大学物理2、刚体转动

1、第二章第二章 刚体转动刚体转动 2战国时期开始，辘轳在作战器械、井中提水、战国时期开始，辘轳在作战器械、井中提水、生产劳动中广泛应用，它们的生产劳动中广泛应用，它们的共同特征共同特征是什么呢？是什么呢？引言引言 3转动转动在生活、生产上的应用。在生活、生产上的应用。引言引言 4转动转动在军事、生活中的应用。在军事、生活中的应用。引言引言 5 这章学习方法这章学习方法: : 对比法对比法 将将刚体转动与刚体转动与质点力学对比质点力学对比 刚体：刚体：形状与大小都不变形状与大小都不变的物体的物体(理想模型理想模型) 刚体是刚体是特殊的质点系特殊的质点系-质点之间的质点之间的距离距离与与相相对位置对

2、位置都保持都保持不变不变。因此因此, 第一章的第一章的质点系的所有规律都可用于刚体质点系的所有规律都可用于刚体！引言引言 6目录目录2-1 转动的描述转动的描述2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动 7刚体的刚体的运动分为：平动运动分为：平动和和转动转动。2-1 转动的描述转动的描述参考线一、平动与转动一、平动与转动1、平动、平动刚体中刚体中所有点的运动轨迹完全相同所有点的运动轨迹完全相同，或刚体上，或刚体上的的直线在运动过程中总是保持平行直线在

3、运动过程中总是保持平行。 82-1 转动的描述转动的描述平动特点：平动特点：各点运动各点运动状态一样状态一样，如，如位移位移、轨迹轨迹、速度速度、加速度加速度等都相同等都相同。刚体作刚体作平动平动运动时，可将运动时，可将刚体看成一个质点放刚体看成一个质点放在质心在质心，刚体平动运动看成质心质点运动刚体平动运动看成质心质点运动。 9刚体中刚体中所有质点都绕所有质点都绕同一直线同一直线做圆周运动做圆周运动。 转动又分转动又分定轴转动定轴转动和和非定轴转动非定轴转动。 2、转动、转动2-1 转动的描述转动的描述定轴转动定轴转动：转轴方向不随时间变化转轴方向不随时间变化。非定轴转动非定轴转动：转轴方向

4、随时间变化转轴方向随时间变化。 10 3、刚体的一般运动是刚体的一般运动是平动和转动的合成平动和转动的合成一般情况下，刚体的运动既有一般情况下，刚体的运动既有平动平动，又有，又有转动转动，转轴的位置或方向都随时间变化转轴的位置或方向都随时间变化。 例如汽车行驶过程中，车轮的运动是车轮例如汽车行驶过程中，车轮的运动是车轮平平动动和车轮和车轮绕绕定轴转动定轴转动的叠加合成的叠加合成。 2-1 转动的描述转动的描述平动平动定轴转动定轴转动车轮边缘质车轮边缘质点的轨迹点的轨迹 11x二、刚体转动的角量描述二、刚体转动的角量描述z参考平面参考平面)(t)()(ttt2. 2. 角位移角位移)(t 1.

5、1. 角位置角位置tttddlim03.3.角速度角速度参考轴参考轴角速度角速度大小：大小：角位置对时间求导角位置对时间求导：2-1 转动的描述转动的描述在在 时间内时间内, ,角位置的变化角位置的变化t刚体上任意刚体上任意质点的质点的位置矢位置矢量与参考方向量与参考方向的夹角：的夹角： 12角速度方向：角速度方向：角速度方向与角速度方向与刚体转动刚体转动方向满方向满足右手螺旋法则足右手螺旋法则。2-1 转动的描述转动的描述右手四指沿转动方右手四指沿转动方向向，大姆指是大姆指是角速角速度方向度方向，沿转轴沿转轴。4.4.角加速度角加速度角加速度角加速度大小：大小：角角速度速度对时间求导对时间求

6、导：22ttdddd 角加速度角加速度方向：方向：角速度矢量变化方向角速度矢量变化方向。)()(ttt角速度矢量变化角速度矢量变化在在 时间内时间内, ,角速度矢量变化角速度矢量变化t 13角加速度和角速度变化角加速度和角速度变化 同方向同方向。2-1 转动的描述转动的描述减速转动减速转动加速转动加速转动5. 5. 定轴转动的特点定轴转动的特点 1）刚体上）刚体上各质点均作半径不同的圆周运动各质点均作半径不同的圆周运动； 2）各质点运动各质点运动 均相同均相同，但，但 不同不同；,a, v 14 刚体绕定轴刚体绕定轴作作匀变速匀变速转动转动质点质点匀变速匀变速直线运动直线运动at0vv2210

7、0attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt刚体转动的刚体转动的角加速度角加速度为恒量为恒量时，刚体做时，刚体做匀变速匀变速转动转动。由由匀变速圆运动匀变速圆运动得到得到刚体刚体匀变速匀变速转动的公式：转动的公式：刚体刚体匀变速匀变速转动与质点转动与质点匀变速匀变速直线运动直线运动公式公式对比对比2-1 转动的描述转动的描述三、三、匀变速转动匀变速转动t022100tt)(20202 15 例题例题1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因因受制动而受制动而均匀减速均匀减速，经，经 30 s 停止转动停止转动。求：求：（1）角角加

