等比数列前n项和二

1、等比数列前等比数列前n n项和项和等比数列前等比数列前n n项和的性质：项和的性质：qssnnn 奇奇偶偶则则，等等比比数数列列中中，若若项项数数为为),(2. 1*成成等等比比数数列列kkkkksssss232,. 2 的的值值。求求若若项项和和为为的的前前设设等等比比数数列列qssssnann,2,. 1963 性质应用：性质应用：的的值值。求求若若项项和和为为的的前前设设等等比比数数列列41248,3,. 2sssssnann 性质应用：性质应用：。求求通通项项，项项中中数数值值最最大大项项为为在在前前项项和和前前项项和和为为的的前前设设正正项项等等比比数数列列nnnnansnsna54

2、,65602,80. 32 最值问题：最值问题：取值范围。取值范围。的的的公比的公比，求，求中最大值，且中最大值，且数列数列项和组成的项和组成的是它的前是它的前项和项和的前的前如果数列如果数列，设，设是等比数列，是等比数列，若若qasssnsbnnbaannnannn7)(log8. 4877*21 最值问题：最值问题：(n+2)sn=n(sn+1- -sn). 证证: (1)an+1=sn+1- -sn, 又又 an+1= sn, n+2n整理得整理得 nsn+1=2(n+1)sn. n+2nsn+1- -sn= sn,sn nsn+1n+1 =2 . 5.数列数列 an 的前的前 n 项和

3、记为项和记为 sn, 已知已知 a1=1, an+1= sn(n=1, 2, 3,), 证明证明: (1)数列数列 是等比数列是等比数列; (2) sn+1=4an.n+2nsn nsn n 是以是以 1 为首项为首项, 2 为公比的等比数列为公比的等比数列. (2)由由(1)知知 =4 (n2),sn+1n+1sn- -1n- -1于是于是 sn+1=4(n+1) =4an(n2),sn- -1n- -1又又 a2=3s1=3a1=3, 故故 s2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意正整数因此对于任意正整数 n, 都有都有 sn+1=4an. 3.设设 an 为等比数列为等比数列, tn=

4、na1+(n- -1)a2+2an- -1+an, 已知已知 t1= 1, t2=4. (1)求数列求数列 an 的首项和公比的首项和公比; (2)求数列求数列 tn 的通项公的通项公式式.解解: (1)设设等比数列等比数列 an 的公比为的公比为 q, 则则: t1=a1, t2=2a1+a2. 又又 t1=1, t2=4, a1=1, 2a1+a2=4a2=2. q=2.数列数列 an 的首项为的首项为 1, 公比为公比为 2.(2)解法解法1 由由(1)知知: a1=1, q=2, an=2n- -1.tn=n 1+(n- -1) 2+(n- -2) 22+2 2n- -2+1 2n-

5、-1. 2tn=n 2+(n- -1) 22+(n- -2) 23+2 2n- -1+1 2n. tn=- -n+2+22+2n- -1+2n =2n+1- -n- -2. 解法解法2 设设 sn=a1+a2+an. an=2n- -1, sn=2n- -1. tn=na1+(n- -1)a2+2an- -1+an=a1+(a1+a2)+(a1+a2+a3)+(a1+a2+an)=s1+s2+sn=2+22+2n- -n=2n+1- -n- -2. 4.在公差为在公差为 d( (d 0) ) 的等差数列的等差数列 an 和公比为和公比为 q 的等比数列的等比数列 bn 中中, 已知已知 a1=

6、b1=1, a2=b2, a8=b3, (1)求求 d, q 的值的值; (2)是否存在是否存在常数常数a, b, 使得对于一切正整数使得对于一切正整数 n, 都有都有 an=lgabn+b 成立成立? 若存若存在在, 求出求出 a 和和 b, 若不存在若不存在, 说明理由说明理由.解解: (1)a1=b1=1, a2=b2, a8=b3, d 0, 解得解得 d=5, q=6. 故故 d, q 的值分别为的值分别为 5, 6. 1+d=q 且且 1+7d=q2. (2)由由(1)及已知得及已知得 an=5n- -4, bn=6n- -1. 假设假设存在常数存在常数 a, b, 使使得对于一切

7、正整数得对于一切正整数 n, 都有都有 an=lgabn+b 成立成立, 则则 5n- -4=loga6n- -1+b 对一切正整数对一切正整数 n 都成立都成立. 即即 5n- -4=nloga6+b- -loga6 对一切正整数对一切正整数 n 都成立都成立. loga65, b- -loga6=- -4. a= 6 , b=1. 5 故故存在常数存在常数 a, b, 它们的值分别为它们的值分别为 6 , 1, 使得对于一切正整使得对于一切正整数数 n, 都有都有 an=lgabn+b 成立成立. 5 5.设设 sn 为数列为数列 an 的前的前 n 项和项和, 且满足且满足 2sn=3(

8、an- -1), (1)证明证明数列数列 an 是等比数列并求是等比数列并求 sn; (2)若若 bn=4n+5, 将数列将数列 an 和和 bn的公共项按它们在原数列中的顺序排成一个新的数列的公共项按它们在原数列中的顺序排成一个新的数列 dn, 证证明明 dn 是等比数列并求其通项公式是等比数列并求其通项公式.证证: (1)由已知由已知 a1=3, 当当 n2 时时, an=sn- -sn- -1.2an=2(sn- -sn- -1)=2sn- -2sn- -1=3(an- -an- -1) an=3an- -1. 故故数列数列 an 是首项与公比均为是首项与公比均为 3 的等比数列的等比数

9、列.从而从而 an=3n, sn= (3n+1- -3).12(2)易知易知 d1=a2=b1=9. 设设 dn 是是 an 中的第中的第 k 项项, 又又是是 bn 中的中的第第 m 项项, 即即 dn=3k=4m+5. ak+1=3k+1=3(4m+5)=4(3m+3)+3 不不是数列是数列 bn 中的项中的项, 而而 ak+2=3k+2=9(4m+5)=4(9m+10)+5 是是bn的第的第(9m+10)项项, dn+1=ak+2=3k+2.dn+1 dn 由由=9 知知: dn 是首项与公比均为是首项与公比均为 9 的等比数列的等比数列, 故故 dn=9n. 2 111 6.an, b

10、n 都是各项为正的数列都是各项为正的数列, 对于任意的自然数对于任意的自然数 n, 都有都有 an, bn, an+1 成等差数列成等差数列, bn, an+1, bn+1成等比数列成等比数列. (1)求证求证 bn 是是等差数列等差数列; (2)如果如果 a1=1, b1= 2 , sn= + + , 求求 sn.2 2 a1 a2 an an0, bn0, 由式得由式得 an+1=bn bn+1.(1)证证: 依题意有依题意有: 2bn=an+an+1, an+1=bn bn+1. 2222从而从而当当 n2 时时, an=bn- -1 bn, 代入得代入得 2bn=bn- -1 bn+bn bn+1.22bn=bn- -1+bn+1(n2). bn 是等差数列是等差数列. (2)解解: 由由 a1=1, b1= 2 及两式易得及两式易得 a2=3, b2= 2.