数学模型chPPT演示文稿

1、第九章第九章 概率模型概率模型9.1 传送系统的效率传送系统的效率9.2 报童的诀窍报童的诀窍9.6 航空公司的预订票策略航空公司的预订票策略确定性因素和随机性因素确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素可以忽略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑概率模型概率模型统计回归模型统计回归模型马氏链模型马氏链模型随机模型随机模型确定性模型确定性模型随机性模型随机性模型传送带传送带挂钩挂钩产品产品工作台工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数

2、固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多.背背景景在生产进入稳态后，给出衡量在生产进入稳态后，给出衡量传送带效传送带效率率的指标，研究提高的指标，研究提高传送带效率传送带效率的途径的途径.9.1 传送系统的效率传送系统的效率问题分析问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假 定工人们的定工人们的生产周期相同生产周期相同，即每人做完一件产品，即每人做完一件产品 后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产 品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这品挂上运走，

3、要么没有空钩经过，迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产件产品并立即投入下件产品的生产. 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的总数的比例比例作为衡量传送带效率的作为衡量传送带效率的数量指标数量指标. 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机 的，并且在一个周期内的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同任一时刻的可能性相同.模型假设模型假设1）n个工作台个工作台均匀排列，均匀排列，n个工人生产相互独立，个工人生产相互独

4、立， 生产周期是常数；生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是一个周期内是等可能等可能的；的；3）一周期内）一周期内m个均匀排列的挂钩个均匀排列的挂钩通过每一工作台通过每一工作台 的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一件产品时都）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只能且只能触到一只 挂钩挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统退出运送系统.

5、模型建立模型建立 定义定义传送带效率传送带效率为一周期内运走的产品数（记作为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数待定）与生产总数 n（已知）之比，记作（已知）之比，记作 d=s /n 若求出一周期内每只挂钩若求出一周期内每只挂钩非空非空的概率的概率p，则，则 s=mp为确定为确定s，从，从工人工人考虑还是从考虑还是从挂钩挂钩考虑，哪个方便？考虑，哪个方便？ 任一只钩子不被所有任一只钩子不被所有(n)工人触到，即空钩的概率为工人触到，即空钩的概率为qn如如何何求求概概率率 任一只钩子被一名工人触到的概率是任一只钩子被一名工人触到的概率是1/m 任一只钩子不被一名工人触到的概率是任一只

6、钩子不被一名工人触到的概率是q = 1 1/m任一只钩子非空概率任一只钩子非空概率p=1-qnd=m1-(1-1/m)n/n设一周期内有设一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方个挂钩通过每一工作台的上方模型解释模型解释若若(一周期运行的一周期运行的)挂钩数挂钩数m远大于工作台数远大于工作台数n, 则则)2)1(1(12mnnmnnmd 传送带效率传送带效率(一周期内运走一周期内运走产品数与生产总数之比）产品数与生产总数之比）定义定义e=1-d (一周期内未运走产品数与生产总数之比）一周期内未运走产品数与生产总数之比）提高效率提高效率的途径：的途径： 增加增加m 习题习题1当当n远大于远大于1时

7、时, e n/2m e与与n成正比，与成正比，与m成反比成反比若若n=10, m=40, d 87.5% (89.4%)mn211)11(1nmnmd 9.2 报童的诀窍报童的诀窍问问题题报童售报：报童售报： a (零售价零售价) b(购进价购进价) c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量.每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入

8、优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望建建模模 设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 g(n)调查需求量的调查需求量的随机规律随机规律每天每天需求量为需求量为 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2,准准备备nr nr nrnrrnfbarfrncbrbang01)()()()()()(求求 n 使使 g(n) 最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b, 退回一份赔退回一份赔 b-crbar)(赚售出)(rncbrn赔退回nban)( 赚售出0( )()

9、()() ( )d()( )dnng na b rb c n r p rra b np rrddgn求解求解将将r视为连续变量视为连续变量( )( )d (f rp rr概率密度）d0dgn0()d()dnnprrabbcprr0()( )d()( )dnnbcp rrabp rr ()( )() ( )dnab np nab p rr0()( )() ( )dnab np nbc p rr0()d()dnnp rrabbcp rr结果解释结果解释120( )d,( )dnnp rrpp rrpnp1p2cbbapp21取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退

10、回一份赔的钱()/()abbcnorp具体如何求具体如何求n呢？呢？9.6 航空公司的预订票策略航空公司的预订票策略预订票业务航空公司为争取客源开展优质服务预订票业务航空公司为争取客源开展优质服务问题问题 预先订票（不付款）的乘客如果未能按时登机，可预先订票（不付款）的乘客如果未能按时登机，可以乘坐下一以乘坐下一 班机或退票，无需附加任何费用班机或退票，无需附加任何费用. 若公司限制预订票的数量等于飞机容量，由于会有订若公司限制预订票的数量等于飞机容量，由于会有订 了机票的乘客不按时来，致使飞机不满员而利润降低了机票的乘客不按时来，致使飞机不满员而利润降低. 如果不限制预订票数量如果不限制预订

