数学建模教程模型04

1、第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 4.1 奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售4.2 自来水输送与货机装运自来水输送与货机装运4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购4.4 接力队选拔和选课策略接力队选拔和选课策略4.5 饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修4.6 钢管和易拉罐下料钢管和易拉罐下料y数学规划模型数学规划模型 实际问题中实际问题中的优化模型的优化模型mixgtsxxxxfzmaxminitn, 2 , 1, 0)(. .),(),()(1或x决策变量决策变量f(x)目标函数目标函数gi(x) 0约束条件约束条件多元函数多元函数条件极值条件极值 决策变量个数决策变量个数n

2、和和约束条件个数约束条件个数m较大较大 最优解在可行域最优解在可行域的边界上取得的边界上取得 数数学学规规划划线性规划线性规划非线性规划非线性规划整数规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析重点在模型的建立和结果的分析企业生产计划企业生产计划4.1 奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售 空间层次空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计

3、划。用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订制订单阶段生产计划单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。，否则应制订多阶段生产计划。本节课题本节课题例例1 加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划1桶牛奶 3公斤a1 12小时 8小时 4公斤a2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶 时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤a1 制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶

4、，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? a1的获利增加到的获利增加到 30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？ 每天：每天：1桶牛奶 3公斤a1 12小时 8小时 4公斤a2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产桶牛奶生产a1 x2桶牛奶生产桶牛奶生产a2 获利获利 243x1 获利获利 164 x2 原料供应原料供应 5021 xx劳动时间劳动时间 48081221 xx加工能力加工能力 10031x决策变量决策变量 目标函数目标函数 216472xxzmax每天获利每天获利约束

5、条件约束条件非负约束非负约束 0,21xx线性线性规划规划模型模型(lp)时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤a1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天模型分析与假设模型分析与假设 比比例例性性 可可加加性性 连续性连续性 xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xi取值取值成正比成正比 xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xi取值取值成正比成正比 xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xj取值取值无关无关 xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xj取值取值无关无关 xi取值连续取值连续 a1,a2每公斤的获利是与各每公斤的获利是与各自产量无关的常数自产量无关的

6、常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出a1,a2的数量和的数量和时间是与各自产量无关的常数时间是与各自产量无关的常数a1,a2每公斤的获利是与相每公斤的获利是与相互产量无关的常数互产量无关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出a1,a2的数量和的数量和时间是与相互产量无关的常数时间是与相互产量无关的常数加工加工a1,a2的牛奶桶数是实数的牛奶桶数是实数 线性规划模型线性规划模型模型求解模型求解 图解法图解法 x1x20abcdl1l2l3l4l55021 xx48081221 xx10031x0,21xx约约束束条条件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:251

7、4xlxl216472xxzmax目标目标函数函数 z=0z=2400z=3600z=c (常数常数) 等值线等值线c在在b(20,30)点得到最优解点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。形的某个顶点取得。 模型求解模型求解 软件实现软件实现 lindo 6.1 max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end objective function value

8、 1) 3360.000 variable value reduced cost x1 20.000000 0.000000 x2 30.000000 0.000000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 no. iterations= 2do range (sensitivity) analysis? no20桶牛奶生产桶牛奶生产a1, 30桶生产桶生产a2，利润，利润3360元。元。 结果解释结果解释 objective funct

9、ion value 1) 3360.000 variable value reduced cost x1 20.000000 0.000000 x2 30.000000 0.000000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 no. iterations= 2原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余加工能力剩余加工能力剩余40max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三三种种资资源源“

10、资源资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）剩余为零的约束为紧约束（有效约束） 结果解释结果解释 objective function value 1) 3360.000 variable value reduced cost x1 20.000000 0.000000 x2 30.000000 0.000000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 no. iterations= 2最优解下最优解下“资源资源”增加增加1单位时单位时“

11、效益效益”的增的增量量 原料增加原料增加1单位单位, 利润增长利润增长48 时间增加时间增加1单位单位, 利润增长利润增长2 加工能力增长不影响利润加工能力增长不影响利润影子价格影子价格 35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗？桶牛奶，要买吗？35 48, 应该买！应该买！ 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！元！ranges in which the basis is unchanged: obj coefficient ranges variable current allowable allowable coef increase decre

