2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第四节三角函数的图象与性质学案理含解析

1、第四节第四节 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 最新考纲 考情分析 核心素养 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2内的单调性. 三角函数的值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性都将是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为 5 分. 1.数学运算 2.逻辑推理 3.直观想象 知识梳理 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，

2、2，1 ，(，0)， 132，1 ，(2，0) (2)余弦函数 ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，2，0 ， 2 (，1)，32，0 ，(2，1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定义域 r r x|xr且 xk2，kz 值域 1，1 1，1 r 周期性 2 2 奇偶性 3 奇函数 4 偶函数 奇函数 单调性 在2k2， 2k2 (kz)上增； 在2k2， 2k32 在2k，2k(kz)上减； 在2k，2k(kz)上增 在k2， k2 (kz)上增 (kz)上减 对称中心 5 (k，0) (kz) k2，0 (k

3、z) k2，0 (kz) 对称轴 6 xk2(kz) 7 xk(kz) 无 常用结论 (1)函数 yasin(x)和 yacos(x)的最小正周期为 t2|，函数 ytan(x)的最小正周期为 t|. (2)求函数 yasin(x)的单调区间时，应注意 的符号，只有当 0 时，才能把(x)看作一个整体，代入 ysin t 的相应单调区间求解 (3)函数ysin x与ycos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于 x轴的直线，如 ycos x 的对称轴为 xk(kz)，而不是 x2k(kz) (4)对于 ytan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间k2，k2(kz)内

4、为增函数 基础自测 一、疑误辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)ysin x 在第一、第四象限是增函数( ) (2)常数函数 f(x)a 是周期函数，它没有最小正周期( ) (3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数( ) (4)已知 yksin x1，xr，则 y 的最大值为 k1.( ) (5)ysin|x|是偶函数( ) (6)若 sin x22，则 x4.( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 二、走进教材 2(必修 4p46a2，3改编)若函数 y2sin 2x1 的最小正周期为 t，最大值为 a，则( ) at，a1 bt2，a

5、1 ct，a2 dt2，a2 答案：a 3(必修 4p47b2改编)函数 ytan2x34的单调递减区间为_ 答案：k28，k258，kz 三、易错自纠 4已知函数 ysin x 的定义域为a，b，值域为1，12，则 ba 的值不可能是( ) a3 b23 c d43 解析：选 a 画出函数 ysin x 的草图分析知，ba 的取值范围为23，43. 5函数 ysin32x 的单调递减区间为_ 解析： 函数 ysin32x sin2x3的单调递减区间是函数 ysin2x3的单调递增区间 由 2k22x32k2，kz， 得 k12xk512，kz. 故所给函数的单调递减区间为 k12，k512，

6、kz. 答案：k12，k512，kz 6函数 ysinx4的图象的对称轴为_，对称中心为_ 解析：由 x42k，kz，得 x34k，kz； 由 x4k，kz，得 x4k，kz， 故函数 ysinx4的图象的对称轴为 x34k，kz，对称中心为4k，0 ，kz. 答案：x34k，kz 4k，0 ，kz 考点 三角函数的定义域、值域 |题组突破| 1函数 ysin xcos x的定义域为_ 解析：要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示 在0，2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正

7、弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数的定义域为x2k4x2k54，kz . 答案：2k4，2k54(kz) 2函数 f(x)3sin2x6在区间0，2上的值域为_ 解析：当 x0，2时，2x66，56， sin2x612，1 ， 故 3sin2x632，3 ， 函数 f(x)在区间0，2上的值域为32，3 . 答案：32，3 3(2019 年全国卷)函数 f(x)sin2x323cos x 的最小值为_ 解析：f(x)sin2x323cos x cos 2x3cos x 2cos2x3cos x1， 令 tcos x，则 t1，1， f(x)2t23t1. 又函数 f(x)图象的对称轴 t34

8、1，1，且开口向下，当 t1 时，f(x)有最小值4. 答案：4 4函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 解析：设 tsin xcos x，则 2t 2，t2sin2xcos2x2sin xcos x，则 sin xcos x1t22， yt22t1212(t1)21. 当 t1 时，ymax1；当 t 2时，ymin12 2. 函数的值域为12 2，1 . 答案：12 2，1 名师点津 求三角函数的值域(最值)的 3 种类型及解法思路 (1)形如 yasin xbcos xc的三角函数化为 yasin(x)k的形式， 再求值域(最值) (2)形如 yasin2xbsi

9、n xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值) (3)形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于t 的二次函数求值域(最值) 考点一 三角函数的单调性 【例 1】 (1)函数 f(x)sin 2xsin 6cos 2xcos 56在2，2上的单调递增区间为_ (2)函数 y|tan x|在2，32上的单调减区间为_ (3)已知 0，函数 f(x)sinx4在2， 上单调递减，则 的取值范围是_ 解析 (1)(整体代入法)依题意，得 f(x)sin 2xsin 6cos 2xcos 6cos