11、票数量, 若持票按时来的乘客超过飞机若持票按时来的乘客超过飞机容量容量, 必然引起不能走的乘客抱怨必然引起不能走的乘客抱怨, 给公司声誉带来损失给公司声誉带来损失. 公司需要综合考虑公司需要综合考虑经济利益经济利益和和社会声誉社会声誉，确定预订票，确定预订票 数量的最佳限额数量的最佳限额 .问题分析问题分析 公司的经济利益可以用公司的经济利益可以用机票收入机票收入扣除扣除飞行费用飞行费用和和 赔偿金赔偿金后的利润来衡量后的利润来衡量. 社会声誉可以用按时前来登机、但因满员不能飞走社会声誉可以用按时前来登机、但因满员不能飞走的乘客（被挤掉者）限制在一定数量为标准的乘客（被挤掉者）限制在一定数量为

12、标准.随机因素随机因素预订票的乘客是否按时前来登机预订票的乘客是否按时前来登机.经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量. 两目标的优化两目标的优化问题，决策变量是问题，决策变量是预订票数量的限额预订票数量的限额.模型假设模型假设1. 飞机飞机容量容量n，飞行，飞行费用费用r (与乘客数量无关与乘客数量无关)，机，机票票 价格价格 g=r/ n，其中，其中 (n)，每位乘客不按时前来，每位乘客不按时前来 登机的登机的概率概率p，“各位乘客各位乘客是否是否按时前来按时前来”相互独相互独立立; 3. 每位被挤掉者获得的每位被挤掉者获得的赔偿金

13、赔偿金为常数为常数b.（ =0.6 表示飞机达到表示飞机达到60%满员率就不亏本）满员率就不亏本）模型建立模型建立1. 每次航班的每次航班的利润利润 s= 机票收入机票收入 飞行费用飞行费用 赔偿金赔偿金若若 m位预订票乘客中有位预订票乘客中有k位不按时前来位不按时前来nkmbnkmrngnkmrgkms,)(,)(按时前来者不超过容量按时前来者不超过容量)(按时前来者超过容量按时前来者超过容量)k位乘客不按时前来的概率位乘客不按时前来的概率 (二项分布二项分布)pqmkqpcpkmkkmk1, 1 , 0,平均平均利润利润kmnmkknmkprgkmpbnkmrngms)()()()(10k

14、nmkpnkmbgrqmg10)()(模型建立模型建立2. 公司为维护公司为维护社会声誉社会声誉，要求被挤掉者不要太多，要求被挤掉者不要太多， 用被挤掉者超过用被挤掉者超过若干人若干人的概率作为的概率作为度量指标度量指标 .被挤掉者被挤掉者超过超过j人人(m人中不按时前人中不按时前来的不超过来的不超过m- n- j-1人人 )的概率的概率10)(jnmkkjpmp 给定给定n, j, 若若m= n+ j, 被挤掉的不会超过被挤掉的不会超过j, 即即pj(m)=0 若若mn+ j, pj(m) 随随m增加而单调增加增加而单调增加 以以pj(m)不超过某个给定值为约束条件，不超过某个给定值为约束条

15、件，以平均利润以平均利润s(m)为单目标函数为单目标函数.优化问题优化问题目标函数目标函数模型求解模型求解knmkpnkmbgrqmgms10)()()(目标函数目标函数: 单位费用获得的平均利润单位费用获得的平均利润 rmsmj)()(给定给定 n, , p, b/g (赔偿金占票价的比例赔偿金占票价的比例), 求求 m使使 j(m)最大最大.10)(jnmkkjpmp约束条件约束条件容量容量n, 预订票限额预订票限额m, 费用费用r, 调节因子调节因子 , 赔偿金赔偿金b,票价票价 g=r/ n, 不按时登机概率不按时登机概率p,kmkkmkqpcp1)()/1 (110knmkpnkmg

16、bqmn (1) 较小较小模型求解模型求解mj(m)p5(m)p10(m)b/g=0.2b/g=0.43000.58330. 5833003020.59390.5939003040.60440.6044003060.61500.61500.000003080.62540.62540.000003100.63530.63510.000703120.64390.64340.00660.00003140.65030.64920.03410.00023160.65400.65170.11230.00233180.65510.65120.26120.01603200.65430.64850.46300.06503220.65230.64450.66660.1780设设n=300, =0.6, p=0.05 j(m)在最大值附近变在最大值附近变化很小化很小, 而概率而概率p5(m) 和和p10(m)增加很快增加很快 应参考应参考j(m)的最大值的最大值, 给定可以接受的给定可以接受的 , 确定合适的确定合适的m b/g 由由0.2至至0.4, j(m)减少小于减少小于2%,可取可取b/g =0.4 , 以赢得声誉以赢得声誉 给定给定p5(m)0.2, p10(m) 0.05, 3160.65400.65170.11230.0023取取 m=316模型改进模型改进乘客分为