12、ase x1 72.000000 24.000000 8.000000 x2 64.000000 8.000000 16.000000 righthand side ranges row current allowable allowable rhs increase decrease 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 infinity 40.000000最优解不变时目标函最优解不变时目标函数系数允许变化范围数系数允许变化范围 do range(sensitivity) an

13、alysis? yesx1系数范围系数范围(64,96) x2系数范围系数范围(48,72) a1获利增加到获利增加到 30元元/千克，应否改变生产计划千克，应否改变生产计划 x1系数由系数由24 3=72增加增加为为30 3=90，在在允许范围内允许范围内 不变！不变！(约束条件不变约束条件不变)结果解释结果解释 ranges in which the basis is unchanged: obj coefficient ranges variable current allowable allowable coef increase decrease x1 72.000000 24.00

14、0000 8.000000 x2 64.000000 8.000000 16.000000 righthand side ranges row current allowable allowable rhs increase decrease 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 infinity 40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 原料最多增加原料最多增加10 时间最多增加时间最多增加53 35元可买到元可买到1桶牛奶

15、，每天最多买多少？桶牛奶，每天最多买多少？最多买最多买10桶桶!(目标函数不变目标函数不变)例例2 奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例在例1基础上深加工基础上深加工1桶桶牛奶牛奶 3千克千克a1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤a2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 0.8千克千克b12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克b22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 制订生产计划，使每天净利润最大制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，应否投小时

16、时间，应否投资？现投资资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？50桶牛奶桶牛奶, 480小时小时 至多至多100公斤公斤a1 b1，b2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？的波动，对计划有无影响？1桶桶牛奶牛奶 3千克千克 a1 12小时小时 8小时小时 4千克千克 a2 或或获利获利24元元/千克千克 获利获利16元元/kg 0.8千克千克 b12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克 b22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 出售出售x1 千克千克 a1, x2 千克千克 a2， x3千克千克 b1, x4千克千克

17、 b2原料原料供应供应 劳动劳动时间时间 加工能力加工能力 决策决策变量变量 目标目标函数函数 利润利润约束约束条件条件非负约束非负约束 0,61xx x5千克千克 a1加工加工b1， x6千克千克 a2加工加工b26543213332441624xxxxxxzmax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加约束附加约束 5380 x.x64750 x.x 模型求解模型求解 软件实现软件实现 lindo 6.1 5043) 26251xxxx48022)(2)(4)3656251xxxxxx objective function value 1)

18、 3460.800 variable value reduced cost x1 0.000000 1.680000 x2 168.000000 0.000000 x3 19.200001 0.000000 x4 0.000000 0.000000 x5 24.000000 0.000000 x6 0.000000 1.520000row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32

19、.000000 no. iterations= 2600334) 26521xxxx44804624) 36521xxxxdo range (sensitivity) analysis? no objective function value 1) 3460.800 variable value reduced cost x1 0.000000 1.680000 x2 168.000000 0.000000 x3 19.200001 0.000000 x4 0.000000 0.000000 x5 24.000000 0.000000 x6 0.000000 1.520000row slack

20、 or surplus dual prices 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 no. iterations= 2结果解释结果解释每天销售每天销售168 千克千克a2和和19.2 千克千克b1， 利润利润3460.8（元）（元）8桶牛奶加工成桶牛奶加工成a1，42桶桶牛奶加工成牛奶加工成a2，将得到的将得到的24千克千克a1全部全部加工成加工成b1 除加工能力外均除加工能力外均为紧约束为紧约束结果解释结果解释 o

21、bjective function value 1) 3460.800 variable value reduced cost x1 0.000000 1.680000 x2 168.000000 0.000000 x3 19.200001 0.000000 x4 0.000000 0.000000 x5 24.000000 0.000000 x6 0.000000 1.520000row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.00000

22、0 44.000000 6) 0.000000 32.000000增加增加1桶牛奶使利润增桶牛奶使利润增长长3.1612=37.925043)26251xxxx600334) 26521xxxx4增加增加1小时时间使利小时时间使利润增长润增长3.26 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，小时时间，应否投资？现投资应否投资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？投资投资150元增加元增加5桶牛奶，桶牛奶，可赚回可赚回189.6元。（大于元。（大于增加时间的利润增长）增加时间的利润增长）结果解释结果解释b1,b2的获利有的获利有10%的波动，对计划有无影响的波