8、速度加速度和在此时间内飞轮和在此时间内飞轮所转的圈数所转的圈数；（2）制动开始制动开始后后 t = 6 s 时飞轮的时飞轮的角速度角速度；（3）t = 6 s 时飞轮时飞轮边缘边缘上上一点的一点的线速度线速度、切向加速度切向加速度和和法向加速度法向加速度 。解：解：（1）,srad510. 0 t = 30 s 时，时，设设。飞轮做。飞轮做匀减速运动：匀减速运动：00时，时， t = 0 s 210srad6srad3050t2-1 转动的描述转动的描述 16飞轮飞轮 30 s 内转过的内转过的角度角度rad75)6(2)5(22202转过的转过的圈数圈数r5 .372752N（2）s6t时，

9、飞轮的时，飞轮的角速度角速度110srad4srad)665(t2-1 转动的描述转动的描述 17（3）s6t时，飞轮边缘上一点的时，飞轮边缘上一点的线速度大小线速度大小22sm5 . 2sm42 . 0rv飞轮边缘上一点的飞轮边缘上一点的切向加速度切向加速度和和法向加速度大小为法向加速度大小为22tsm105. 0sm)6(2 . 0ra2-1 转动的描述转动的描述 18 石磨一般包含上下两个石头磨盘，在上面的磨盘石磨一般包含上下两个石头磨盘，在上面的磨盘上装有一横杆作为把手，当人用力推动把手时，上上装有一横杆作为把手，当人用力推动把手时，上面的磨盘就会转动，通过两个磨盘之间的摩擦就可面的磨

10、盘就会转动，通过两个磨盘之间的摩擦就可以研磨食物了。以研磨食物了。 2-1 转动的描述转动的描述思考题思考题1 人们为什么要装一个横杆而不是直接推动磨盘？人们为什么要装一个横杆而不是直接推动磨盘？人在什么位置推把手才能使磨盘转动的迅速？人在人在什么位置推把手才能使磨盘转动的迅速？人在什么位置推把手更省力？什么位置推把手更省力？ 19目录目录2-1 转动的描述转动的描述2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动 20Pz*OFdFrMsinFrd 刚体

11、绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 外力外力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 力的作用点力的作用点 P 的的位矢位矢 。 FrFrM 一、力矩一、力矩 对对转轴转轴 Z 产生力矩产生力矩为为:F 力矩力矩大小大小： : 力臂力臂d2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律rFttF= tF:切向力切向力 21Pz*OMFrM力矩方向：力矩方向：位矢位矢 和力和力 的的方向满足右手螺旋方向满足右手螺旋2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律法则法则。rF右手四指由右手四指由位矢位矢方向转到力方向转到力 方方向向，大姆指是大姆指是力矩力矩方向方向，沿转轴沿转轴。rF 22zO2-2 力矩与转动定律力矩

12、与转动定律tF二、二、 转动定律转动定律刚体内刚体内任意质点任意质点 j 受受外力外力 ，内力内力将刚体分为将刚体分为大量质量元（质点）大量质量元（质点）！jF外jF内内力是刚体其它质点给的力内力是刚体其它质点给的力。外力外力 和和内力内力 对转对转轴产生力矩轴产生力矩为：为：jmjF外jrjF内F外外jt +F内内jt=mj jt =mjrj jF外jF内Mj=F外外jtrj+ F内内jtrj在在切向方向切向方向，由牛顿第由牛顿第二定律得：二定律得：（a）（b） 23zO2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律tFjmjF外jrjF内Mj=mjrj2 由上面二式由上面二式（a）和（）和（b）得）

13、得质点质点 j 受受力矩力矩为：为： 将上式对刚体的将上式对刚体的所有质量元所有质量元求和得刚体的受力矩为求和得刚体的受力矩为： M=Mj=mjrj2 j j M=(mjrj2) j 定义定义刚体的转动惯量刚体的转动惯量为：为：2jjjrmJ（c） 24 上式上式（c）变为变为2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律所以由所以由上式上式（d）（）（e）和（）和（f）得得刚体转动定律刚体转动定律：JM合外力矩M=(mjrj2) =J j M=Mj是刚体是刚体各质元受所有外力和所有内力各质元受所有外力和所有内力产生合外力矩和合内力矩的和产生合外力矩和合内力矩的和。即：。即：M=M合外力矩合外力矩+M合

14、内力矩合内力矩 因为刚体因为刚体各质元受所有内力产生合内力矩为零各质元受所有内力产生合内力矩为零：M合内力矩合内力矩 =0 （d）（e）（f） 25jmOzjF内jm2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律因为因为刚体的刚体的任意任意两两质元间的质元间的内力是等大反向内力是等大反向，两个内力的力臂两个内力的力臂d相同相同，两个内力对转轴产生两个内力对转轴产生力矩相互抵消力矩相互抵消！imiF内djiMM内力矩内力矩jiFF内内jjiiMdFdFM内内内内M合内力矩合内力矩 =0 证明：证明： 26转动定律与牛顿第二定律对比转动定律与牛顿第二定律对比，有：，有：合外力矩合外力矩M 对应对应合外力合外

