(完整)山东大学《高等数学》期末复习参考题(20)

1、22x y ,1.函数 f (x, y)1,A)不存在偏导数；C)存在两个偏导数但不连续;xy 0 A一，在(o, o)点处()。xy 0B)存在函数极限；D)存在两个偏导数且连续。山东大学数学分析III 期末复习参考题题号一二三四五六七总分得分.选择题(共10小题，40分)dzcost,贝U dta) yxy1 cost xysintlnx;C) yxy1sint xy cost ln x；b) yxy1 cost xysintlnx；D)yxy1 sint xysintlnx。2.下列命题关于f(x,y)在P0(x0, yO)的全微分描述错误的是()。A) dz是 x与 y的线性函数；b)

2、 dz与 z之差比为高阶无穷小；C) f(x,y)在 P0(x, y)可微，则 f (x, y)在 P0(x0,y。)连续;D)f (x,y)在P(x0, y)存在两个偏导数，则在 f (x, y)在匕(, y)一定可微。3 .函数z xy(x 0), 而 x sint,yfyx(x0,y0).，4 .如果函数 f(x,y)在 P0(x0,y0)的邻域 g()，则 f/x。，y0)A) fxy(x, y), fyx(x, y)存在且在 P0(x0,y0)连续; ,一.一B) fxy(x, y), fyx(x, y)存在且可导； c) fxy(x, y), fyx(x, y)存在且在 P0(x0

3、,y0)连续;D) fxy(x, y), fyX(x, y)存在。 x ar sin cos5.坐标变换 y brsin sin ，(a, b, c为正常数)的函数行列式的值为()z cr cos22A) r B) abcrc) r sind) abcr sin26 .无穷积分0 e、dx, 0 xedx的值分别为()。A) 1, 0.5 B) 0.5, 1 C) 1,1D) 0.5, 0.17 .关于无穷积分1 2 dx的结论错误的是()。1 XA)1时1工dx收敛；X11C)1时 1 dx ，X18.下列非 函数性质的选项为(A)0，(1)()C)函数为定义域上的非连续函数；8) 1时1d

4、x发散；1 xD)0时 1dx收敛。1 x)。b) n N , (n 1) n!；D)函数为定义域上的连续函数9.下列积分不是求平面区域面积公式的是()。b1.A)a f(x)dx； b)xdxdy； C) dxdy； D)一口 xdy ydx.SS2 C10. C 为圆周线 x2 y2 a2，则 xy2dy x2ydx ()。C242a) a ; B)a ; C)a ；4D) a 。,22、,122一(x y )sin-2,x y一、f (x, y)x y x2 y20,1 .是否可微；2.偏导数是否连续。(10分)0在(0, 0)点:03一. t ,2 一Z二、设z e ,t x 2y,求

5、z关于x和y的二阶偏导数和 2.(10分)y xx四、求无否积分K 0 e sin2xdx。(10分)五、验证方程组222F(x, y,u,v) u v xG(x, y,u, v) u v xyy 0在点(x, yoUM)(2,1,1,2)的1 0邻域满足隐函数组存在条件，从而在点(1, 2)的邻域存在唯一一组有连续偏导数的隐函数组x x(u,v) -XV 八 ,求(10分),.y y(u,v) u u2六、求函数f(x,y,z) x2 y2 Z在曲面x2y2z2 ()3,(a 0为常数)上的最小值。3(10 分)七、证明：若f(x)在0,a上连续，x 0,a,有f (x) (10 分)1 x

6、1 _(n)g(x) ()!0(x t) f(t)dt，则 g (x)数学分析III期末试卷20答案与评分标准、(每题4分，共40分)1-5: CDACD 6-10: ADCBB二、解：1.a ：由定义fx(0,0)lxm0f( x,0) f(0,0)lixm02 1(x) sin20,xfy(0，0)1ym0f(0, y) f(0,0)(lim -y 0y)2sin(y)x0,(2分)df(0,0) x fy(0,0)0,dz是x与y的线性函数;(4分)b：f(x,y)f(0,0)(y2)sinlim0.1八sin 0，dz与z之差比为高阶无穷小;由a与b, f(x,y)在(0,0)可微.(

7、6分)22. (x, y): x2y 0,有 fx(x, y) 2xsin2x 12cos-_2y x y当y x时,.1lxm0fx()晒伽/斤一cos一2x 2x-)不存在。fx(x, y)在(0,0)间断,同理，fy(x, y)在(0,0)也间断。(10 分)、解:x2 2y2xe ；t o.x2 2y2e ;y2z-2 x2 x24x e2ex2 2y2z2yx2 2 y4e ;(6分)x24xe3z2y xo 2 x28x e2y/ x24e2yo四、解:x sin2xdxe xd(1cos2x) 2（10 分）(:cos2x)1)d( -sin 2x)(6分)五、解:1）2x,-F

8、 yGy,一 yF(2,1,1,2)2)G(2,1,1,2)3) JG(x, y)12(e1,x1sin2x2uGx,一 u2x在（x0,y。）（2,1）处，Jxsin2xdx)-2(10 分)2u,-F vG1,一2x20；2v,在（2,1,1,2）的邻域连续;1,(4分)(6分)由1） 2） 3）,方程组满足定理3条件，在（2,1,1,2）的邻域存在唯一一个具有连续偏导数的隐含数组x x(u,v):y(u,v)2uc x2x uy xu2xu 12xy(2x 2yu)六、解：求解条件极值f (x,y,z)限制条件由拉格朗日乘数法:设(x,y,z,)(x22x2 2xy z2y2 2x yz(1) x同理，令2z(4)2x2(10 分)(3分)(5分)(8分)2x2 22a 3(予(2) y,(3)2(学222 a、，y z 为f (x, y, z)唯一的驻点, 3f(x,y,z)在曲面上的最小值为七、证明： 函数 (x,t) (xt)n1f(t)与1(x(10 分)t)n2f(t)在R0 t a,0 x a上连续;(2分