23、动，对计划有无影响 ranges in which the basis is unchanged: obj coefficient ranges variable current allowable allowable coef increase decrease x1 24.000000 1.680000 infinity x2 16.000000 8.150000 2.100000 x3 44.000000 19.750002 3.166667 x4 32.000000 2.026667 infinity x5 -3.000000 15.800000 2.533334 x6 -3.0000

24、00 1.520000 infinity do range (sensitivity) analysis? yesb1获利下降获利下降10%，超，超出出x3 系数允许范围系数允许范围b2获利上升获利上升10%，超，超出出x4 系数允许范围系数允许范围波动对计划有影响波动对计划有影响生产计划应重新制订：如将生产计划应重新制订：如将x3的系数改为的系数改为39.6计算，会发现结果有很大变化。计算，会发现结果有很大变化。 4.2 自来水输送与货机装运自来水输送与货机装运生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；怎样

25、安排输送方案使运费最小，或利润最大；运输问题运输问题各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。其他费用其他费用: :450元元/千吨千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁a160130220170b140130190150c190200230/引水管理费引水管理费例例1 自来水输送自来水输送收入

26、：收入：900元元/千吨千吨 支出支出a：50b：60c：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40水库供水量水库供水量(千吨千吨)小区基本用水量小区基本用水量(千吨千吨)小区额外用水量小区额外用水量(千吨千吨)（以天计）（以天计）总供水量：总供水量：160确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大问题问题分析分析a：50b：60c：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40 总需求量总需求量(300)每个水库最大供水量都提高一倍每个水库最大供水量都提高一倍利润利润 = 收入收入(900) 其它费用其它费用( (450) 引

27、水管理费引水管理费利润利润(元元/千吨千吨)甲甲乙乙丙丙丁丁a290320230280b310320260300c260250220/3332312423222114131211220250260300260320310280230320290 xxxxxxxxxxxzmax供应供应限制限制b, c 类似处理类似处理50:a14131211xxxx10014131211xxxx问题讨论问题讨论 确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大需求约束可以不变需求约束可以不变求解求解 objective function value 1) 88700.00 variable value reduce

28、d cost x11 0.000000 20.000000 x12 100.000000 0.000000 x13 0.000000 40.000000 x14 0.000000 20.000000 x21 30.000000 0.000000 x22 40.000000 0.000000 x23 0.000000 10.000000 x24 50.000000 0.000000 x31 50.000000 0.000000 x32 0.000000 20.000000 x33 30.000000 0.000000 这类问题一般称为这类问题一般称为“运输问题运输问题”(transportati

29、on problem)总利润总利润 88700（元）（元） a(100)b(120)c(100)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030如何如何装运，装运，使本次飞行使本次飞行获利最大？获利最大？ 三个货舱三个货舱最大最大载载重重( (吨吨),),最大容积最大容积( (米米3 3) ) 例例2 货机装运货机装运 重量（吨）重量（吨）空间空间( 米米3/吨）吨）利润（元利润（元/吨）吨）货物货物1184803100货物货物2156503800货物货物3235803500货物货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大三个货舱中实

30、际载重必须与其最大载载重成比例重成比例 前仓：前仓：10；6800中仓：中仓：16；8700后仓：后仓：8；5300飞机平衡飞机平衡决策决策变量变量 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量( (吨）吨）i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓分别代表前、中、后仓)模型假设模型假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以分割到任意小；货机装运货机装运每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙；多种货物可以混装，并保证不留空隙； 模型建立模型建立 货舱货舱容积容积 目标目标函数函

31、数( (利润利润)约束约束条件条件 )(2850)(3500)(3800)(3100434241333231232221131211xxxxxxxxxxxxzmax680039058065048041312111xxxx870039058065048042322212xxxx530039058065048043332313xxxx货机装运货机装运模型建立模型建立 货舱货舱重量重量 1041312111xxxx1642322212xxxx843332313xxxx10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量约束约束条件条件平衡平衡

32、要求要求 81610433323134232221241312111xxxxxxxxxxxx货物货物供应供应 18131211xxx15232221xxx23333231xxx12434241xxx货机装运货机装运模型建立模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量 objective function value 1) 121515.8 variable value reduced cost x11 0.000000 400.000000 x12 0.000000 57.894737 x13 0.000000 400

