薛定谔方程的应用

1、),(),(2),(22trtrumttri etiertr)(),(iiieh iiipp 能量本征方程能量本征方程动量本征方程动量本征方程tih ip 一维无限深势阱一维无限深势阱1 一维无限深势阱中粒子的运动一维无限深势阱中粒子的运动（1） 求解求解. 设粒子处在势阱设粒子处在势阱u(x)中中0)(2 )( 222xexdxd222ek令 0)( xu )( xu（定态问题）（定态问题） 0ax axx , 0在在 0 x a 的区域中，粒子的定态的区域中，粒子的定态 薛方程为：薛方程为：0)( )( 222xkxdxd其通解为：其通解为：kxbkxaxcossin)(0ax)(xu0

2、20 xx )()()(222rerrum解解:显然在显然在 的区域内的区域内axx , 00)(x0)0(0)(aikxikxxdece)()sin()(kxaxkxbkxaxcossin)(kxbkxaxcossin)(式中式中 a、b、k 可由可由边界条件、归一化条件边界条件、归一化条件确定确定其通解为：其通解为：代入：代入：ek20, 0)0()0(ux0,)()(aauax边界条件边界条件:kxbkxaxcossin)(得:0cos0sin0bakabkaacossin00cos0sin0bakabkaacossin00, 0)0()0(ux0,)()(aauax由上述两式由上述两式

3、:b=00sinkaa0sinkanka 3 . 2 . 1n3 . 2 . 1n代入通解代入通解xanaxsin)(etixeanatxsin),(故波函数故波函数:0aue222ek)9(ank0cos0sin0bakabkaacossin0kxbkxaxcossin)(etixeanatxsin),(e0aux由归一化条件由归一化条件:aaxdxaxnadxdx0202)(21)sin(122aaaa2xanaxnsin2)(etinxeanaxsin2)(3 . 2 . 1n222eketixeanatxsin),(xanaxsin)(故波函数故波函数:3 . 2 . 1n本本征征能量

4、能量en本征函数本征函数能量公式：能量公式：222)(2anmek22222)(anen3 . 2 . 1n222eketinxeanaxsin2)(3 . 2 . 1naxnaxn222sin2)(粒子出现粒子出现的几率：的几率：ank), 2 , 1( 22222nanen 能量是量子化的能量是量子化的相邻两能级的间隔：相邻两能级的间隔：2222) 12(ane eaen , ,当势阱宽度当势阱宽度a小到原子的尺度，小到原子的尺度， e 很大，能量的量子化显著很大，能量的量子化显著当势阱宽度当势阱宽度a大到宏观的尺度，大到宏观的尺度， e很小，能量量子化不显著很小，能量量子化不显著 可把能

5、量看成连续，回到了经典理论可把能量看成连续，回到了经典理论 一维无限深方势阱中粒子特点：一维无限深方势阱中粒子特点：这是解薛方程的必然结果，这是解薛方程的必然结果，不是玻尔理论中的人为假设不是玻尔理论中的人为假设量子数量子数例例. 电子在原子中，电子在原子中，a=10-10m的势阱中，的势阱中，其能量为：其能量为：)(238evnne )(76evnne 量子化显著量子化显著若电子在若电子在a=10-2m的宏观势阱中的宏观势阱中)(141076. 0evnne 不可分辨，量子化消失不可分辨，量子化消失粒子的能级图粒子的能级图2222) 12(mane en ,0122 nneen ), 2 ,

6、 1( 22222 nmanen n当当 时时经典经典量子量子等价等价玻尔的对应原理玻尔的对应原理（2） 一维无限深方势阱中粒子特点：一维无限深方势阱中粒子特点：势阱中电子最低能量不可能为零势阱中电子最低能量不可能为零最低能量状态称之为基态最低能量状态称之为基态,对应于对应于n=1的状态的状态022221ae 经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子能量不可能为零能量不可能为零。), 2 , 1( 22222nanen这是由测不准关系决定的这是由测不准关系决定的! !此本征值能量称为零点能此本征值能量称为零点能,是无限深势阱内

7、粒子所具有的最低是无限深势阱内粒子所具有的最低能量能量.粒子势阱中各处出现的几率粒子势阱中各处出现的几率xaax sin2)(1 xaax 2sin2)(2 xaax 3sin2)(3 xaax 4sin2)(4 )sin(2)(xanaxn )(xn n+1个个节点节点3e1e4e2e3n4n2n1n稳定的驻波能级！稳定的驻波能级！ne4a43a6a2a65a8a83a85a87a 2xn xax00aa/2例：例：n=80a（4）当）当 n，粒子在各处出现的几率相同粒子在各处出现的几率相同量子化消失量子化消失（ 能级连成一片）能级连成一片）nnee 说明说明：1）粒子被限制在势阱中，它的状

8、态称为粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态束缚态，从物理意义上理解束缚定态方程从物理意义上理解束缚定态方程 的解，是一些的解，是一些驻波驻波。这。这些驻波图形些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒形象地表示出处在某个能量状态的粒 子在子在 0 x a 范围内哪些地方出现粒子的范围内哪些地方出现粒子的几率几率最大、最小。最大、最小。（3）第）第 n 个能级个能级,波函数在总区间内有波函数在总区间内有 n+1个节点。个节点。 节点处找到粒子的几率为零节点处找到粒子的几率为零.（2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，半波数越多半波数越多(驻波波