15、力F 转动惯量转动惯量J 对应对应质量质量 m 角加速度角加速度 对应对应加速度加速度aamF 转动定律：转动定律：刚体转动的刚体转动的角加速度角加速度与它所受的与它所受的合合外力矩成正比外力矩成正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量成反比转动惯量成反比。2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律JM合外力矩 27三、转动惯量三、转动惯量2jjjrmJ 1、转动转动惯量物理意义：惯量物理意义：转动转动惯量反映刚体惯量反映刚体转动转动惯性的大小惯性的大小。由由 得：转动惯量的得：转动惯量的大小取决于大小取决于刚体的刚体的1 1）质量质量，2 2）形状形状，3 3）转轴的位置转轴的位置刚体刚体转动惯量的定义

16、：转动惯量的定义：2、转动惯性的计算方法、转动惯性的计算方法 2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律2jjjrmJ 28 1 1）质量分离分布刚体质量分离分布刚体的转动惯量为的转动惯量为2222112rmrmrmJiii 2 2）质量连续分布刚体质量连续分布刚体的转动惯量为的转动惯量为mrrmJiiid22：任意质量元任意质量元md求和变积分求和变积分r：任意质量元任意质量元到到转轴的距离转轴的距离2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 29lO O解：解：棒的线密度为棒的线密度为 ，距离转轴，距离转轴 OO 为为 处的处的任意任意质元的质量质元的质量 。转动惯量为转动惯量为lm/rrmddllr

17、rrJ0202ddmrd32/2/22/2/2121ddmlrrrJllll231mlr例题例题2 一质量为一质量为 、长为、长为 的的均匀细长棒均匀细长棒，求求通过通过棒中心棒中心并与并与棒垂直的轴的转动惯量棒垂直的轴的转动惯量 。mlrd2l2lO O2121ml讨论：讨论：转轴过端点垂直于棒转轴过端点垂直于棒，转动惯量为转动惯量为 2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律r 30 补例补例1. 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的质量的质量均匀或均匀或非均匀分布非均匀分布细圆环细圆环，求求通过圆环中心通过圆环中心 O 并与并与圆圆环垂直的轴的转动惯量环垂直的轴的转动惯量。mROR解：解：圆

18、环对轴的转动惯量为圆环对轴的转动惯量为2222dmdmdmmRRRrJ环环环dm薄圆筒薄圆筒的转动惯量也为的转动惯量也为2mRJ 2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律任意质元任意质元 312mdJJCO质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其如果对其质心轴质心轴的转动惯量为的转动惯量为 ，则对则对任一与质心轴平行任一与质心轴平行，相距相距为为 的的转轴的转动惯量为：转轴的转动惯量为：CJmddCOm2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律四、平行轴定理四、平行轴定理 32 薄圆盘薄圆盘转轴通过转轴通过中心中心与盘面垂直与盘面垂直221mrJ2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律lr圆柱体圆柱体转轴沿几何

19、轴转轴沿几何轴221mrJ 33l 细棒转轴通细棒转轴通过中心过中心与棒垂直与棒垂直122mlJl 细棒转轴通细棒转轴通过端点过端点与棒垂直与棒垂直32mlJ2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 342r球体转轴沿直径球体转轴沿直径522mrJ2r球壳转轴沿直径球壳转轴沿直径322mrJ2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 35五、刚体定轴转动定律的应用五、刚体定轴转动定律的应用解题方法和步骤解题方法和步骤：1、 选取物体选取物体；2、 分析物体的分析物体的运动运动 (物体作物体作匀变速匀变速或或变速运动变速运动)；3、 分析物体的分析物体的受力和力矩受力和力矩（隔离物体分析（隔离物体分析受力

20、受力）；4、 选运动方向为正方向选运动方向为正方向，列方程列方程 ；5、 联立求解方程联立求解方程。2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律JM合外力矩 36例题例题3. 一长为一长为 质量为质量为 均匀细杆竖直放置，均匀细杆竖直放置，其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动。相接，并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止静止开始绕铰链开始绕铰链O 转动。转动。求：细杆转动到与竖直线成求：细杆转动到与竖直线成 角时角加速度角时角加速度和和角速

21、度角速度。lm解：解：细杆受细杆受重力重力和铰链对杆的和铰链对杆的约束力约束力 ，约束力通过转轴约束力通过转轴O，不产生力矩不产生力矩，重力产生力重力产生力矩矩。由转动定律得。由转动定律得杆受杆受合力矩合力矩为为NFJmglMsin21合外力矩2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 37杆的转动惯量为杆的转动惯量为231mlJ ddddddddtt由上式得由上式得杆转动到杆转动到 时时的角加的角加速度：速度：sin23lg由角加速度的定义得：由角加速度的定义得：dsin23dlg得得杆转动到杆转动到 时的角速度时的角速度lg/ )cos1 (3上式积分得：上式积分得：dsin23d00lg2-2

