高三数学第一轮总复习培优版讲义理

1、高三数学第一轮总复习讲义（培优版）供理科生使用第一讲 等差数列及其性质与前n项和第二讲 等比数列及其性质与前n项和第三讲 数列的通项公式与前n项和的求法第四讲 数列的综合问题高三数学第一轮总复习培优班讲义（理）第一讲 等差数列及其性质与前n项和【教学目标】1、 掌握等差数列的概念及通项公式；2、 理解并能应用等差数列的性质；3、 熟练掌握各种方法求等差数列的通项公式及前n项和以及应用等差数列解决实际问题。【重点难点】1、 应用等差数列的性质解题；2、 等差数列前n项和公式理解、推导及应用;3、 理解等差数列前n项和公式与二次函数的联系，会利用等差数列求和公式来研究最值;【命题趋势】 1、题型以

2、选择题和解答题为主; 2、选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用; 3、解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n项和与函数、不等式的综合问题。【教学过程】一、知识要点1. 等差数列的判定方法：（1）（常数）是等差数列；（2）是等差数列；（3）是常数）是等差数列；（4）是常数，是等差数列.2. 等差数列的性质. 由等差数列的通项公式可以推出许多性质,如:递增; 递减; 为常数列.;若则特别地, 若是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的和相等,且等于首末两项的和;若,则;项数成等差数列的项是等差数列,也都是等差数列,公差是等差数列中依次k项的和成等差数列，即成等差数列,

3、其公差为若,都是等差数列,公差分别为,则也是等差数列,其公差为.二、典例精析题型一、等差数列的证明例1. 已知数列满足若 （1）求证: 是等差数列 （2）求数列的通项公式题型二、等差数列的性质例2. 在等差数列中,若求的值.例3. （2010广东惠州调研，改）已知为等差数列，是数列的前n项和，则使得达到最大值的是（ ） a.21 b.20 c.19 d.18变式：设公差为-2的等差数列中,求 及的值.例4. （07年辽宁，改）设等差数列的前n项和为，若，求的值。变式：设等差数列的前n项和为，若，求的值。题型三、等差数列的前项和例5. 在等差数列中,若求前13项的和.例6. 已知等差数列的前项和

4、为,问数列的前多少项和最大?并求此最大值.题型四、综合问题例7. （2009年湖南四市，改）数列中，且数列是等差数列。 求：(1); (2)求数列的通项公式; (3)若，求的前n项和。例8. （2010年广东惠州调研，14分）在平面上有一系列的点，对于，点在函数图象上，以点为圆心的与x轴相切，且与又相外切，若，且。(1) 求证：数列是等差数列;(2) 设的面积为，求证：。三、优化训练选择题1. 设等差数列单调递增，且前三项和为12,前三项积为48,则它的首项为( ) (a)1 (b)2 (c) 4 (d)62. 在各项均为正数的等差数列中,公差则( ) (a) (b) (c) (d) 3. 首

5、项为,公差为d的无穷等差数列只有有限个负项的条件是( ) (a) (b) (c) (d) 4. 若,都是等差数列,且则( ) (a)0 (b)37 (c)100 (d)-375. 公差d为正数的等差数列中,若则=( ) (a)120 (b)105 (c)90 (d)756. 等差数列中,则( ) (a)48 (b)49 (c)50 (d)51填空题7. 等差数列中,是方程的两根,则该数列前12项的和 。8. 已知等差数列中, 则= .9. 已知项数为偶数的等差数列中,奇数项的和为24, 偶数项的和为30,且最后一项超过第一项10.5,那么该数列的项数是 .10. （09年辽宁抚顺）在等差数列中

6、，若是数列的前n项和,且，则数列的前18项之和的值是 。解答题11. 在数列中,求.12. 设为等差数列, (1)已知求公差使最小; (2)已知求公差使最小.13. 数列是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项变为负. (1)求此等差数列的的公差(2)设数列的前项和为,求的最大值; (3)当是正数时,求的最大值.14. 已知等差数列中, 公差.(1)求证:当取不同的正整数时方程有公根;(2)若方程不同的根为依次为求证:是等差数列.高三数学第一轮总复习培优班讲义（理）第二讲 等比数列及其性质与前n项和【教学目标】1. 掌握等比数列的概念及通项公式；2. 理解并能应用等比数列的性质

