(完整word版)2019年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷(word版,排好版有答案)

1、2019年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷(考试时间：2019年6月30日9: 00- 11: 30,满分150分)题号一111213141516总分得分评分人复核人一、填空题(共10小题，每小题7分，满分70分。请直接将答案写在题中的横线上)1、已知 a 2,且 A x 2 x a , B yy 2x3,x A,C tt x2,x A,若C B ,则a的取值范围是. uuu uuu2、 ABC的三边分别为a, b, c,O为 ABC的外4已知b 2b c 0, BC AO的取值范 围是.3、已知 a = log4e,b= log34c二 log45,贝U a, b , c的大小关系是 .4、

2、若方程a J1 x2 x 1有实数解，则实数 a的取值范围是 .*.5、在数列an中，a1=2, an an1 1(n N ),设Sn为数列 an的刖n项和，则 S20172s2018S2019 的值为6、在复平面内，复数Z1,Z2,Z3的对应点分别为Zi,Z2,Z3,若Z1Z2-uuu uuur V2,OZ1 OZ2 0,乙 Z2 Z3 2 ,则Z3的取值范围是.ln x, x1,7、已知函数f(x)= 11 若mn,且f(m)=f(n),则nm的最小值是 .2x+ 5, xl, 228、已知椭圆 1的左、右焦点分别为Fi、F2,过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、43Q,则AFiPQ内

3、切圆面积的最大值是 .L 119、已知x 0, y 0且1,则x 2y的最小值为.2x y y 110、定义两点P(加y1) , Q(x2, y2)之间的 坐标距离”为：d(P,Q) |xi x2 | |y1 y2| .若C(x, y)到点A(1,3) , B(6, 9)的坐标距离”相等，其中实数x、y满足0 x 10 , 0 y 10 ,则所有满足条件的 点C的轨迹的长之和为 、解答题(共 6小题，满分80分。要求写出解题过程)ur11、(13分)已知向量mx r(COS, 1),n_ x 2 xur r(v3sin- ,cos -),设函数 f(x) m n 1.(1)若 x 0, 2(2

4、)在aABC中，角值范围.11 ,、，f (x)，求 cosx 的值；10A, B, C的对边分别是a, b, c,且满足2bcosA2c T3a ,求 f (B)的取12、(13分)2019年数学奥林匹克竞赛试行改革：某市在高二一年中举行5次联合竞赛，学生如果其中2次成绩达到该市前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参 加5次竞赛.规定：若前 4次竞赛成绩都没有达全市前 20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生1每次成绩达全市前 20名的概率都是一，每次竞赛成绩达全市前 20名与否互相独立.4(1)求该学生进入省队的概率.(2)如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就

5、结束，记该学生参加竞赛的次数为，求 的分布列及的数学期望.1- (n 1)an13、(13 分)已知数列an中，ai1, a2 ,且 an 1 (n 2,3, 4,L).4n an(1)求数列an的通项公式；n o 7求证：对一切n N ,有 ak -.k1 614、（13分）已知三棱锥 P ABC （如图1）的平面展开图（如图 2）中，四边形 ABCD为边长等 于2J2的正方形，ZXABE和4BCF均为正三角形，在三棱锥 P ABC中：（I）证明：平面 PAC 平面ABC ;（n ）若点M为棱PA上一点且 四MA1一,求二面角P BC M的余弦值. 2C图1F图2222215、(14分)已知

6、椭圆e ：与 1 1(a b 0),其短轴为4 ,离心率为e ,双曲线上 yabm n(m 0 , n 0)的渐近线为y x ,离心率为e2,且e1 e2 1.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的右焦点为F ,过点G(4,0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M, N两点， 直线FM和FN的斜率为K , k2,试判断k1 k?是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是 定值，请说明理由.116、(14分)已知函数 f x x lnx . x1(1)右 f x x - lnx 在 xx1,X2x1x2处导致相等，证明： f X fx2321n2；x(2)若对于任意k ,1 ,直线y kx b与曲线y

7、f x都有唯一公共点，求实数 b的取值范围.91 I .儿6(二0一九年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷X#萩%标准一.填空（共10小，每小 7分，清分70分.请亶接将誓案写在中的）题号12345678910答案加(兴)acos/4 2c 得，2sin8cos/4 2sinc-/5sin/ n2sin3cos.4 4 2sin(/ + H)- sin .4 n2sin8cos/ 4 2(sin/lcos8 + sin8cos/f-/5sin/4 . r . G0 2sin/fcos8 V3sin /I cosIf13分：.sin(-) -.0 即/(8) = sin(6.C) + ：n/(8w