22、 力矩与转动定律力矩与转动定律 38m1m2mR补例补例2 已知：两物体已知：两物体 m1、m2（m2 m1 )，滑轮滑轮 m、R, 可看成质量均匀的圆盘，可看成质量均匀的圆盘， 绳与滑绳与滑轮无相对滑动轮无相对滑动。求求: 物体的物体的加速度加速度及及绳中张力绳中张力。2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 392T 对对m1有：有：对对 m2有：有：以以加速度方向为正方向加速度方向为正方向。【解解】物体物体m1，m2，圆盘受力如图。圆盘受力如图。 T1 - m1g = m1a -（1） m2g - T2= m2 a -（2）gm11Tagm22Ta1TR2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律物

23、体物体m1，m2作作匀加速直线匀加速直线运动，圆盘作运动，圆盘作匀加速匀加速转动转动。 40对圆盘对圆盘 m， 由转动方程得：由转动方程得：-（3） Raat - （4）联立式联立式(1)-(4)解得：解得：21221mRJRTRTM合外力矩mmmgmma212112222211211mmmgmmmagmT因为因为绳与圆盘间无相对滑动绳与圆盘间无相对滑动，所以，所以绳的速度等于圆盘绳的速度等于圆盘边缘质点的切向速度边缘质点的切向速度：2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律上式对时间求导上式对时间求导得绳的加速度等于圆盘边缘质点的切向加速度得绳的加速度等于圆盘边缘质点的切向加速度，即：，即：边缘点

24、绳vv 41222212122mmmgmmmagmT讨论讨论 当当圆盘圆盘质量为零质量为零时时: m = 0，gmmmma1212 由上式得：由上式得：gmmmmTT2121212 （与中学作过的一致！）（与中学作过的一致！）21TT2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律由上式得由上式得两边绳的张力不相等两边绳的张力不相等： 42补例补例3 已知：如图，已知：如图，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，匀加速匀加速下落时间下落时间 t =3s, 、绳与轮无相对绳与轮无相对滑动滑动，轴光滑轴光滑。求：轮对转轴的求：轮对转轴的转动惯量转动惯量J=？定轴定轴0Rthmv0= 0绳绳Rmam

25、gTT2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律maTgm【解解】物体物体m，轮受力如图。轮受力如图。物体物体m作作匀加速直线匀加速直线运动，运动，轮作轮作匀加速转动匀加速转动。以以加速度方向为正方向加速度方向为正方向。 43（1）221tahRaat2212mRhgtJ）（JTRM合外力矩maTgmRmgmTTa （2）（3）（4）联立式联立式(1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4)解得轮的解得轮的转动惯量转动惯量：对滑轮对滑轮 m，由转动方程得由转动方程得对物体对物体 m，由牛由牛2方程得方程得2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 m由静止出发作由静止出发作匀加速运动匀加速运

26、动，下落的距离为，下落的距离为因为因为绳与圆盘间绳与圆盘间无相对滑动无相对滑动，所以，所以绳的加速度等于轮绳的加速度等于轮边缘质点的切向加速度边缘质点的切向加速度，即：，即： 44 补例补例4. 质量为质量为 物体物体 A 静止在光滑水平面上，和一静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为、质量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物体的物体 B 上。上。滑轮与绳索间没有滑动滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的且滑轮与轴承间的摩擦力摩擦力可略去不计可略去不计。求：求：（1） 两物体的线两

27、物体的线加速度为多少加速度为多少？ 水水平和竖直平和竖直两段绳索的张力各为多少两段绳索的张力各为多少？（？（2） 物体物体 B 从从静静止落下距离止落下距离 时，其时，其速率是多少速率是多少？BmCmyAmABCAmBmCm2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 451FAmagmBBmamFA1amFgmB2B2F1F（1）（2）2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律2FaRR【解解】物体物体mA,，mB，轮受轮受力如图。力如图。物体物体mA，mB作作匀加速直匀加速直线线运动，轮作运动，轮作匀加速转匀加速转动动。以以加速度方向为正方向加速度方向为正方向。对对mA有：有：对对mB有：有： 461F

28、AmagmBBmJRFRFM12合外力矩2F1F对轮对轮mC , 由转动定律由转动定律得：得：（4）（3）2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律2FaRR因为因为绳与轮间绳与轮间无相对滑动无相对滑动，所以所以绳的加速度等于轮边绳的加速度等于轮边缘质点的切向加速度缘质点的切向加速度，即：，即：Raat 472CBABmmmgma2CBABA1mmmgmmF2)2(CBABCA2mmmgmmmF(2) B由由静止静止出发作出发作匀加速运动匀加速运动，下落的速率为，下落的速率为2/22CBABmmmgymayv联立式联立式(1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4)解得：解得：2-2

29、力矩与转动定律力矩与转动定律 48哪种握法哪种握法转动惯量转动惯量大？大？2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律思考题思考题3 49目录目录2-1 转动的描述转动的描述2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动 502-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律众所周知，一个恒星系中，行星会绕恒星做椭圆轨道运众所周知，一个恒星系中，行星会绕恒星做椭圆轨道运动，地球也因太阳的万有引力存在于太阳系中。芭蕾舞动，地球也因太阳的万有引力存在于太阳系中。芭