33、.000000 x21 10.000000 0.000000 x22 0.000000 239.473679 x23 5.000000 0.000000 x31 0.000000 0.000000 x32 12.947369 0.000000 x33 3.000000 0.000000 x41 0.000000 650.000000 x42 3.052632 0.000000 x43 0.000000 650.000000 货物货物2：前仓：前仓10, ,后仓后仓5； 货物货物3: : 中仓中仓13, 后仓后仓3；货物货物4: : 中仓中仓3。货机装运货机装运模型求解模型求解 最大利润约最大利

34、润约121516元元货物货物供应点供应点货舱货舱需求点需求点平衡要求平衡要求运输运输问题问题运输问题的扩展运输问题的扩展 如果生产某一类型汽车，则至少要生产如果生产某一类型汽车，则至少要生产8080辆，辆， 那么最优的生产计划应作何改变？那么最优的生产计划应作何改变？例例1 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量钢材（吨）钢材（吨） 1.5 3 5 600劳动时间（小时）劳动时间（

35、小时） 280 250 400 60000利润（万元）利润（万元） 2 3 4 制订月生产计划，使工厂的利润最大。制订月生产计划，使工厂的利润最大。4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购设每月生产小、中、大型设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为汽车的数量分别为x1, x2, x3321432xxxzmax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx0,321xxx汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量钢材钢材 1.5 3 5 600时间时间 280 250 400 60000利润利润 2 3 4 线性

36、线性规划规划模型模型(lp)模型模型求解求解 3） 模型中增加条件：模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。均为整数，重新求解。 objective function value 1) 632.2581variable value reduced cost x1 64.516129 0.000000 x2 167.741928 0.000000 x3 0.000000 0.946237 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226结果为小数，结果为小数，怎么办？怎么办？1）

37、舍去小数：取）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值z=629，与，与lp最优值最优值632.2581相差不大。相差不大。2）试探：如取）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数等，计算函数值值z，通过比较可能得到更优的解。，通过比较可能得到更优的解。 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？ip可用可用lindo直接求解直接求解整数规划整数规划( (integer programming, ,简记简记ip) )“gin 3”表示表示“前前3个变量个变量为整数为整数”，等价于：，等价于：gin

38、 x1gin x2gin x3 ip 的最优解的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值，最优值z=632 max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin 3 objective function value 1) 632.0000variable value reduced cost x1 64.000000 -2.000000 x2 168.000000 -3.000000 x3 0.000000 -4.000000 321432xxxzmax600535 . 1.321xxxts6000040025

39、0280321xxx为非负整数321,xxx模型求解模型求解 ip 结果输出结果输出其中其中3个个子模型应子模型应去掉，然后去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：再加上整数约束，得最优解：80, 0, 0321xxx0,80, 0321xxx80,80, 0321xxx0, 0,80321xxx0,80,80321xxx80, 0,80321xxx80,80,80321xxx0,321xxx方法方法1：分解为：分解为8个个lp子模型子模型 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。

40、辆，求生产计划。321432xxxzmax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxxx1, ,x2, x3=0 或或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最优值，最优值z=610lindo中对中对0-1变量的限定：变量的限定：int y1int y2int y3 方法方法2：引入引入0-1变量，化为整数规划变量，化为整数规划 m为大的正数，为大的正数，可取可取1000 objective function value 1) 610.0000variable value reduced cost x1 80.000000 -2.000000 x2 15

41、0.000000 -3.000000 x3 0.000000 -4.000000 y1 1.000000 0.000000 y2 1.000000 0.000000 y3 0.000000 0.000000 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 801 , 0,80,11111yyxmyx1 , 0,80,22222yyxmyx1 , 0,80,33333yyxmyx最优解同前最优解同前 nlp虽然可用现成的数学软件求解虽然可用现成的数学软件求解( (如如lingo, , matlab)

42、 )，但是其结果常依赖于初值的选择。，但是其结果常依赖于初值的选择。 方法方法3：化为非线性规划化为非线性规划 非线性规划（非线性规划（non- linear programming，简记，简记nlp） 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。的最优解时，才能得到正确的结果。 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 800)80(11xx0)80(22xx0)80(33xx应如何安排原油的采购和加工应如何安排原油