8、 06 k 2 J62V12、（13分）2019年数学奥林兀克克春试行改革：某市在高二一年中举忏5次联介比赛.学生如果痣中2次成绩达到该市前20名即可进入行队培训,不用参加下余的比春,而得个学牛Jft多也只能多加5次比春.规 定：若前4次竞赛成绩觇没有达全市前20 则第5次不能参加竞赛.便设某学生年次成绩达全市前20 名的概率都是!，每次竞吞成绩达全市前20名与否互相独立.（1）求该学生进入省队的概率.（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞褰就结束.记该学生参加I竞宴的次数为求V的分布列及的 数学期望.解：（I）记”诔生进入省队”的事件为事件H,其时立事件为彳，携吩眇哉: = =. .v J1

9、28 1282）谈牛参加竞赛次数J的可能取值为2, 3. 4. 5.尸(2)(目二P(门3) = Cx/；TW，P(=4) = C；x-城小曾=工生34 U/ 4 4J 256 256 64p（y）=cf 图* 故的分布列为:2345P11633227 M276413分(f) = 2xA + 3x2- + 4x3Z + 5xZ = I ,16326464 64 13、(13 分)已知数列o中.q=l,6=.且 4,.=更凶 j ?3一a.1（11）.17=1 + T 一二 1= T*3（2 3n-）6 6又 =1时.a =1 6故对一切，有力;J13分j.i 614. （13分 已切 处循尸一

10、川” 如图I）的千面展开图（如国力也四边膨边氐等J 2/的正力形，/&制产均为正式角形，在三极椎-/&，3C I ）证叫平血PAC X平惕ABC CID芥点M为枝/H匕一点II.=，求:向俗-8一M的余强值.MA 2t?： c I)设/C的中点为O,连接80. PO. 由名意.将/Mh尸6=?二2应,尸。=2, ,4O=BCCO=2在4c中，PA = K，。为H的叶 ：.POLAC.在 A/W 中.PO = 2, QB = 2 ,尸8 = 20.PO +OB1 = PB1, A POLOB .Hl: AC 0B = O, AC . OGu 平面口 8，：/) _L 平面/8C ,Av pou平

11、面ar 二平面pac 平面.函r.（H ）由POJ.平面OBLAC. J.POLOB. PO LOC.于是以“，OB,（炉所在直线分别为x轴.尸轴.二轴建立如图求空间直角坐标系.则0(000), C(i0,0), 8(020)，(-2,0,0),2(002),的卜如,扑fiC =(2.-X0), PC = (X0,-2). aTc-.O,-.设平面A/B6的法向境为m =(补乃，：1 ),则由m BC 0w WC = 0即.（LL2）.设平面PBC的法向量为-（均力吕）,用 8C=0.一 N -0? ”,令xl.得yl. r i 即%一08*60）, 小用油为4.周心率为。,双曲线上一匕=|

12、（m0. am n0）的渐近及为y = JT.禹心率为6. 口。马=1.（I）求精师的方程：（2）设椭阳的行你中为尸，过点G（4.o）作科率不为0的r（戊交精附 ,”. N两点,设r（技尸M和 48. A6 F”的和格为减判断人鱼是否为定值.若是定值,求山友定值：若不是定值.请说明理由.则 a = 26 -二确限的标准方程，=+ ： = 15分84y = k(x-4)(2)设直线A/N的方程为丁=4(才一4乂4工0).了 一jr + 2yr = 8消去，整理根1 (1 + 2)/-14、+32-8 = 0,11 A/(xt ,j) , N(x】.y。则3 + *工=*737 , *肉=T71p

13、 ,上一上二蛆1义仁心 r)-2 f 2王2x2-2二 k a -4)(七-2)+5 TMx -2)=女 一内一.0 4.0)416(Xj-2Xx2-2)(Xj - 2Xx2 - 2)代入上式得NX-&*+*）+16 = 0.即&+&=09分16. （14介）已知由敛/（jr）xLhj x（I ） 若1-hv 在% “：（X1 *：）处导致和7； i正明 1 /（xj + /（x, ） 3-2in2 t（2）若利MEjftkqY）,11伐尸占+“泄线/3柘”啡，公共点,求实数/的取信麴困.AeiK由，达定理用一) = 1 % X2令/(4) =/(三)=用，得即匕+冬=工厂三r三 符$ 三4 ,-(lar, nx2)-xxx2 -InjxjX,)-! 令t=演/ )4 ,则昌小一ln(禺M)-l =，-ln/-l 令g(，)=，4) 则式，)=1一；0(/4)，得g(，)g(4) = 3 - 21n27分xbvr-0(2)由，(Jf) = h十b,得4=-ixI 八 jr - lnx-b令力(X)春 Pl1x-