30、蕾舞演员通过展示各种优美的动作，使人们心旷神怡。在星演员通过展示各种优美的动作，使人们心旷神怡。在星系与芭蕾舞演员之间似乎很难看得出有什么联系，事实系与芭蕾舞演员之间似乎很难看得出有什么联系，事实上两者的运动上两者的运动都遵从相同的物理规律都遵从相同的物理规律。 512-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律为什么行星总能保持同样的运动轨道、并总能在轨为什么行星总能保持同样的运动轨道、并总能在轨道上的某一点按时出现呢？道上的某一点按时出现呢？芭蕾舞演员又是怎样做到动作变换的？两者存在着芭蕾舞演员又是怎样做到动作变换的？两者存在着怎样的联系呢？怎样的联系呢？ 52平动平动冲量冲量动量的

31、改变动量的改变转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变 力对时间积分力对时间积分 冲量、动量、动量定理。冲量、动量、动量定理。 力矩对时间积分力矩对时间积分 冲量矩冲量矩、角动量角动量、角动量角动量定理定理。2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律一、角动量一、角动量1、质点的角动量、质点的角动量 53v)vrmprL(vrLLrxyzom 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻在空间运动，某时刻对参考对参考点点 O 的位矢的位矢为为 ，质点，质点对于对于参考点参考点O的角动量矢量定义的角动量矢量定义为为mrvsinvrmL 角动量角动量大小大小：角动量角动

32、量方向方向：位矢位矢 和和速度速度 的的方向满足右方向满足右手螺旋手螺旋法则法则。2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律rvL 54Lrpmo补例补例1. 质点以角速度质点以角速度 作半径为作半径为 的圆的圆运动，质点运动，质点对对圆心圆心的角动量大小为的角动量大小为r2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律角动量方向：角动量方向：垂直垂直圆面圆面向上，向上，不变。不变。注意：注意：质点作质点作同一运动同一运动，对不同参考点对不同参考点O的角的角动量不同动量不同！JmrL2sinvrmL 因为因为=/2，得质点对，得质点对圆心圆心的角动量大小为：的角动量大小为： 55

33、2、刚体的角动量、刚体的角动量刚体由刚体由大量质点组成大量质点组成，根据质点的，根据质点的角动量定义得角动量定义得刚体转动的刚体转动的角动量为角动量为刚体上所有质点的角动量的和刚体上所有质点的角动量的和，即，即2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律OirivziiiiiiirmrmL)(2vJL 2jjjrmJ刚体刚体转动惯量为：转动惯量为：刚体的角动量为刚体的角动量为imiirv 二、角动量定理二、角动量定理刚体的刚体的角动量和角速度同方向角动量和角速度同方向。 56vLrxyzomr2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律r1、质点的角动量定理、质点的角动量定理t

34、vamFdd(m)质点受合外力为质点受合外力为)(tF由上式由上式两边叉乘位矢两边叉乘位矢 得得：tprtvamFdd(dd(m)rtLMdd合外力矩质点受质点受合力合力对参考点对参考点 O产生的产生的力矩力矩 ，等于等于质点质点对对参考点参考点 O 的角动量随时间的变化率的角动量随时间的变化率。FrM) vrmprL(由由 ， 得：得： 57在时间在时间 内，质点受的内，质点受的冲量矩冲量矩，合外力矩对时间积分合外力矩对时间积分。tMttd21合外力矩质点的角动量定理：质点的角动量定理：质点受质点受对参考点对参考点 O的冲量的冲量矩等于质点对参考点矩等于质点对参考点 O的角动量增加量的角动量

35、增加量。LLLLdtMLLtt122121d合外力矩tLMdd合外力矩LdtMd合外力矩2、刚体的角动量定理、刚体的角动量定理2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律上式对上式对时间积分得：时间积分得：21tt 58将质点的角动量定理将质点的角动量定理推广到推广到刚体刚体，得，得刚体定轴刚体定轴转动的角动量定理为转动的角动量定理为LJJLLtMtt121221d合外力矩将刚体的角动量定理将刚体的角动量定理推广到推广到非刚体非刚体，得，得非刚体非刚体定轴定轴转动的角动量定理为转动的角动量定理为LJJLLtMtt11221221d合外力矩2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒

36、定律非刚体的角动量定理：非刚体的角动量定理：非刚体非刚体受受对转轴对转轴的的冲量冲量矩等于非刚体对转轴的角动量增加量矩等于非刚体对转轴的角动量增加量。 59质点的角动量守恒：质点的角动量守恒：质点受对质点受对参考点参考点 O 的合外的合外力矩为零时力矩为零时，质点对，质点对该参考点该参考点 O 的角动量为恒的角动量为恒矢量矢量。 恒矢量21LL三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律1、质点的角动量守恒定律、质点的角动量守恒定律质点的角动量定理为质点的角动量定理为0合外力矩M当当合力矩为零合力矩为零 时时，由上式得：，由上式得：2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律LLLtMtt12

