2022高考数学一轮复习5.2平面向量基本定理及向量的坐标表示学案文含解析新人教A版

1、5.2平面向量基本定理及向量的坐标表示必备知识预案自诊知识梳理1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点o为起点作op=a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得op=xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对叫做向量a的坐标,记作a=.3.平面向量的坐标运算

2、运算坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2)和a+b=(x1+x2,y1+y2)差a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘a=(x1,y1),其中rab设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab=(x2-x1,y2-y1)4.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab.5.向量的夹角已知两个向量a和b,作oa=a,ob=b,则aob=(0180)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作.1.若a与b不共线,a+b=0,则=0.2.已知p为线段ab的中点,若a(x1,y1),b(x2,y2),则p点坐标为x1+x22,y1+y

3、22.3.已知abc的重心为g,若a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),则gx1+x2+x33,y1+y2+y33.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变.()(3)在abc中,向量ab,bc的夹角为abc.()(4)已知向量a,b是一组基底,若实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2.()(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1x2=y1y2.()2.(2020北京海淀期中,2)已知向量a=(m,2),b

4、=(2,-1).若ab,则m的值为()a.4b.1c.-4d.-13.(2019全国2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()a.2b.2c.52d.504.已知向量a=(1,-2),同时满足条件ab,|a+b|a|的一个向量b的坐标为.5.(2020北京海淀区调研)在abc中,d为三角形所在平面内一点,且ad=13ab+12ac.延长ad交bc于点e,若ae=ab+ac,则-的值是.关键能力学案突破考点平面向量基本定理的应用【例1】(1)(2020河南郑州模拟)如图,在直角梯形abcd中,ab=2ad=2dc,e为bc边上一点,bc=3ec,f为ae的中点,则bf=

5、()a.23ab-13adb.13ab-23adc.-23ab+13add.-13ab+23ad(2)(2020山东聊城一中高三模考)在梯形abcd中,abcd,ab=2cd,e,f分别是ab,cd的中点,ac与bd交于点m,设ab=a,ad=b,则下列结论不正确的是()a.ac=12a+bb.bc=-12a+bc.bm=-13a+23bd.ef=-14a+b思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?解题心得平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选

6、择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.对点训练1(1)直线l与平行四边形abcd中的两边ab,ad分别交于点e,f,且交其对角线ac于点m,若ab=2ae,ad=3af,am=ab-ac(,r),则52-=()a.-12b.1c.32d.-3(2)(2020湖南湘潭三模,文8)已知向量a,b是两个不共线的向量,且oa=3a+5b,ob=4a+7b,oc=a+mb,若a,b,c三点共线,则m=()a.1b.-1c.2d.-2(3)设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底a,b的线性组合,即e1

7、+e2=.考点平面向量的坐标运算【例2】(1)(2020河南高三质检,8)在边长为2的正方形abcd中,e为cd的中点,ae交bd于点f.若af=xab+3yad,则x+y=()a.1b.59c.-13d.-59(2)已知m(3,-2),n(-5,-1),且mp=12mn,则点p的坐标为()a.(-8,1)b.-1,-32c.1,32d.(8,-1)(3)(2020湖南常德一模,文4)平面向量a与b的夹角为120,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=()a.4b.3c.2d.3思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么?解题心得1.向量问题坐标化向量的坐标运算,使得向量的线性运算都

8、可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.2.巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.3.妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.对点训练2(1)已知点a(1,-2),若向量ab与向量a=(2,3)同向,且|ab|=13,则点b的坐标为()a.(2,3)b.(-2,3)c.(3,1)d.(3,-1)(2)(2020安徽合肥一中模拟,10)如

9、图,矩形lmnk,lm=6,sin mln=23,e半径为1,且e为线段nk的中点,p为圆e上的动点,设mp=ml+mn,则+的最小值是()a.1b.54c.74d.5(3)(2020山东济宁5月模拟,13)已知向量a=(-4,6),b=(2,x),满足ab,其中xr,那么|b|=.考点平面向量共线的坐标表示(多考向探究)类型1利用向量共线求向量或点的坐标【例3】已知o为坐标原点,点a(4,0),b(4,4),c(2,6),则ac与ob的交点p的坐标为.类型2利用向量共线求参数【例4】已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-3b共线,则mn=.解题心得平面向量共线的坐标表示

10、问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(r),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量.对点训练3(1)设向量oa=(1,-2),ob=(2m,-1),oc=(-2n,0),m,nr,o为坐标原点,若a,b,c三点共线,则m+n的最大值为()a.-3b.-2c.2d.3(2)(2020北京东城一模,11)已知向量a=(m,

11、1),b=(1,-2),c=(2,3),若a-b与c共线,则实数m=.1.只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可以用这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.2.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.3.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理,从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题.4.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.5.向量中必须掌握的三个结论(1)若a与b不共线,a+

12、b=0,则=0;(2)已知oa=ob+oc(,为常数),则a,b,c三点共线的充要条件是+=1;(3)平面向量的基底中一定不含零向量.1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点是原点时,其终点坐标就是向量坐标.2.若a,b为非零向量,当ab时,a,b的夹角为0或180,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.5.2平面向量基本定理及向量的坐标表示必备知识预案自诊知识梳理1.不共线1e1+2e2基底互相垂直2.(x,y)(x,y)4.x1y2-x2y1=05.非零ab考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.c因为ab,所以-m-4=0,m=

13、-4.故选c.3.a由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=(-1)2+12=2,故选a.4.(-1,2)(答案不唯一)ab,b=a(r),|a+b|a|a+a|a|a(1+)|a|1+|1.-20),即x=2k,y=3k,由|ab|=13得k=1,故ob=oa+ab=(1,-2)+(2,3)=(3,1).故选c.(2)由已知建系如图,由lm=6,sinmln=23,解得mn=1255,则m3,-1255,n(3,0),l-3,-1255,设p(cos,sin),因为mp=ml+mn,mp=cos-3,sin+1255,ml=(-6,0),mn=0,1255.所以mp=cos-3,sin

14、+1255=(-6,0)+0,1255,即cos-3=-6,sin+1255=1255,解得=3-cos6,=512sin+1.所以+=32+512sin-16cos=32+14sin(+),当sin(+)=-1时,+的最小值是54.故选b.(3)因为ab,所以-4x-26=0,解得x=-3,因此|b|=22+(-3)2=13.例3(3,3)(方法1)由o,p,b三点共线,可设op=ob=(4,4),则ap=op-oa=(4-4,4).又因为ac=oc-oa=(-2,6),由ap与ac共线,得(4-4)6-4(-2)=0,解得=34,所以op=34ob=(3,3),所以点p的坐标为(3,3).(方法2)设点p(x,y),则op=(x,y),因为ob=(4,4),且op与ob共线,所以x4=y4,即x=y.又因为ap=(x-4,y),ac=(-2,6),且ap与ac共线,所以(x-4)6-y(-2)=0,解得x=y=3,所以点p的坐标为(3,3).例4-13因为2-132,所以a与b不共线.a-3b=(2,3)-3(-1,2)=(5,-3)0,那么当ma+nb与a-3b