D第一型面积分PPT课件

1、SzyxMd),(定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面积分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.第1页/共23页则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2),(SzyxfdSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设

2、,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面第2页/共23页二、对面积的曲面积分的计算二、对面积的曲面积分的计算法法 1 曲面面积:( , )( ( , ), ( , ), ( , ),( , )rr u vx u vy u v z u vu vD1(, )( , )uPPr uu vr u vru 13( , ),(, ),( ,)M u v M uu v M u vv13(,),( ,)Pr uu vPr u vv ( , )Pr u v3(

3、,)( , )vPPr u vvr u vrv | |uvuvSrurvrru v 令0,0uv ，得|uvdSrrdudv第3页/共23页曲面的面积为D|uvSrrdudv例：求半径为a的球面面积.第4页/共23页若光滑曲面为:( , ),( , )xyzf x yx yD则22DxyDxy|1xyxySrrdxdyff dxdy若光滑曲面为:( , ),( , )zxyf x zz xD则22Dzx1xzSff dzdx若光滑曲面为:( , ),( , )yzxf y zy zD则22Dyz1yzSff dydz第5页/共23页例：求圆柱面 在第一卦限中被平面 所截下部分的面积。222xy

4、a0,(0),()zzmx mxb ba第6页/共23页定理: 设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122则曲面积分:( , )( ( , ), ( , ), ( , ),( , )rr u vx u vy u v z u vu vD( , , )df x y zS( ( , ), ( , ), ( , )Df x u vy u v z u v|d duvrru v推论: 设有光滑曲面2 第一型曲面积分的计算第7页/共23页例:zyDzy

5、zyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式.如果曲面方程为说明:第8页/共23页课本例6.8:第9页/共23页yxD例例1. 计算曲面积计算曲面积分分,dzS其中 是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da222212ln()20ahaar haaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2axzyhaO第10页/共23页思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下两部分,) (dzS) (dzS04lnhaa则

6、hhxzyO第11页/共23页例例2. 计算计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设上的部分, 则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分别表示 在平面 zyx111O第12页/共23页xzyO例例3. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上

7、半球面夹于锥面间的部分, 它在 xOy 面上的投影域为则 1d)(22SyxI1yxD第13页/共23页1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxdd思考: 若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何 ? xzyO1yxD第14页/共23页例例4. 求半径为求半径为R 的均匀半球壳的均匀半球壳 的的重心重心.解: 设 的方程为yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 2223RRR用球面坐标cosRz ddsind2RS SdSzd20032dco

8、ssindR22200dsin dR 第15页/共23页例例5. 计算计算),(dRzSI.:2222Rzyx解: 取球面坐标系, 则,cosRz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d第16页/共23页例例6. 计计算算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解: 显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz第17页/共23页zzd例例7. 计计算算,d222z

9、yxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析: 若将曲面分为前后(或左右)zRSd2d则HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0Hxyz解: 取曲面面积元素两片,则计算较繁. O第18页/共23页内容小结内容小结1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 计算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式简化计算的技巧. 第19页/共23页备用题备用题 1. 已知曲面已知曲面壳壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的的面密度质量 M . 解: 在 xOy 面上的投影为 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213yxD2xzyO第20页/共23页2. 设设 是四面体是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面, 计算.d)1 (12SyxI解: 在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11O0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域第21页/共23页yxz1yxdd3xyxDyx10,1