37、d21合外力矩 60非刚体的角动量守恒：非刚体的角动量守恒：非刚体非刚体受受对转轴对转轴的的合外合外力矩为零时力矩为零时, 非刚体对转轴非刚体对转轴的角动量为恒量的角动量为恒量。恒量21LL非刚体非刚体的角动量定理为的角动量定理为0合外力矩M当当合外力矩为零合外力矩为零 时时，有，有1122JJ或或2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律LLLJJtMtt12112221d合外力矩2、刚体和非刚体的角动量守恒定律、刚体和非刚体的角动量守恒定律3、说明、说明 1 1）角动量守恒条件角动量守恒条件：0合外力矩M 2 2）角动量守恒角动量守恒：刚体转动惯量刚体转动惯量 不变不变，刚体角速

38、度刚体角速度 不变不变。非刚体转动惯量非刚体转动惯量 变变，非刚体角速度非刚体角速度 变变。JJ3 3）角动量守恒定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律是自然界的一个基本定律。有许多现象都可以用角动量守恒来说明。有许多现象都可以用角动量守恒来说明。2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律人是典型的人是典型的非刚体非刚体，当人旋转时，通过变化自己的，当人旋转时，通过变化自己的动作，来动作，来改变人体的转动惯量改变人体的转动惯量，进而达到进而达到变化旋转变化旋转速度速度的目的，这是利用的目的，这是利用角动量守恒定律角动量守恒定律。 1122JJ 622-3 角动量与角动量守恒定律角动

39、量与角动量守恒定律芭蕾舞蹈演员跳舞时，他或她张开两臂，并绕通过足尖的垂直芭蕾舞蹈演员跳舞时，他或她张开两臂，并绕通过足尖的垂直转轴以旋转，当迅速把转轴以旋转，当迅速把两臂和腿向内收拢两臂和腿向内收拢，这时由于，这时由于转动惯量转动惯量变小变小，演员的，演员的角速度会增大角速度会增大，因而快速旋转，表演出优美的旋，因而快速旋转，表演出优美的旋转动作。再如跳水运动员进行高台跳水比赛时，运动员在空中转动作。再如跳水运动员进行高台跳水比赛时，运动员在空中蜷缩身体，蜷缩身体，使人体转动惯量变小使人体转动惯量变小，导致他在空中的，导致他在空中的翻转加速翻转加速，有尽可能多的时间调整姿态和节奏，而当运动员快

40、入水时，他有尽可能多的时间调整姿态和节奏，而当运动员快入水时，他则舒展身体，则舒展身体，增加自身的转动惯量增加自身的转动惯量，尽量停止翻转使身体能垂，尽量停止翻转使身体能垂直入水。直入水。 63例题例题4. 4. 彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。圆轨道的一个焦点上。问：（问：（1 1）系统的角动量是系统的角动量是否守恒？（否守恒？（2 2）近日点与远日点的速度谁大？）近日点与远日点的速度谁大？太阳彗星解：解：在彗星绕太阳转动时，受万有引力在彗星绕太阳转动时，受万有引力指向太阳指向太阳（参考点参考点 O ）。）。万有引力对万有引力对参考

41、点参考点O产生外力矩产生外力矩为零为零：2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律引F F0合外力矩MBALL彗星绕太阳运动时，彗星彗星绕太阳运动时，彗星对对参考点参考点O的的角动量守恒：角动量守恒：（参考点（参考点O）O 64太阳彗星ArBrAv vBv v近日点近日点远日点远日点AB引F FBALL由质点的角动量定义得：由质点的角动量定义得：BBBAAAmvrmvrsinsin 90BABBAAvrvr即即常量rv2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律彗星在彗星在近日点与远近日点与远日点的角动量相等日点的角动量相等：（参考点（参考点O）O 65补例补例1 已知卫星在

42、已知卫星在近地点近地点和和远地点远地点时时到到地心的地心的距离距离分别为分别为R1和和R2。求卫星的近地点和远地点求卫星的近地点和远地点的速度的速度v1， v2。R2R1v2=?v1=?解：解：卫星卫星绕绕地球运动时，地球运动时，机械能守恒机械能守恒：2221212121hRGmMmvhRGmMmvee 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律系统：卫星和地球系统：卫星和地球。卫星卫星绕绕地球运动时，卫星地球运动时，卫星对对对地心对地心O角动量守恒角动量守恒：OR1 R2 R1mv1 = R2mv2 66R2R1v2=?v1=?两方程联立解出两方程联立解出卫星的近地点和远地点的速度

43、卫星的近地点和远地点的速度：;)(221121RRRRGMve1212vRRv 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律O 67补例补例2 一长为一长为 l , 质量为质量为 的杆可绕支点的杆可绕支点O自由转动。自由转动。一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹的子弹射入杆内距支点为射入杆内距支点为 处处。求：求：杆的角速杆的角速 ?vamm解：系统：子弹和杆解：系统：子弹和杆。子弹射入杆中时，子弹射入杆中时，子弹和杆受子弹和杆受的的向下重力通过转轴向下重力通过转轴，对转轴对转轴O产生的合外力矩为零产生的合外力矩为零，子弹射入杆子弹射入杆前后前后，系统对转轴系统对转轴O的角动量守