7、；3. 熟练掌握各种方法求等比数列的通项公式及前n项和;4. 应用等比数列解决实际问题，提高学生解决实际问题的能力。【重点难点】1 应用等比数列的性质解题；2 等比数列前n项和公式理解、推导及应用;3 理解等比数列前n项和公式与指数函数的联系，能解等比数列与不等式函数等综合问题。【命题趋势】1. 题型以选择题和解答题为主;2. 选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用;3. 解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n项和与函数、不等式的综合问题。【教学过程】一、知识要点1. 等比数列的判定方法: (1) (常数) 是等比数列;(2) 是等比数列;(3) 是等比数列;（4

8、）, 是等比数列.2. 等比数列的性质: 由通项公可以推导出许多性质,若，则时递增;时递减;为常数列. 时, 是摆动数列.若.则， 特别地,； 若 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项的积若,则； 项数成等差数列的项组成等比数列;也是等比数列,公比均为;若,都是等比数列,公比分别为,则也成等比数列,其公比为前k项之和，第二个k项之和，第r个k项之和构成等比数列, 其公比为; 前k项之积，第二个k项之积，第r个k项之积构成等比数列, 其公比为;二、典例精析题型一、等比数列的证明例1. 已知数列的前项和为,对于,满足关系。求证: 是等比数列.题型二、等比数列的性质例2. (

9、2009年广东，4）已知等比数列满足，且，则当时，（ ）a. b. c. d.变式：等比数列的前项和为,已知,求和公比的值.例3. (2007年陕西，5）各项均为正数的等比数列的前n项和为，若则等于（ ）a.80 b.30 c.26 d.16变式：（2008年广东中山）在等比数列中，公比，前99项的和则 。题型三、等比数列的通项与前n项和例4. 设数列是等差数列,已知求数列 的通项公式.例5. 已知数列是首项为正数的等比数列,是前项和,并且在前项中,最大的项为54, 求数列 的通项公式.例6. （2009广东一模）已知数列的前项和为，对于任意的都有，且，求的值。题型四、综合问题例7. 已知等比

10、数列中,（1）求的通项公式; (2)试证:例8. 设数列是等差数列,公差的部分项组成的数列恰好为等比数列,其中.(1)求 (2)求证: .例9. （2010年广州质量抽检，14分）设为数列的前n项和，对任意的，都有（m为常数，且）(1)求证：数列是等比数列;(2)设数列的公比，数列满足求数列的通项公式;(3)在满足(2)的条件下，求证：数列的前n项和三、优化训练1. 等比数列的前10项的和为32,前20项的和为56,那么前30项的和为( )(a)72 (b)73 (c) 74 (d)882. 等比数列中, 则( ) (a) (b) (c) (d) 3. 各项为正数的等比数列的公比且成等差数列,

11、则的值是( ) (a) (b) (c) (d)4. 若两数的等差中项是6,等比中项是5,则以这两数为两根的一元二次方程为( ) (a) (b) (c) (d) 5. 在各项为正数的等比数列中,则( ) (a)8 (b)10 (c)12 (d)6. 等比数列的前项和为,则公比 .7. 在等比数列中,则 ,= .8. 在等比数列中,各项都为正数,则 .9. 已知成等差数列, 成等比数列,则 .10. 设数列满足,且则= .11. 在数列中,求.12. 一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列,求其中最小的角的正弦值.13. 已知三整数成等差数列,且成等比数列,又之和介于45与50之间(不含45和5

12、0),求.14. 在等比数列中,若(1) 求公比和;(2) 证明:依次取出数列 的第1项, 第4项, 第7项, 第3n-2项,所得的新数列仍然是等比数列.15. 设数列,满足且数列是等差数列,是等比数列,求数列,的通项公式.16. 若数列,满足:对于任意的自然数、成等差数列，、成等比数列，(1)证明数列是等差数列;(2)若,求数列,的通项公式.高三数学第一轮总复习培优班讲义（理）第三讲 数列的通项公式与前n项和的求法【教学目标】1. 熟练掌握数列通项公式的基本求法（重点掌握等差、等比数列型;型;一阶线性递推型)2. 熟练掌握数列求和的几种常见方法(重点掌握公式求和法;裂项相消法;错位相加法;分

13、组求和法;)【重点难点】1 准确辨别数列类型，灵活运用对应方法求数列的通项公式;2 准确辨别数列类型，灵活运用对应方法求数列的前n项和;【命题趋势】 1、题型以选择题和解答题为主; 2、选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用; 3、解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n项和与函数、不等式的综合问题。【教学过程】一、知识要点1、求数列通项公式的基本类型1) 等差、等比数列型;2) 型：根据求出;3) 一阶线性递推型: 形如的递推形式的数列的用配凑法求的通项公式。4) 递推型：此类型求通项公式的方法;（1）归纳-猜想-证明； （2）通过变形、叠代、换元等手段转化为等差