10、2x6. 当 2k2x62k(kz)，即 k512xk12，kz时，函数 f(x)是增函数因此函数 f(x)在2，2上的单调递增区间是512，12. (2)(图象法)如图，观察图象可知，y|tan x|在2，32上的单调减区间为2，0 和2， . (3)解法一：由题意，可知 f(x)在2， 上单调递减，则2x0，得24x44，由正弦函数的单调性知函数在2，32上单调递减，所以242，432，解得1254，所以 12，54. 解法二： 由已知t22， 所以 02.又2x， 得4x40)的单调区间时， 要视“x”为一个整体， 通过解不等式求解 但如果 0， 那么一定先借助诱导公式将 化为正数，防止

11、把单调性弄错 (2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 |跟踪训练| 1函数 f(x)tan2x3的单调递增区间是( ) ak212，k2512(kz) bk212，k2512(kz) ck6，k23(kz) dk12，k512(kz) 解析：选 b 由 k22x3k2(kz)，得k212x0)在区间0，3上单调递增，在区间3，2上单调递减，则 _ 解析：f(x)sin x(0)过原点， 当 0 x2，即 0 x2时，ysin x 是增函数； 当2x32，即2x32时，ysin x 是减函数 由 f(x)sin x(0)在0，3上单调递增， 在3，2上

12、单调递减，知23，32. 答案：32 考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 多维探究 三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合 常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的奇偶性；(3)三角函数的对称性；(4)三角函数性质的综合应用 命题角度一 三角函数的周期性 【例 2】 在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4中，最小正周期为 的所有函数为( ) a b c d 解析 ycos|2x|cos 2x，最小正周期为 ； 由图象知，y|cos x|的最小正周期为 ； ycos2x6的最小正周期

13、 t22； ytan2x4的最小正周期 t2，故选 a 答案 a 命题角度二 三角函数的奇偶性 【例 3】 (2019 届抚顺调研)已知函数 f(x)2sinx32，2是偶函数，则 的值为_ 解析 函数 f(x)为偶函数，3k2(kz)又 2，2，32，解得6，经检验符合题意 答案 6 命题角度三 三角函数的对称性 【例 4】 (1)已知函数 f(x)2sinx6(0)的最小正周期为 4， 则该函数的图象( ) a关于点3，0 对称 b关于点53，0 对称 c关于直线 x3对称 d关于直线 x53对称 (2)(2018 年江苏卷)已知函数 ysin(2x)20)的最小正周期为 4，而 t24，

14、所以 12，即 f(x)2sinx26. 令x262k(kz)，解得 x232k(kz)， 故 f(x)的对称轴为 x232k(kz) 令x26k(kz)，解得 x32k(kz)， 故 f(x)的对称中心为32k，0 (kz)，对比选项可知 b 正确 (2)由题意得，f3sin23 1， 23k2(kz)， k6(kz) 2，2，6. 答案 (1)b (2)6 命题角度四 三角函数性质的综合应用 【例 5】 (2019 年全国卷)关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论： f(x)是偶函数； f(x)在区间2， 单调递增； f(x)在，有 4 个零点； f(x)的最大值为 2.

15、 其中所有正确结论的编号是( ) a b c d 解析 解法一：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当2x 时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在2， 上单调递减，故不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数 f(x)在，只有 3 个零点，故不正确，正确综上，正确结论的序号是.故选 c 解法二：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确，排除 b；当2x0)的最小正周期为2，函数 yatan(x)(0)的最小正周期为求解 (3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函

16、数的对称轴、对称中心 |跟踪训练| 3(2018 年全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则( ) af(x)的最小正周期为 ，最大值为 3 bf(x)的最小正周期为 ，最大值为 4 cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 解析：选 b 易知 f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x2132cos 2x52，则f(x)的最小正周期为 .当 xk(kz)时，f(x)取得最大值，最大值为 4.故选 b 4(2019 年全国卷)下列函数中，以2为周期且在区间4，2上单调递增的是( ) af(x)|cos 2x| bf(x)|sin 2x| cf(x)cos|x| df(x)sin|x| 解析：选 a a 中，函数 f(x)|cos 2x|的周期为2，当 x4，2时，2x2， ，函数 f(x)单调递增，故 a 正确；b 中，函数 f(x)|sin 2x|的周期为2，当 x4，2时，2x2， ，函数 f(x)单调递减，故 b 不正确；c 中，函数 f(x)cos|x|cos x 的周期为 2，故 c 不正确；d中，f(x)sin|x|sin x，x0，sin x，x0，由正弦函数图象知，