44、恒的角动量守恒。2231malmamvoamv2233malmamv解得解得杆的角速为杆的角速为2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 m子弹射入杆子弹射入杆前角动量前角动量子弹射入杆子弹射入杆后角动量后角动量 68补例补例3 转盘上站立一人，转盘上站立一人，开始人和转盘静止开始人和转盘静止，当，当人沿人沿边缘边缘以角速度以角速度 运动运动。求求: 转盘运动的角速转盘运动的角速度度 。解解 ：系统：人转盘。系统：人转盘。人和转盘受向人和转盘受向下重力平行转轴下重力平行转轴，对转轴的合外力矩对转轴的合外力矩为零为零，人运动，人运动前后前后，系统系统对转轴对转轴Z的角的角动量守恒

45、动量守恒：02122MRmR 解得解得转盘运动的角速度为转盘运动的角速度为mMRz,2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律地地2221MRmR人运动人运动后角动量后角动量人运动人运动前角动量前角动量 69目录目录2-1 转动的描述转动的描述2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动 70力力作作功功 力对路程的积分力对路程的积分 转动动能定理转动动能定理、机械能守恒机械能守恒。 动能定理、机械能守恒。动能定理、机械能守恒。力矩作功力矩作

46、功 力矩对角位置积分力矩对角位置积分 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理动能、动能、转动动能转动动能、 71一、力矩作功一、力矩作功 rFxtF刚体在力刚体在力 作用下，转动作用下，转动很小角位移很小角位移 d，力对力对刚体作元功刚体作元功为：为：d合外力矩MdW刚体从角坐标刚体从角坐标 转到转到 ，力对刚体作功力对刚体作功为：为： 122121ddW合外力矩MWddrs2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理Ozdddrs FdW=Ftds=Ft rd=M合外力矩合外力矩ddsds是力作用点移动的路程是力作用点移动的路程。 72上式又称为上式又称为外力矩

47、作的功外力矩作的功。合外力矩合外力矩MtMtWPdddd二、力矩的功率二、力矩的功率上式又称为上式又称为外力矩的功率外力矩的功率。2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理三、转动动能三、转动动能d合外力矩MdW 在在很小时间很小时间dt内，内，外力对刚体作功外力对刚体作功为为外力的功率外力的功率为为 73211)(21iininikikrmEE四、刚体转动的动能定理四、刚体转动的动能定理212)(21niiirm221JEk刚体的刚体的转动动能等于转动动能等于n个质元个质元动能之和动能之和为：为：Oirimivz刚体由刚体由n个质元个质元构成，构成，各质元做圆周运动。各质元做圆

48、周运动。任意任意质元质元 i 的动能的动能为为22)2121i(rviiikimmEniiirmJ12转动转动惯量惯量2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理iirv 74)21(212122122JJJW合外力矩刚体转动的动能定理：刚体转动的动能定理：合外力合外力（合外力矩）（合外力矩）对刚体对刚体作功等于作功等于刚体的转动动能增加量刚体的转动动能增加量。Oirimivz刚体从角坐标刚体从角坐标 转到转到 ，力对刚体作功力对刚体作功为：为： 122-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理dtdJJM合外力矩)21(2121ddddd22122212121JJJJ

49、tJMW外外 75只有重力产生力矩只有重力产生力矩，且重，且重力矩随摆角变化而变化。力矩随摆角变化而变化。杆摆到铅直位置时，杆摆到铅直位置时，重力重力对杆作功对杆作功为：为：900dMW合外力矩重900cos2dlmgmgl21g gmolm,解：解：以杆为研究对象，以杆为研究对象，例题例题5 5 一细杆质量为一细杆质量为m，长度为，长度为l，一端固定在转轴上，一端固定在转轴上，静止从水平位置摆下静止从水平位置摆下。求细杆摆到铅直位置时的角速度求细杆摆到铅直位置时的角速度。2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 76杆的杆的末态末态转动动能：转动动能： 212JEk由转动动能

50、定理：由转动动能定理：0kkEEW021212Jmgl231mlJ22)31(2121mlmgllg30 0kE, ,g gmolm,本题可用机械能守恒定律计算本题可用机械能守恒定律计算2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理得：得：杆的杆的初态初态转动动能：转动动能：杆转动惯量为杆转动惯量为得：得：杆摆到铅直位置时的角速度为杆摆到铅直位置时的角速度为 77vo子子弹弹击击入入杆杆ov子弹和杆为系统子弹和杆为系统机械能不守恒机械能不守恒。角动量守恒角动量守恒；水平方向动量不守恒水平方向动量不守恒；子弹和沙袋为系统子弹和沙袋为系统水平方向动量守恒水平方向动量守恒；角动量守恒角动量

51、守恒；机械能不守恒机械能不守恒。子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理补例补例1 分析下面各问题中的分析下面各问题中的守恒量守恒量。F水平力水平力 78目录目录2-1 转动的描述转动的描述2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动 792-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动一、航天器的方向控制器一、航天器的方向控制器旅行者旅行者2号（号（Voyager 2）是是美国国家航空航天局美国