43、的采购和加工 ？ 例例2 原油采购与加工原油采购与加工 市场上可买到不超过市场上可买到不超过1500吨的原油吨的原油a： 购买量不超过购买量不超过500吨时的单价为吨时的单价为10000元元/ /吨；吨； 购买量超过购买量超过500吨但不超过吨但不超过1000吨时，超过吨时，超过500吨的吨的 部分部分8000元元/ /吨；吨； 购买量超过购买量超过1000吨时，超过吨时，超过1000吨的部分吨的部分6000元元/ /吨。吨。 售价售价4800元元/吨吨 售价售价5600元元/吨吨库存库存500吨吨 库存库存1000吨吨 汽油甲汽油甲(a 50%) 原油原油a 原油原油b 汽油乙汽油乙 (a

44、60%) 决策决策变量变量 目标目标函数函数问题问题分析分析 利润：销售汽油的收入利润：销售汽油的收入 - - 购买原油购买原油a的支出的支出 难点：原油难点：原油a的购价与购买量的关系较复杂的购价与购买量的关系较复杂)()(6 . 5)( 8 . 422122111xcxxxxzmax甲甲(a 50%) a b 乙乙(a 60%) 购买购买xx11x12x21x224.8千元千元/吨吨 5.6千元千元/吨吨原油原油a的购买量的购买量, ,原油原油a, b生产生产汽油汽油甲甲,乙的数量乙的数量c(x) 购买原油购买原油a的支出的支出利润利润(千元千元)c(x)如何表述？如何表述？原油供应原油供

45、应 约束约束条件条件xxx500121110002221 xx1500 x500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc x 500吨单价为吨单价为10千千元元/ /吨；吨； 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨；吨；1000吨吨 x 1500吨，超过吨，超过1000吨的吨的6千千元元/ /吨。吨。 目标目标函数函数购买购买x a b x11x12x21x22库存库存500吨吨 库存库存1000吨吨 目标函数中目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；不是线性函数，是非线性规划； 对于用分段函数定义

46、的对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；件也难以输入和求解； 想办法将模型化简，用现成的软件求解。想办法将模型化简，用现成的软件求解。 汽油含原油汽油含原油a的比例限制的比例限制 5 . 0211111 xxx6 . 0221212 xxx2111xx 221232xx 约束约束条件条件甲甲(a 50%) a b 乙乙(a 60%) x11x12x21x22x1 , x2 , x3 以价格以价格10, 8, 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购a的吨数的吨数目标目标函数函数 只有当以只有当以10千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x1=500(

47、(吨吨) )时，才能以时，才能以8千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x2方法方法1 )6810()( 6 . 5)( 8 . 432122122111xxxxxxxzmax0)500(32xx500,0321xxx非线性规划模型非线性规划模型，可以用，可以用lingo求解求解模型求解模型求解x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨吨增加约束增加约束0)500(21xxx= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 方法方法1：lingo求解求解model:max= 4.8*x

48、11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 x + 500;x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500;x2 500;x3 0;x11 0;x12 0;x21 0;x22 0;x1 0;x2 0;x3 0;end objective value: 4800.000variable value reduced costx11 500.0000 0.0000000e+00x21 500.0000

49、 0.0000000e+00x12 0.0000000e+00 0.0000000e+00x22 0.0000000e+00 0.0000000e+00 x1 0.1021405e-13 10.00000 x2 0.0000000e+00 8.000000 x3 0.0000000e+00 6.000000 x 0.0000000e+00 0.0000000e+00 lingo得到的是局部最优解，还得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？能得到更好的解吗？ 用库存的用库存的500吨原油吨原油a、500吨原油吨原油b生产汽油甲，不购买新的原油生产汽油甲，不购买新的原油a，利润为利润为4,800千

50、千元。元。 y1, y2 , y3=1 以价格以价格10, 8, 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购a增增加加约约束束方法方法2 0-1线性规划模型线性规划模型，可，可用用lindo求解求解112500500yxy223500500yxy33500yx y1, ,y2, ,y3 =0或或1 objective function value 1) 5000.000 variable value reduced cost y1 1.000000 0.000000 y2 1.000000 2200.000000 y3 1.000000 1200.000000 x11 0.000000 0.8000