9、长越短驻波波长越短)，对应粒子的能级越高。，对应粒子的能级越高。二二. 势垒穿透和隧道效应势垒穿透和隧道效应xu0)(0uxuaxxax, 00u0薛定谔方程：薛定谔方程：)1 (02)(122)(12xxmex0)(2)(2202)(22xxuemxaxx , 0对应的解：对应的解：ax0em3对应的解：对应的解：xikxikxbeae11)(1xikxikxdece22)(2xikxge1)(3即使在即使在ea的地方仍有粒子出现的几的地方仍有粒子出现的几率，即粒子仍可穿通方势垒率，即粒子仍可穿通方势垒-“隧道效应隧道效应”。axaxx,00 xu0)(0uxuaxxax, 00u0em3

10、例题：一粒子在一维势场例题：一粒子在一维势场 axaxxxu，0 00)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。中运动，求粒子的能级和对应的波函数。txu与)()()()()(2222xexxuxdxdm解：解：无关，是定态问题。其定态无关，是定态问题。其定态s方程方程 在各区域的具体形式为axaxxxu，0 00)( )()()()(2 0111222xexxuxdxdmx )()(2 0 22222xexdxdmax )()()()(2 333222xexxuxdxdmax ： ： ：)(xu0)(1x0)(3x由于由于(1)、(3)方程中，由于方程中，由于要等式成立，必须要等式成立，必须

11、即粒子不能运动到势阱以外的地方去。即粒子不能运动到势阱以外的地方去。0)(2)(22222xmedxxd222mek0)()(22222xkdxxdkxbkxaxcossin)(2方程方程(2)可变为可变为 令令得得 其解为其解为 )()(2 22222xexdxdm 根据波函数的标准条件确定系数根据波函数的标准条件确定系数a，b，由连续性条件，得，由连续性条件，得 )0()0(12 )()(32aa )0()0(12 )()(32aa )0()0(12 )()(32aa )0()0(12 )()(32aa )0()0(12 0 b0sinkaa), 3 , 2 , 1( 0sin0nnkak

12、aa kxbkxaxcossin)(2xanaxsin)(2 由归一化条件由归一化条件1)(2dxx1sin022axdxanamnabaxdxanxam2sinsin*xanaxaasin2)(22 由由 1)(2dxx222mek ), 3 , 2 , 1( 22222nnmaen 可见可见e是量子化的。是量子化的。 neaxxaxxeanatxteinn , 0 , 0 0 ,sin2),(对应于对应于的归一化的定态波函数为的归一化的定态波函数为 例题例题2 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有下面的性具有下面的性质质02*1d这种性质称为

13、正交性，即不同能级的波函数是互相正交的。这种性质称为正交性，即不同能级的波函数是互相正交的。解将解将m能级的波函数能级的波函数 取其复共轭取其复共轭 ，与，与n能级的波函数能级的波函数 相乘并在粒子所能到达的整个空间相乘并在粒子所能到达的整个空间（在此就是阱区在此就是阱区内内)得：得：mn*m0 cos)(1cos)(1 )(cos)(cos1 )sin2)(sin2( )(0)(000-mnmnmaanvdvnmudunmdxanmxanmadxxanaxamad所以，不同能级的波函数是正交的。如果把波函所以，不同能级的波函数是正交的。如果把波函数的正交性和归一性表示在一起，可写为数的正交性

14、和归一性表示在一起，可写为mnnmd*nmnmmn01定义克罗内克符号：定义克罗内克符号： 分子分子振动振动光谱是一种重要的分子光谱学方法，能提供有关光谱是一种重要的分子光谱学方法，能提供有关分子结构的基础信息，而分子结构的基础信息，而谐振子谐振子为研究原子在分子及晶体中为研究原子在分子及晶体中的的振动振动提供了一个模型，在化学中有广泛的应用。但是，由提供了一个模型，在化学中有广泛的应用。但是，由于其数学处理的复杂性，这里的讨论只是并不给出证明的细于其数学处理的复杂性，这里的讨论只是并不给出证明的细节，只是给出结论。节，只是给出结论。16.4一维谐振子一维谐振子 若一质量若一质量 m 的物体，

15、连在力常数的物体，连在力常数 k 的弹簧上，对平衡位置的弹簧上，对平衡位置 x0 ，产生一位移，产生一位移 x ，由牛顿第二定律：，由牛顿第二定律：(1.5.1)dd22kxtxm1. 一维谐振子的经典力学处理一维谐振子的经典力学处理）2. 一维谐振子的量子力学处理：一维谐振子的量子力学处理：一维谐振子的哈密顿算符是：一维谐振子的哈密顿算符是：222221dd2xxh2222121xkx2)(xu其定态薛定谔方程是：其定态薛定谔方程是：(1.5.4)()(21d)(d22222xexkxxxm2212( )()xnnnxn ehx22( )( 1)nnnndheed 2!nnnn2,mex(1.5.6) )(2)(2)()(2)(1)(111