明, 只要只要 r 足够小足够小, 左端积分的模就左端积分的模就可以任意小可以任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 左端积分的值与左端积分的值与 r 无关

4、无关, 所以只有在对所有的所以只有在对所有的 r 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕 czzzzfizfd)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式柯西介绍柯西介绍 kzzzzfzfd)()(00关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明: :(1) 把函数在把函数在c内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的值表示值表示. (这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分而且给出了解析函数的一个积分表达式表达式.(这是研究解

5、析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值的平均值., 0 ierzzc 是是圆圆周周如如果果.d)(21)(2000 ierzfzf三、典型例题例例1 1解解 44.d3211)2(;dsin21(1) zzzzzzzzi求求下下列列积积分分 4dsin21(1)zzzzi , sin)( 在在复复平平面面内内解解析析因因为为zzf , 4 0内内位位于于 zz 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 4dsin21zzzzi; 0 由柯西积分公式由柯西积分

6、公式0sin221 zzii例例2 2 2.d1 zzzze计计算算积积分分解解 , )( 在在复复平平面面内内解解析析因因为为zezf , 2 1内内位于位于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 例例3 3.d)1(1 212 izzzz计计算算积积分分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 内内解解析析在在因因为为 izzf,0iz 由柯西积分公式由柯西积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 例例解解).1( ,d173)( , 3 222if

7、zzfyxcc 求求表表示示正正向向圆圆周周设设 根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知, , 内内时时在在当当czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1 内内在在而而ci ).136(2)1( iif 所所以以例例5 5;211 (1): ,d14sin 2 zczzzc其中其中计算积分计算积分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 例例5 5;211 (2): ,d14sin 2 zczzzc其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinz

8、zzzz114sin2 zzzi;22i 解解 22d14sin)3(zzzz由闭路复合定理由闭路复合定理, 得得例例5 5. 2 (3): ,d14sin 2 zczzzc其其中中计计算算积积分分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 例例6 6.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并证明并证明求积分求积分解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知, 1dzzzze02 zzei;2 i )( , irez令令, 1 rz 1dzzzze diireirereei diee i dsincosie i cos

9、0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei diee i ,2d 1izzezz 因为因为 cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei 1dzzzze比较两式得比较两式得.d)cos(sin0cos e课堂练习课堂练习.d)1( 32 zzzzze计计算算积积分分答案答案1, 1, 0 zzz有三个奇点有三个奇点).2(d)1( 132 eeizzzezz四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西它的证明基于柯西古萨基本定理古萨基本定理, 它的重要性它的重要性在于在于: 一个解析函数在区域内部的值可

10、以用它在一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函所以它是研究解析函数的重要工具数的重要工具. czzzzfizf.d)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式:思考题思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推能否推广到无界区域中广到无界区域中?思考题答案思考题答案可以可以. , )( 要做一些限制要做一些限制但对函数但对函数zf , )( 上上解解析析及及边边界界在在设设cgzf )(, 0, 0( )( , zfrzrzfz时时使使当当即即一一致致趋趋于于零零时时并并且且当当 , 内内任任意意一一点点则则对对g ,d)(21)( czzzfif 有有