14、数列、等比数列。5) 累加、累乘法;6) 归纳型：根据数列前若干项写出数列的一个通项公式;2、 数列求和的几种方法1) 公式求和法; 等差数列求和公式： 等比数列求和公式： 2) 裂项相消法;3) 错位相加法;4) 分组求和法;5) 倒序相加(乘)法;6) 拆项相加法;7) 同项求和法;二、典例精析题型一、数列通项公式的求法.例1. 在等比数列中,求通项公式.例2. 已知数列中,求.例3. (1)已知数列的前项和,求通项公式. (2)已知数列,是前项和,对于有.求通项公式.例4. 在数列中,对所有的,都有,求通项公式.例5. 已知数列中, 求通项公式.例6. (1)已知数列,其中, 求通项公式

15、. (2)已知数列,其中, 求通项公式.例7. 已知数列中,求通项公式例8. 已知数列的前项和为,且，,求通项公式例9. 已知数列中,求通项公式.题型二、数列的求和.例10. 等比数列中,求的值和例11. 数列中,求前项和.例12. 在不相等的两个正数中间,插入个正数,使它们构成以为首项,为末项的等比数列,求插入的这个数的积。例13. 求数列的前20项的和.例14. 求数列的前项和.例15. 求例16. 求数列的前项和.例17. 求和.例18. 已知数列的前项和。三、优化训练1. 等差数列的前项和那么它的通项公式是( )(a) (b) (c) (d) 2. 一个等差数列的前4项和为21, 末4

16、项和为67,则前26项和为( )(a) 1142 (b)572 (c)286 (d)3523. 公比为整数的等比数列中,那么( )(a) 480 (b)493 (c)495 (d)4984. 数列的通项公式为若则等于( )(a)9 (b)10 (c)99 (d)1005. 数列,.的前项和等于( )(a) (b) (c) (d) 6. 在等差数列中,则此数列的前13项的和=( )( a) 26 (b)13 (c)52 (d)1567. 已知等差数列中,若且=0,则 为( ) (a) 38 (b)20 (c)10 (d)98. 已知是等差数列的前项和,则( ) (a) (b) (c) (d9.

17、等差数列中,则 .10. 在小于100的整数中,被3除余2的一切数的和是 .11. 首项为3,公差为2的等差数列,为其前项和,则= 12. = .13. = .14. .15. 已知等差数列中,求到的和.16. 已知项数为偶数的等差数列中,奇数项的和为30,偶数项的和为18,首项比末项大22,求各项的和.17. 数列中, 为其前项和,且 (1) 设,求证是等比数列; (2) 设,求证是等差数列; (3) 求数列的通项公式及前项和.数列题选（选填题）1. 设是等差数列的前项和,若,则( ) (a)8 (b) 7 (c)6 (d)52. 设是公差为正数的等差数列,若,则( ) (a)120 (b)

18、105 (c)90 (d)753. 已知等差数列中,则前10项和=( )(a)100 (b)210 (c)380 (d)4004. 设是等差数列的前项和,则( )(a) (b) (c) (d) 5. 如果-1,成等比数列,那么,( )(a) (b) (c) (d) 6. 设则( )(a) (b) (c) (d) 7. 设数列是等差数列, 则这个数列前6项和等于( ) (a)12 (b)24 (c)36 (d)488. 已知数列,都是公差为1的等差数列,其首项分别为,设则数列的前10项和等于 (a)55 (b)70 (c)85 (d)1009. 在等比数列中,若且则( ) (a)2 (b)4 (

19、c)6 (d)810. 在等差数列中, 是数列的前项和,则的值为( )(a)48 (b)54 (c)60 (d)6611. 在等比数列中, 设是数列的前项和,若数列也是等比数列则=( )(a) (b)3n (c)2n (d) 12. 在等差数列中,已知则( )(a)40 (b)42 (c)43 (d)45.13. 在等比数列中,则(a)81 (b) (c) (d)243.14. 若互不相等的实数成等差数列,成等比数列,且则( )(a)4 (b)2 (c) 2 (d) 415. 若数列满足:,则 16. 已知某等差数列共有10项,其奇数项的和为15, 偶数项的和为30,则公差为( )(a)5 (b)4 (c)3 (d)217. 设为等差数列前项和,且则 。18. 在各项均不为零的等差数列中,若则( ) (a)-2 (b)0 (c)1 (d)219. 设是等差数列的前项和,若且三点共线(该直线不过原点)则( ) (a)100 (b)101 (c)200 (d)20120. 已知等差数列中,则设的前9项和=( )(a)18 (b)27