51、00 x21 0.000000 0.800000 x12 1500.000000 0.000000 x22 1000.000000 0.000000 x1 500.000000 0.000000 x2 500.000000 0.000000 x3 0.000000 0.400000 x 1000.000000 0.000000 购买购买1000吨原油吨原油a，与，与库存的库存的500吨原油吨原油a和和1000吨原油吨原油b一起，生一起，生产汽油乙，利润为产汽油乙，利润为5,000千元千元 。x1 , x2 , x3 以价格以价格10, 8, 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购a的吨数的吨数y

52、=0 x=0 x0 y=1优于方法优于方法1的结果的结果b1 b2 b3 b4方法方法3 b1 x b2，x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1, z2 0, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3 x b4，x= z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4). 500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0

53、10)(xxxxxxxc 直接处理处理分段线性函数直接处理处理分段线性函数c(x) ip模型，模型，lindo求求解，得到的结果与解，得到的结果与方法方法2相同相同. .处理分段线性函数，方法处理分段线性函数，方法3更具一般性更具一般性44332211bzbzbzbzx)()()()()(44332211bczbczbczbczxcbk x bk+1yk=1, ,否则否则, ,yk=03432321211,yzyyzyyzyz)4 , 3 , 2 , 1(0, 14321kzzzzzk10, 1321321或yyyyyy方法方法3 bk x bk+1 , ,x= zkbk+z k+1 bk+1

54、zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+1 ).c(x)x1200090005000050010001500b1 b2 b3 b4对于对于k=1,2,3分派问题分派问题4.4 接力队选拔和选课策略接力队选拔和选课策略若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的

55、若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。丁的蛙泳成绩退步到丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩进；戊的自由泳成绩进步到步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整组成接力队的方案是否应该调整？如何选拔队员组成如何选拔队员组成4 4 100100米混合泳接力队米混合泳接力队? ?例例1 混合泳接力队的选拔混合泳接力队的选拔 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰

56、泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”45名候选人的名候选人的百米成绩百米成绩穷举法穷举法：组成接力队的方案共有组成接力队的方案共有5!=120种种。目标目标函数函数若选择队员若选择队员i参加泳姿参加泳姿j 的比赛，记的比赛，记xij=1, , 否则记否则记xij=0 0-1规划模型规划模型 cij( (秒秒) )队员队员i 第第j 种泳姿的百米成绩种泳姿的百米成绩约束约束条件条件每人最多入选泳姿之一每人最多入选泳姿之一 ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2

57、787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.44151jiijijxczmin每种泳姿有且只有每种泳姿有且只有1 1人人 5, 1, 141ixjij4, 1, 151jxiij模型求解模型求解 最优解：最优解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它变量为其它变量为0;成绩为成绩为253.2( (秒秒) )=413”2 min 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 + +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54subject to x11+x

58、12+x13+x14 =1 x41+x42+x43+x44 =1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 x14+x24+x34+x44+x54 =1end int 20 输入输入lindo求解求解 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”4甲甲 自由泳、乙自由泳、乙 蝶泳、蝶泳、丙丙 仰泳、丁仰泳、丁 蛙泳蛙泳. .丁蛙泳丁蛙泳c43 = =69.675.2，戊自由泳，戊自由泳c54= =62.4

59、 57.5, , 方案是否调整？方案是否调整？ 敏感性分析？敏感性分析？乙乙 蝶泳、丙蝶泳、丙 仰泳、仰泳、丁丁 蛙泳、戊蛙泳、戊 自由泳自由泳ip规划一般没有与规划一般没有与lp规划相类似的理论，规划相类似的理论，lindo输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。最优解：最优解：x21 = x32 = x43 = x51 = 1, 成绩为成绩为417”7 c43, c54 的新数据重新输入模型，用的新数据重新输入模型，用lindo求解求解 指派指派( (assignment) )问题问题：每项任务有且只有一人承担，每项任务有且只有一人承担，每人只能承担一项

60、每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大，效益不同，怎样分派使总效益最大. 讨论讨论甲甲 自由泳、乙自由泳、乙 蝶泳、蝶泳、丙丙 仰泳、丁仰泳、丁 蛙泳蛙泳. .原原方方案案为了选修课程门数最少，应学习哪些课程为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 例例2 选课策略选课策略要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 课号课号课名课名学分学分所属类别所属类别先修课要求先修课要求1微积分微积分5数学数学 2线性代数线性代数4数学数学 3最优化方法最优化方法4数学；运筹学数学；运筹学微积分；线性代数微积分；线性代数4数据结构数据结构3数