2021高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十二节导数破解疑难优质课第3课时导数与函数的零点问题学案含解析新人教B版

1、第3课时导数与函数的零点问题1两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0.直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)f(b)0；分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)f(b)0，g()0；当x(，)时，g(x)0.所以g(x)在(1，)单调递增，在(，)单调递减，故g(x)在(1，)存在唯一极大值点，即f(x)在(1，)存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，)()当x(1,0时，由(1)知，f(x)在(1,0)单

2、调递增，而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)0，故f(x)在(1,0)单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1,0的唯一零点()当x(0，时，由(1)知，f(x)在(0，)单调递增，在(，)单调递减，而f(0)0，f()0；当x(，)时，f(x)0，所以当x(0，时，f(x)0.从而，f(x)在(0，没有零点()当x(，时，f(x)0，f()1，所以f(x)0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有

3、一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m0，f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0)，所以(x)1，记h(x)x2lnx1(x0)，所以h(x)2x，令h(x)0x(x舍去)，所以当x(0，)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)的最小值为h()()2ln()1ln2(1ln2)0，又当x时，h()ln1110，因此必存在唯一的x0(，)，使得h(x0)0.因此x(0，x0)时，h(x)0，(x)单调递增，x(x0,1)时，h(x)0，(x)单调递增，画出y(x)的大致图象，如图所示因此当(1)a(x0)时，直线ya与y(x)的图

4、象至少有两个交点，所以a的最小值为(1)3.方法技巧与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.已知函数f(x)exaxa(ar且a0)(1)若f(0)2，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为r，又f(0)1a2，得a1，所以f(x)exx1，求导得f(x)ex1.易知f(x)在2,0上单调递减，在0,1上单调递增，所以当x0

5、时，f(x)在2,1上取得最小值2.(2)由(1)知f(x)exa，由于ex0，当a0时，f(x)0，f(x)在r上是增函数，当x1时，f(x)exa(x1)0；当x0时，取x，则f1aa0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，令f(x)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a2ax1x2.【解】(1)f(x)a(x0)，设g(x)ax2x1(x0)，当a0时，g(x)0，则f(x)0时，由g(x)0得x或x(舍)，记x

6、x0，则g(x)ax2x1a(xx0)(x)(x0)，易知x0，所以当x(0，x0)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，f(x)在(x0，)上单调递增综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增(2)证明：不妨设x12ax1x2，即证x1x222()x1x2，只需证x1x2x1x2，只需证2ln，即要证2ln.设t，则t1，只需证t2lnt，设h(t)t2lnt(t1)，只需证h(t)0.因为h(t)10，所以h(t)在(1，)上单调递增，所以h(t)h(1)0，即t2lnt，所以x1x222ax1x2.方法技巧解决该题第(2)小

7、问的关键点有两个：一是消参，通过两式作差消掉参数b，从而巧妙地把两个零点与参数a之间的关系建立起来；二是消“变”，即减少变量的个数，巧妙利用两零点之比引入变量t，从而建立新的函数求解问题，这也体现了对数学建模等核心素养的考查.另外这种问题还有对称构造法、差值换元法等方法.(2020济南模拟)已知函数f(x)xlnxx2(a1)x，其导函数f(x)的最大值为0.(1)求实数a的值；(2)若f(x1)f(x2)1(x1x2)，证明：x1x22.解：(1)由题意，函数f(x)的定义域为(0，)，其导函数f(x)lnxa(x1)，记h(x)f(x)，则h(x).当a0时，h(x)0恒成立，所以h(x)

8、在(0，)上单调递增，且h(1)0，所以任意x(1，)，h(x)f(x)0，故a0不成立当a0时，若x(0，)，则h(x)0；若x(，)，则h(x)0.所以h(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减所以h(x)maxh()lnaa10.令g(a)lnaa1，则g(a)1.当0a1时，g(a)1时，g(a)0.所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以g(a)g(1)0，故a1.(2)证明：当a1时，f(x)xlnxx2，则f(x)1lnxx.由(1)知f(x)1lnxx0恒成立，所以f(x)xlnxx2在(0，)上单调递减，且f(1)，f(x1)f(x2)12f(1)不妨设0x1x2，则0x112，只需证x22x1.因为f(x)在(0，)上单调递减，所以只需证f(x2)f(2x1)，又f(x1)f(x2)1，所以只需证1f(x1)1.令f(x)f(x)f(2x)(其中x(0,1)，则f(1)1.所以欲证f(2x1)f(x1)1，只需证f(x)f(1)，x(0,1)，f(x)f(x)f(2x)1lnxx1ln(2x)2x，整理得f(