52、国家航空航天局在在1977年年8月月20日发射的无人日发射的无人星际太空船，星际太空船，1981年它通过年它通过土星的引力区域后加速飞往土星的引力区域后加速飞往天王星和海王星，之后以约天王星和海王星，之后以约15.493公里公里/秒的速度离开秒的速度离开太阳系太阳系.对旅行者对旅行者2号的观测中发现，在号的观测中发现，在1986年它经过天王星时，年它经过天王星时，船身不时地发生转动船身不时地发生转动，使飞船的运动轨迹出现一定的使飞船的运动轨迹出现一定的偏离偏离，科学家们觉得很奇怪，这是什么原因导致的呢？，科学家们觉得很奇怪，这是什么原因导致的呢？ 802-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动

53、研究发现，研究发现，飞船的异常转动与飞船中的飞船的异常转动与飞船中的打打印机高速旋转有关印机高速旋转有关。如果将飞船船体和打印机。如果将飞船船体和打印机视为一个系统，该系统几乎视为一个系统，该系统几乎不受外力矩不受外力矩的作用，的作用，系统角动量守恒系统角动量守恒，在打印机工作时打印机，在打印机工作时打印机磁鼓磁鼓快速转动快速转动，打印机，打印机产生一个角动量的增量产生一个角动量的增量，飞飞船就会自动向打印机磁鼓转动的反方向转动船就会自动向打印机磁鼓转动的反方向转动，以保持整个系统的角动量不变。以保持整个系统的角动量不变。 根据旅行者根据旅行者2号飞船异常转动的分析，使科号飞船异常转动的分析，

54、使科学家意识到可以学家意识到可以利用类似的原理来控制飞船的利用类似的原理来控制飞船的行驶方向行驶方向，于是，于是制造出了飞船的方向控制器制造出了飞船的方向控制器。 81飞轮飞轮x如图示为固定地装有一个如图示为固定地装有一个飞轮飞轮的宇宙飞船的宇宙飞船2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动x方向控制器的核心部件是方向控制器的核心部件是一个可以一个可以旋转的飞轮旋转的飞轮。若。若人们需要将人们需要将飞船运动方向飞船运动方向向逆时针方向调整角度向逆时针方向调整角度 ，即即从方向从方向 转向方向转向方向 ，就启动方向控制器中的就启动方向控制器中的飞飞轮轮，并使其，并使其沿顺时针旋转沿顺时针旋转。 因

55、为因为系统角动量守恒系统角动量守恒，飞船船体将，飞船船体将向逆时针方向转动向逆时针方向转动，当当飞船转过飞船转过 后，再停止方向控制器中飞轮转动，这后，再停止方向控制器中飞轮转动，这样就实现了改变飞船前进方向的目的。样就实现了改变飞船前进方向的目的。xxx顺时针旋转顺时针旋转逆时针旋转逆时针旋转 822-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动1、飞轮的转动惯量、飞轮的转动惯量为为 AJ飞船（除开飞轮）的转动惯量飞船（除开飞轮）的转动惯量为为 BJ2、飞船正常飞行时，飞船正常飞行时，飞轮和飞船不转动飞轮和飞船不转动。3、当当飞轮飞轮顺时针旋转顺时针旋转，而飞船船体将，而飞船船体将逆时针方向旋转逆时

56、针方向旋转。飞轮飞轮不转动不转动x飞船飞船不转动不转动飞轮和飞船组成系统的总角动量为零飞轮和飞船组成系统的总角动量为零。 即：即： L0=0飞船正常飞行飞船正常飞行 832-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动飞轮和飞船组成系统的总角动量飞轮和飞船组成系统的总角动量为为4、由由飞轮飞轮旋转前后系统的旋转前后系统的角动量守恒角动量守恒得：得：L0=L飞轮飞轮x飞船飞船逆时针旋转逆时针旋转飞轮飞轮顺时针旋转顺时针旋转AB飞轮的角动量飞轮的角动量飞船的角动量飞船的角动量ABABJJBBAAJJL0BBAAJJ 842-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动ABABJJ将将 =t 代入代入 得得飞轮和飞

57、轮和飞船飞船旋转的旋转的角为角为飞船飞船旋转的角旋转的角 BxABABJJ A飞轮飞轮旋转的角旋转的角上式为飞船调整的角度上式为飞船调整的角度 与方向控制器中飞轮需要旋与方向控制器中飞轮需要旋转的角度转的角度 的关系，由此可以精确地控制飞船的方向。的关系，由此可以精确地控制飞船的方向。 AB 85 水库大坝水库大坝一般一般都被设计为储水面都被设计为储水面陡峭、背水面平缓陡峭、背水面平缓的的梯形梯形形状。当然形状。当然在实际设计过程中，在实际设计过程中，因为具体情况，各因为具体情况，各个大坝的梯度不尽个大坝的梯度不尽相同，工程师这样相同，工程师这样设计大坝的设计大坝的目的和目的和原因原因是什么呢？是什么呢？ 2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动二、水库大坝